FIZMEXKINVAR

X2 l/2

2

x3

l/2

l 3

l 3

IC

x

dx

3

3

2

2

X

l/2

1

l/2

(1.45)

l3 ml2

12 12

При виведенні співвідношення (1.45) враховано, що

l m.

Аналогічно знайдемо момент інерції однорідного стержня

відносно осіZZ , що проходить через один із його кінців. Систему координат розмістимо таким чином, щоб через її початок про-

ходила вісь ZZ .

		X2 l		3 l	l	3	ml	2
	IZ	x2dx x						.	(1.46)
		X1 0	3 0		3		3
Момент інерції однорідного диска (циліндра) відносно ві-
сіCC , що проходить перпендикулярно його площині через
центр C (рис.1.8). Нехай					х		С	dх
маса диска т, радіус диска
R , густина . Виділимо
на відстані х		від центра				с			h
(точка С) нескінченно
тонкий	обруч	товщиною					С’
dx, елементарний момент					R
інерції	якого	дорівнює
			Рис. 1.8. Момент інерції диска

dIC x2dm.

Визначимо елементарну масу dm виділеного елементарного об'єму у вигляді тонкого кільця, беручи до уваги, що густина речовини , а товщина диска h:

dm dV hdS ,

де dS 2 xdx – площа поверхні виділеного пояска, то

dIC 2 hx3dx. Проінтегруємо останній вираз:

21

m	R
IC x2dm x2 2 xdx
0	0					,		(1.48)
R			4
		R			mR	2
h2 x3dx h2
0	4			2

де m R2 – маса диска.

Аналогічно можна знайти момент інерції диска з центральним отвором. Нехай радіус диска R , а радіус отвору r . Для цього рівняння (1.48) необхідно про інтегрувати від r до R

m

R

IC x2dm

x2 2 rdx

0

r

,

(1.49)

R

4

4

2

R

m(R

r

2

h2 x3dx h2

r

)

4

2

r

де m 2 (R2

r2 )h – маса диска.

Із (1.49)

легко знайти

момент

інерції

диска

без

отвору

(r 0 ):

IC

m(R2

r2 )

mR2

,

(1.50)

2

2

та момент інерції обруча відносно осі, що проходить центр мас

(r R)

		m(R2	r2 )		m(R2 R2 )						2
IC										mR		.	(1.51)
					2
	2
Момент інерції кулі								2
					I	c			mR2 .				(1.52)
							5

1.2.3.Теорема Штейнера. Ця теорема дозволяє знайти момент інерції тіла відносно довільної осі ZZ , якщо відомий момент інерції даного тіла відносно паралельної осіCC , що проходить через центр мас даного тіла (рис. 1.9), а саме:

22

Момент інерції тіла від-

носно довільної осіZZ дорівнює сумі моменту інерції цього тіло відносно паралельної осіCC , що проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між

цими	осями	Iz	Ic ma2 –
(1.53),	де	m	маса тіла,

СZ

a

m

C Z

Рис.1.9.ТеоремаШтейнера

авідстань між осями.

1.2.4.Основне рівняння динаміки обертового руху. Якщо на тіло (рис.1.10), яке може обертатися навколо довільної Z, діє

Z Mz r F

z

F

IZ r

Z

Рис. 1.10

момент сил MZ , а момент інерції цього тіла відносно цієї

ж осіIZ , то тіло набуде куто-

вого прискорення:

			M	z	.	(1.54)
	z
			Iz

Рівняння (1.54) є основним рівнянням динаміки обертового руху, в якому відіграє таку ж роль, як і другий закон Ньютона в поступальному русі.

23

1.2.5. Момент імпульсу твердого тіла. Закон збереження моменту імпульсу. Для твердого тіла, яке обертається навколо

осі	ZZ	з кутовою швидкістю , величина моменту імпульсу
може бути визначена таким чином.
	Уявно				Z
розіб'ємо тіло
на	нескінчен-					Li
но	малі	час-
						P mV
тинки –		мате-
						i	i	i
ріальні		точки
(рис.		1.11).				ri
Розглянемо
						mi
окрему таку i-
точку. Модуль
моменту		ім-
пульсу		даної			Z
точки з масою
			Рис. 1.11. Момент імпульсу твердого тіла
mi відносно
вісі ZZ		буде
			L m rV sin m r2 ,					(1.55)
			i	i i i		i i
де 90 , V r .
	Для всього тіла матимемо (індекс z біля L означає, що мо-
мент імпульсу обчислено відносно осі ZZ ):
			Lz	miri		2 z .		(1.56)
де z – кутова швидкість обертання тіла відносно вісі ZZ .
			n
	Згідно з (1.42) miri				2 Iz , тому:
			i 1
			Lz					(1.57)
				Iz z

24

Закон збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкнутої системи тіл залишається сталим незалежно від взаємодії її складових

	n	n		const ,	(1.58)
L Li		Ii i
	i 1	i 1
де i – кутова швидкість i-го тіла, Ii			– його момент інерції.

Закон збереження моменту імпульсу посідає важливе значення в механіці. У рівнянні (1.58) постійним залишається, як модуль моменту імпульсу так і його напрямок. На останній властивості ґрунтується робота гіроскопа. Гіроскоп це масивне тіло, яке може вільно обертатися з великою кутовою швидкістю навколо трьох осей. Основна його властивість: вісь гіроскопа зберігає свою орієнтацію в просторі незалежно від орієнтації основи гіроскопа. Гіроскопи широко застосовуються у навігації .

На основі закону збереження моменту імпульсу також пояснюється рух велосипедиста (мотоцикліста ). При русі велосипедиста (мотоцикліста ) вектор моменту імпульсу зберігає свою орієнтацію в просторі і велосипедист не падає.

25

2. ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ З РОЗДІЛУ “МЕХАНІКА”

Лабораторна робота 1.1 Абсолютно пружний центральний удар куль

Мета роботи. Вивчення законів збереження при абсолютно пружному ударі куль.

Прилади і матеріали. 1. Установка для визначення часу пружного ударукуль.2. Штангенциркуль.3. Лінійка.4. Транспортир.

Теоретичні відомості

Установка для

визначення

часу пружного

удару

куль

(рис.2.1.1) складається з двох однакових

абсолютно

пружних

стальних куль, підвішених на

провідниках

однакової

дов-

жини. Провідники підключе-

ні до

конденсатора

через

електричний опір

R .

Кон-

l

денсатор можна

підключати

до джерела для зарядки, або

розряджати на гальванометр

m1

за допомогою перемикача П

(рис. 2.1.2). Відведемо ліву

m1

h

m2

кульку

установки

m1

від

положення рівноваги на кут

, зарядимо конденсатор

та

Рис. 2.1.1

відпустимо

її. Рухаючись

із

швидкістю

V1 ,

вона зазнає

абсолютно пружного центрального удару з нерухомою правою кулькою V2 0. Під час удару куль конденсатор частково розря-

диться.

26

П

G

E

С

R

m1	m2
Рис.1.1.2
При абсолютно пружному центральному ударі куль однако-
вої маси m1 m2 m із рівнянь (1.26) і (1.27), маємо:
U1 V2; U2 V1 ,	(2.1.1)

де U1,U2 відповідно швидкість першої та другої кульки після

удару.

Отже, при зіткненні двох однакових абсолютно пружних куль відбувається обмін швидкостями.

Скористаємося цією обставиною для визначення середньої сили зіткнення куль. Із другого закону Ньютона (1.5а) маємо:

FC P,

звідки

F	P				mV					m V	,
C
де – час зіткнення куль; V – зміна швидкості першої кулі при
ударі, але V V1 U1		V1			V2		V1,			тому що U1 V2 ,a V2=0.
Остаточно одержуємо:
			F			mV1		,		(2.1.2)
				C

27

Масу кулі можна визначити за її густиною та об'ємом:

m V 4 R3 . 3

Знайдемо швидкість V1 кулі в момент удару (рис.2.1.1). Куля, відведена від положення рівноваги на кут , має запас потен-

ціальної енергії Wn mgh Ця енергія при ударі цілком перехо-

дить у кінетичну: Wn WK		mV 2			або mgh		mV 2
			1				1	, звідки
			2				2
	V1
					2gh		(2.1.3)

Висоту h, з якої падає куля, можна визначити за відстан-

нюl(довжиною маятника) від точки підвісу до центра маятника та кутом відхилення маятника від положення рівноваги

h l(1 cos ).			(2.1.4)
Отже
V1		.
	2gl(1 cos )		(2.1.5)

Час зіткнення настільки малий, що його неможливо виміряти секундоміром. Його визначають методом конденсаторного хронометра, суть якого полягає в наступному. Кулі при ударі замикають електричне коло, що складається з зарядженого кон-

денсатора та опору R , послідовно з'єднаних між собою. Нехай у початковий момент часу t конденсатор мав заряд q. За час dt при ударі заряд конденсатора зменшиться на dq. Миттєве значення

струму при ударі I dq , а відповідно зменшення заряду кон- dt

денсатора dq=-Idt. Миттєве значення струму може бути визначе-

не з закону Ома I U , але U q , де С – ємність конденсатора,

R C

R – електричний опір кола. Тоді dq q dt .

RC

28

Розділимо змінні і проінтегруємо:

q

dq

dt

q

q

0

q0

0

ln

0

,

звідки CRln

,

q

RC

q

CR

q

де q0

– початковий заряд конденсатора, q– величина заряду, що

залишилася на конденсаторі після удару куль.

Для визначення величини заряду конденсатора користуються балістичним гальванометром, покази якого n пропорційні

величині заряду q0 n0 , отже: q n

CRln	n0	,	(2.1.6)
	n

де n0 покази гальванометра при розряді зарядженого конденса-

тора через гальванометр до удару куль, n покази гальванометра при розряді конденсатора із залишковим зарядом через гальванометр після удару куль (конденсатор в обох випадках заряджається від джерела з однаковою ЕРС).

Порядок виконання роботи

Для визначення часу, середньої сили і швидкості співударяння куль необхідно:

1.Відвести одну з куль і закріпити її засувкою. Зарядити конденсатор від джерела і розрядити його через гальванометр. Записати покази гальванометра n0..

2.Не змінюючи напругу зарядити конденсатор. Провести удар куль. Заряд конденсатора, що залишився, розрядити через гальванометр і записати покази n. Дослід повто-

рити 7-9 разів. Результати внести в таблицю 2.1.1.

3.Виміряти довжину маятника l, радіус кулі r, кут

відхилення маятника ; записати значення електричного опору R і ємності конденсатора С.

29

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

1.За формулою (2.1.5) обчислити швидкість куль при ударі.

2.За формулою (2.1.6) обчислити час зіткнення куль. Знайти абсолютну і відносну похибки методом логарифмування.

3.Визначити масу кулі, і за формулою (2.1.2) обчислити середню силу удару.

Контрольніпитання

1. Закони Ньютона. Імпульс. Закон збереження імпульсу (с.

8-9).

2.Робота та енергія. Потужність. Потенціальна і кінетична енергія (с. 9-11).

3.Консервативні та дисипативні сили (с.10-12 ).

4.Закон збереження енергії в механіці (с. 11) .

5.Удар тіл. Абсолютно пружний та абсолютно непружній удари та їх характеристики (формули (1.27), (1.28) з доведенням) (с. 11-15) .

6.Застосування законів збереження до абсолютно непружного та пружного ударів (с.11-15 ).

Таблиця 2.1.1

С, Ф	R, Ом	n0	n	l, м	r, м

30