metodichka

8.Дискретна випадкова величина Х набуває лише два можливих значення: x1 та x2 , причому x2 x1 . Ймовірність того, що X набуває значення x1 , дорівнює 0,6. Знайти закон розподілу величини X , якщо математичне сподівання та дисперсія відомі: M X 1,4; D X 0,24.

Варіант 2.

1.Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х, що задана законом розподілу:

Х		0,21	0,54	0,61
Р		0,1	0,5	0,4

2. Знайти математичне сподівання випадкової величини

Z3X 4Y , коли відомо, що M Х 2, М Y 6 .

3.Дано перелік можливих значень дискретної випадкової

величини Х:	x1	1, x2	2,	x3	3,	а також	математичне
сподівання цієї		величини		та	її	квадрата:	M X 2,3,
M X 2 5,9 .	Знайти		ймовірності			p1 , p2 , p3 , які

відповідають можливим значенням x1 , x2 , x3 .

4.	Випадкові величини X				та Y	незалежні. Знайти дисперсію
	випадкової		величини		Z 2X 3Y , коли			відомо, що
	D X 4,		D Y 5.
5.	Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення
	дискретної випадкової величини Х, що задана законом
	розподілу:
	Х		131		140		160	180
	Р		0,05		0,1		0,25	0,6
6.	Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення
	дискретної випадкової величини Х – числа відмов елемента
	деякого пристрою в				десяти	незалежних випробуваннях,

якщо ймовірність відмови елемента в кожному випробуванні дорівнює 0,9.

7.Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х – числа появ події A в двох незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи події в цих випробуваннях однакова і

M X 0,9.

8.Дискретна випадкова величина Х набуває лише два можливих значення: x1 та x2 , причому x2 x1 . Ймовірність того, що X набуває значення x2 , дорівнює 0,8. Знайти закон розподілу величини X , якщо математичне сподівання та дисперсія відомі: M X 2,6; D X 0,8.

Розділ 5. НЕПЕРЕРВНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

§ 5.1 Інтегральна та диференціальна функції розподілу ймовірностей випадкової величини

Теоретичні відомості.

Інтегральною функцією розподілу (функцією розподілу)

називають функцію F x , що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X набуває значення меншого за x, тобто

F x P X x .

Інтегральна функція розподілу має такі властивості:

1. Значення інтегральної функції належать відрізку [0 ; 1].

0F x 1.

2.Інтегральна функція є неспадною функцією, тобто

F x2 F x1 , якщо

x2 x1 .

3.Імовірність того, що випадкова величина Х набуває значення, яке належить інтервалу (a ; b), дорівнює приросту інтегральної функції на цьому інтервалі:

P(a < X < b) = F(b) – F(a).

4.Імовірність того, що неперервна випадкова величина Х має одне цілком визначене значення, наприклад, Х = x1 дорівнює нулю:

P(X = x1) = 0.

5.Якщо всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу (a ; b), то

F(x) = 0 для х a;

F(x) = 1, для x b.

6. Справедливі такі граничні співвідношення:

lim F(x) 0;	limF(x) 1.
x	x

Диференціальною функцією розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини Х називають першу похідну від інтегральної функції, а саме:

f x F x .

Часто замість терміну “диференціальна функція” викори-

стовують термін “щільність імовірності” або “густина ймовірності”.

Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х набуває значення, яке належить інтервалу (a ; b) визначається рівністю

b

P(a X b) f x dx.

a

Знаючи диференціальну функцію f(x), можна знайти інтегральну функцію F(x) за формулою

x

F(x) f x dx.

-

Диференціальна функція має такі властивості:

1.Диференціальна функція (функція щільності) невід'ємна, тобто

f(x) 0.

2.Невласний інтеграл від диференціальної функції в межах від

–до дорівнює одиниці, а саме:

f (x)dx 1.

Зокрема, якщо всі значення випадкової величини Х містяться у проміжку (a ; b), то другу властивість можна записати у вигляді

b

f (x)dx 1.

a

Практичні завдання.

Варіант 1.

1. Випадкова величина X задана функцією розподілу

		0		коли	x 1,
	3	3			1
F x		x		коли	1 x		,
	4
		4		коли	3
		1			x 1/3.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуває значення, яке знаходиться в інтервалі

0 ,1/3 .

2.Випадкову величину X задано функцією розподілу

		0	коли	x 2,
F x	0,5x 1		коли	2 x 4,
		1	коли	x 4.

1) Знайти ймовірність того, що в результаті випробування

величина	X набуває	значення:	а) меншого		за	0,2;
б) меншого за 3; в) не меншого за 3; г) не меншого за 5.
2) Знайти	ймовірність	того, що	в	результаті		трьох
незалежних	випробувань величина		X	рівно	два	рази
набуде значення, яке знаходиться в інтервалі 2,5					; 3 .

3. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Х		2	4	7	9
Р		0,3	0,1	0,2	0,4

Знайти функцію розподілу F x та побудувати її графік.

4.Дано функцію розподілу неперервної випадкової величини

X

	0		коли	x 0,
F x	sin x		коли	0 x /2,
		1	коли	x /2.

Знайти диференціальну функцію розподілу f x .

5. Диференціальна функція розподілу неперервної випадкової

величини			X	в інтервалі /2 ; /2 дорівнює
f x	2	cos2	x; за межами цього інтервалу f x 0. Знайти

ймовірність того, що в трьох незалежних випробуваннях X рівно два рази набуде значення, що знаходиться в проміжку

0 ; /4 .

6.Задано диференціальну функцію розподілу неперервної випадкової величини X :

0		коли	x 1,
		коли	1 x 2,
f x x 1/2
	0	коли	x 2.

Знайти функцію розподілу F x .

7. Диференціальна функція розподілу неперервної випадкової

величини X в інтервалі 0	; /2 дорівнює f x Csin 2x ;
за межами цього інтервалу	f x 0. Знайти сталий параметр
C .

Варіант 2.

1. Випадкову величину X задано функцією розподілу

			0				коли	x 2,
	1		1			x
F x					arcsin		коли	2 x 2,
	2					2
							коли	x 2.
			1

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуває значення, яке знаходиться в інтервалі

1 , 1 .

2. Випадкову величину X задано функцією розподілу

0			коли	x 0,
	x	2	коли	0 x 1,
F x
	1		коли	x 1.

1)Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуває значення: а) меншого за 0,3; б) меншого за 0,5; в) не меншого за 0,5; г) не меншого за 0,8.

2)Знайти ймовірність того, що в результаті чотирьох незалежних випробувань величина X рівно три рази

набуде значення, що належить інтервалу 0,25 ; 0,75 .

3. Дискретну випадкову величину Х задано законом розподілу:

Х		3	4	7	10
Р		0,2	0,1	0,4	0,3

Знайти функцію розподілу F x та побудувати її графік.

4.Дано функцію розподілу неперервної випадкової величини

X

	0		коли	x 0,
F x	sin2x		коли	0 x /4,
		1	коли	x /4.

Знайти диференціальну функцію розподілу f x .

5. Неперервну випадкову величину X задано густиною розпо-

ділу ймовірностей f x	3	sin3x	в інтервалі 0 ; /3 ; за
2

межами цього інтервалу f x 0. Знайти ймовірність того, що X набуде значення, яке належить інтервалу

/6 ; /4 .

6.Задано густину розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини X :

	0		коли	x /6,
f x	3sin3x		коли	/6 x /3,
		0	коли	x /3.

Знайти функцію розподілу F x .
7. Густина	розподілу ймовірностей неперервної випадкової
величини	X	задано в	інтервалі	0 ; 1	рівністю
f x C arctg x;		за межами	цього	інтервалу	f x 0.
Знайти сталий параметр C .

§ 5.2 Числові характеристики неперервних випадкових величин

Теоретичні відомості.

Математичне сподівання неперервної випадкової величини

X , можливі значення якої належать усій числовій осі, визначається рівністю

M(X) x f (x) dx,	x R .
-

де f(x) – диференціальна функція розподілу випадкової величини X .

В окремому випадку, коли всі можливі значення належать інтервалу (a ; b), то

b	x a ; b .
M(X) x f (x) dx,
a

Усі властивості математичного сподівання дискретних випадкових величин справедливі i для неперервних величин.

Дисперсія неперервної випадкової величини X , можливі значення якої належать усій числовій осі, визначається рівністю

D(Х) [x M(X)]2 f (x) dx,	x R,
-
або рівнозначною рівністю
D(Х) x2 f (x) dx [M(X)]2 ,	x R.
-

Зокрема, якщо всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу (a ; b), то

b	x a ; b ,
D(Х) [x M(X)]2 f (x) dx,
a
або
b	x a ; b .
D(Х) x2 f (x) dx [M(X)]2 ,
a

Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини обчислюється так само, як і для дискретної величини, тобто

(X) D(Х) .

Практичні завдання.

Варіант 1.
1. Випадкову величину	X задано	густиною розподілу
ймовірностей f x 2x	в інтервалі 0	; 1 ; за межами цього

інтервалу	f x 0.	Знайти		математичне		сподівання
випадкової величини X .
2. Випадкову	величину	X	задано		густиною	розподілу
ймовірностей f x C x2			2x	в	інтервалі	0 ; 1 ;	за
межами цього інтервалу			f x 0. Знайти: а) параметр				C ;
б) математичне сподівання випадкової величини X .

3.Знайти математичне сподівання випадкової величини X , що задана функцією розподілу

	0		коли	x 0,
F x	sin2x		коли	0 x /4,
		1	коли	x /4.

4.	Випадкову	величину		X	задано густиною					розподілу
	ймовірностей f x x 0,5				в інтервалі			0 ; 1 ;		за межами
	цього інтервалу		f x 0.		Знайти математичне сподівання
	функції Y X 3 ,		не шукаючи попередньо густини розподілу
	ймовірностей випадкової величини Y .
5.	Випадкову величину X в інтервалі 0 ;							5 задано густиною
	розподілу	ймовірностей			f x	2	x ;	за	межами цього
		f x 0.			25
	інтервалу			Знайти дисперсію					та	середнє

квадратичне відхилення величини X .

6.Знайти дисперсію випадкової величини X , що задана функцією розподілу

0			коли	x 0,
	x	2	коли	0 x 1,
F x
	1		коли	x 1.
7. Випадкову величину		X	задано густиною		розподілу
ймовірностей f x 4x 1			в інтервалі 0 ; 1 ;		за межами

цього інтервалу f x 0. Знайти дисперсію функції Y X 2 ,