metodichka

не шукаючи попередньо густини розподілу випадкової величини Y .

	Варіант 2.
1. Випадкову величину			X	задано	густиною	розподілу
ймовірностей f x	1	x	в	інтервалі	0 ; 2 ;	за межами
2

цього інтервалу f x 0. Знайти математичне сподівання випадкової величини X .

2. Випадкову величину X	задано густиною		розподілу
ймовірностей f x C 5x2 1 в		інтервалі	0 ; 1 ;	за
межами цього інтервалу	f x 0.	Знайти: а) параметр		C ;
б) математичне сподівання випадкової величини X .

3.Знайти математичне сподівання випадкової величини X , що задана функцією розподілу

		0		коли	x 3,
F x			2	коли	3 x 4,
	x 3
		1		коли	x 4.

4. Випадкову величину X в інтервалі 3 ; 5 задано густиною

розподілу ймовірностей f x 3 x2 6x 45 ; за межами

4 4

цього інтервалу f x 0. Знайти математичне сподівання

функції Y X 2 , не шукаючи попередньо густини розподілу ймовірностей випадкової величини Y .

5. Випадкову величину X в інтервалі 4 ;		5 задано густиною
розподілу	ймовірностей f x 2x 8;	за	межами цього
інтервалу	f x 0. Знайти дисперсію		та середнє

квадратичне відхилення величини X .

6.Знайти дисперсію випадкової величини X , що задана функцією розподілу

	0			коли	x 0,
	x		2
	F x			коли	0 x 6,
		36
				коли	x 6.
		1

7.Випадкову величину X задано густиною розподілу ймовірностей f x cos x в інтервалі 0 ; /2 ; за межами

цього інтервалу f x 0. Знайти	дисперсію	функції
Y sin X , не шукаючи попередньо	густини	розподілу
ймовірностей випадкової величини Y .

§ 5.3 Рівномірний розподіл

Теоретичні відомості.

Рівномірним називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини X , якщо на інтервалі a ; b , якому належать всі можливі значення X , густина має стале значення,

а саме f x	1	, за межами цього інтервалу f x 0.
	b a
		Практичні завдання.
		Варіант 1.

1.Ціна поділки шкали амперметра дорівнює 0,1 А. Покази округлюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при вимірюванні буде припущено помилку: а) що перевищує 0,03 А; б) що не перевищує 0,01 А.

2.Рух автобусів деякого маршруту відбувається чітко за розкладом. Інтервал руху 5 хвилин. Знайти ймовірність того, що пасажир, який підійшов до зупинки, буде чекати наступного автобуса менше як 3 хвилини.

3.Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини X , що розподілена рівномірно в інтервалі 2 ; 8 .

4.Діаметр х кола виміряно наближено, причому 10 x 11.

Розглядаючи діаметр кола, як випадкову величину X , що розподілена рівномірно в інтервалі 10 ;11 , знайти

математичне сподівання та дисперсію площі круга.

Варіант 2.

1.Ціна поділки шкали деякого вимірювального приладу дорівнює 0,2. Покази приладу округлюють до найближчої цілої поділки. Знайти ймовірність того, що при вимірюванні буде припущено помилку: а) меншу за 0,04; б) більшу за

0,05.

2.Хвилинна стрілка електронного годинника переміщується стрибком в кінці кожної хвилини. Знайти ймовірність того, що в дану мить годинник покаже час, який відрізняється від точного не більше як на 20 с.

3.Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини X , що розподілена рівномірно в інтервалі 3 ; 11 .

4. Ребро куба х виміряно наближено, причому	4 x 5.
Розглядаючи ребро куба, як випадкову величину	X , що
розподілена рівномірно в інтервалі 4 ; 5 ,	знайти
математичне сподівання та дисперсію об’єму куба.

§ 5.4 Нормальний розподіл

Теоретичні відомості.

Нормальним називають розподіл імовірностей неперервної випадкової величини X , диференціальна функція розподілу якого має вигляд

f x

1

x a 2

e 2 2

,

2

де a –

математичне

сподівання,

– середнє

квадратичне

відхилення.

Ймовірність того,

що X

набуде значення, яке знаходиться

в інтервалі ; , дорівнює

a

a

P X Ф

Ф

,

де Ф x

1

x

x2

e

2 dx – інтегральна функція Лапласа.

2

0

Ймовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х від її математичного сподівання а на величину меншу за додатне число , дорівнює

P	X a		2Ф		.
Практичні завдання.
	Варіант 1.

1. Математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини X дорівнює a 3, середнє квадратичне відхилення 2 . Записати густину розподілу ймовірності випадкової величини X .

2.Математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини X відповідно дорівнюють 10 та 2. Знайти ймовірність того, що в

результаті випробування величина X набуде значення, яке знаходиться в інтервалі 12 ; 14 .

3.Автомат штампує деталі. Контролюється довжина деталі X , яка розподілена нормально з математичним сподіванням (проектна довжина), що дорівнює 50 мм. Фактично довжина

деталей, що виготовляються не менша за 32 мм та не більша за 68 мм. Знайти ймовірність того, що довжина навмання взятої деталі: а) більша за 55 мм; б) менша за 40 мм.

4.Проводиться зважування деякої речовини без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування

підпорядковані нормальному закону з середнім квадратичним відхиленням 20г. Знайти ймовірність того, що зважування буде проведено з помилкою, що не перевищує за абсолютною величиною 10 г.

5.Автомат виготовляє кульки. Кулька вважається придатною, якщо відхилення X діаметра кульки від проектного розміру за абсолютною величиною менше за 0,7 мм. Приймаючи, що випадкова величина X розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням 0,4 мм, знайти скільки в середньому буде придатних кульок серед ста виготовлених.

6.Випадкова величина X розподілена нормально з

математичним сподіванням			a 10. Ймовірність попадання
X в інтервал	10 ;	20	дорівнює		0,3.	Чому	дорівнює
ймовірність попадання X в інтервал 0 ; 10 ?
7. Випадкова величина		X		розподілена		нормально з
математичним	сподіванням			a 10		та	середнім
квадратичним	відхиленням			5.	Знайти		інтервал,

симетричний відносно математичного сподівання, в який з ймовірністю 0,9973 в результаті випробування попаде величина X .

Варіант 2.

1.Написати густину розподілу ймовірності нормально розподіленої випадкової величини X , якщо відомо, що

M X 3, D X 16.

2.Математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини X відповідно дорівнюють 20 та 5. Знайти ймовірність того, що в

результаті випробування X набуде значення, яке знаходиться в інтервалі 15 ; 25 .

3.Бомбардувальник, що пролетів вздовж мосту, довжина якого 30 м та ширина 8 м, скинув бомби. Випадкові величини X та Y (відстані від горизонтальної та вертикальної осей симетрії моста до місця падіння бомби) незалежні та розподілені нормально з середніми квадратичними відхиленнями, відповідно рівними 6 та 4 м, та математичними сподіваннями, що дорівнюють нулеві. Знайти: а) ймовірність влучення в міст однієї скинутої бомби; б) ймовірність руйнування моста, якщо скинуто дві бомби, причому відомо, що для руйнування моста достатньо одного влучення.

4.Випадкові помилки вимірювання підпорядковані нормальному законові з середнім квадратичним відхиленням 20мм та математичним сподіванням a 0. Знайти ймовірність того, що в трьох незалежних вимірюваннях помилка принаймні одного разу не перевищить за абсолютною величиною 4 мм.

5.Деталь, що виготовляється автоматом, вважається придатною, якщо відхилення її розміру від проектного не перевищує 10 мм. Випадкові відхилення розміру деталі від проектного підпорядковані нормальному законові з середнім

квадратичним		відхиленням	5мм	та	математичним
сподіванням	a 0. Скільки		процентів	придатних деталей
виготовляє автомат?
6. Випадкова	величина X		розподілена		нормально з
математичним сподіванням			a 25. Ймовірність попадання
X в інтервал		10 ; 15 дорівнює 0,2.			Чому дорівнює

ймовірність попадання X в інтервал 35 ; 40 ?

7.Випадкова величина X розподілена нормально з середнім квадратичним відхиленням 5 мм. Знайти довжину інтервалу, симетричного відносно математичного

сподівання, в який з ймовірністю 0,9973 в результаті випробування попаде величина X .

§ 5.5 Показниковий розподіл
	Теоретичні відомості.
Показниковим	називають		розподіл		імовірностей
неперервної випадкової величини X , густина якого має вигляд
		0	якщо	x 0,
f x		e x	якщо	x 0,

де – стала додатна величина.

Функція розподілу показникового закону

	0	якщо	x 0,
F x	1 e x	якщо	x 0.

Ймовірність попадання в інтервал a ; b неперервної випадкової величини X , що розподілена за показниковим законом розподілу

P a X b e a e b .

Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення показникового розподілу відповідно дорівнюють:

M X	1	,	D X	1	,	X	1	.
				2

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Записати густину та функцію розподілу ймовірностей показникового закону, якщо параметр 6 .

2.Неперервна випадкова величина X , розподілена за показниковим законом, заданим при x 0 диференціальною

функцією розподілу f x 0,4 e 0,4x ; при x 0 f x 0. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X набуде значення, яке знаходиться в інтервалі 1 ; 2 .

3. Знайти	математичне сподівання показникового розподілу,
заданого при		x 0: а) густиною розподілу		ймовірностей
f x 5	e 5x ;	б) функцією	розподілу	ймовірностей
F x 1	e 0,1x .

4.Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення показникового розподілу, заданого: а) густиною розподілу

ймовірностей	f x 0,3 e 0,3x	( x 0);	б) функцією
розподілу ймовірностей F x 1 e 2x ( x 0).

Варіант 2.

1.Написати густину та функцію розподілу ймовірностей показникового закону, якщо параметр 2.

2.Неперервна випадкова величина X , розподілена по

показниковому	закону, заданому функцією			розподілу
F x 1 e 0,6x	при x 0; при	x 0	F x 0.		Знайти
ймовірність того, що в результаті випробування				X	набуде
значення, яке знаходиться в інтервалі 2			; 5 .

3. Знайти математичне сподівання показникового розподілу заданого при x 0: а) густиною розподілу f x 3 e 3x ; б) функцією розподілу F x 1 e 0,05x .

4.Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення показникового розподілу, заданого: а) густиною розподілу

ймовірностей	f x 10 e 10x	( x 0); б) функцією розподілу
F x 1 e 0,4x	( x 0).

§ 5.6 Закон великих чисел. Нерівність Чебишева

Теоретичні відомості.

Нерівність Чебишева. Ймовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного сподівання за абсолютною величиною менша за додатне число , не

перевищує числа 1 D X :

2

P		X M X		1	D X	.
					2

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що X M X 0,2, якщо D X 0,004 .

2.Пристрій складається з 10 елементів, що працюють незалежно. Ймовірність відмови кожного елемента за час t дорівнює 0,05. За допомогою нерівності Чебишева оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом елементів, що відмовили і середнім числом

(математичним сподіванням) відмов за час t виявиться: а) меншою за 2; б) не меншою за 2.

3.Ймовірність появи події A в кожному випробуванні дорівнює 1/2. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що число X появ події A знаходитиметься в межах від 40 до 60, якщо буде проведено 100 незалежних випробувань.

4.Дискретну випадкову величину X задано законом розподілу

X		0,2	0,3	0,6
P		0,1	0,2	0,7

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність

того, що	X M X			0,2.
				Варіант 2.
1. Дано:	P		X M X			0,9	та	D X 0,009 .

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити знизу.

2.В освітлювальній мережі паралельно з’єднано 20 ламп. Ймовірність того, що за час t лампа буде ввімкнутою, дорівнює 0,8. За допомогою нерівності Чебишева оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом ввімкнутих ламп і середнім числом (математичним сподіванням) ввімкнутих ламп за час t виявиться: а) менше трьох; б) не менше трьох.

3.Ймовірність появи події в кожному випробуванні дорівнює 1/4. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що число X появ події знаходиться в межах від 150 до 250, якщо буде проведено 800 випробувань.

4.Дискретну випадкову величину X задано законом розподілу

X		0,1	0,4	0,6
P		0,2	0,3	0,5

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що X M X 0,4 .