FIZMEXKINVAR

Потенціальна енергія тягаря при цьому перетворюється в кінетичну енергію поступального руху тягаря, кінетичну енергію обертального руху маховика і витрачається на перемагання сил тертя (кінетичною енергією обертального руху шківа з валом нехтуємо, адже вона мала порівняно з попередніми складовими).

Кінетична енергія поступального руху тягаря та кінетична енергія обертального руху маховика визначаються за формулами:

	W		mV2
						,	(2.4.1)
	k(пост)		2
	W			I 2
					.		(2.4.2)
			2
	k(об)

Робота, що затрачається на перемагання сил тертя, при одному оберті маховика нехай складає А, а робота за кілька обер-

тів A n1 (де п1 – кількість обертів маховика, які він зробив під дією тягаря).

Отже, для даної системи можна застосувати закон збереження механічної енергії, враховуючи при цьому втрати механічної енергії на роботу проти сил тертя:

mgh	mV 2		I	2	An .	(2.4.3)
2		2		1

Момент інерції маховика можна визначити за допомогою описаної установки двома методами.

І метод. Нитка не прикріплена до шківа. У момент, коли тягар повністю опустився, нитка спадає і шків, продовжуючи обертатись, робить n2 обертів, поки повністю не зупиниться. За цей час за рахунок кінетичної енергії обертального руху маховика, яку він мав у момент спадання нитки, виконується робота, спрямована на перемагання сили тертя, що дорівнює:

An2		I	2	,	(2.4.4)
	2
	41

звідки

A	I	2	.	(2.4.5)
	2n2
Підставивши (2.4.4, 2.4.5) у (2.4.3), дістанемо:

		mgh			mV 2
I						2			.	(2.4.6)
	2					n
						1
2			1			n2

Виразимо лінійнуV і кутову ω швидкості через вимірювані в досліді величини – висоту падіння тягаря h і час його падіння t:

V	2h		;		(2.4.7)
		t
		2h		,	(2.4.8)
		rt

де r – радіус шківа.

Замінивши V і ω у (2.4. 6) через їх значення (2.4.7) і (2.4.8), знайдемо:

I	mr2	gt2	2h
					.	(2.4.9)
			n1
	2h 1		n2

ІІ метод. Нитка прикріплена одним кінцем до шківа. Коли тягар повністю опуститься, маховик, продовжуючи обертатись за інерцією, підніме тягар на висоту h1 < h. При цьому система набуде потенціальної енергії

WП mgh1 .	(2.4.10)
Різниця потенціальних енергій системи до досліду і після
досліду дорівнюватиме роботі на перемагання сил тертя:
mgh — mgh1 = Fh + Fh1,	(2.4.11)
де F – сила тертя.
42

Із (2.4.11) маємо:

F	mg h h1	.	(2.4.12)
	h h1

Запишемо закон збереження енергії для першої частини досліду:

mgh	mV 2		I	2	Fh.	(2.4.13)
2		2

Підставивши в (2.4.13) значення F із (2.4.12), маємо:

	mV 2		I	2		mg h h
mgh						1	h.	(2.4.14)
						h h1
2		2

Беручи до уваги (2.4.7) і (2.4.8) із (2.4.14), визначаємо момент інерції маховика:

I mr2		gt2		h1
						1 .	(2.4.15)
				h h h1

Порядок виконання роботи та обробка результатів експерименту

Завдання 1

1.Визначити на терезах масу тягаря. Виміряти штангенциркулем радіус шківа.

2.Намотати на шків нитку. Підвісити тягарець до другого кінця нитки.

3.Зробити мітку на маховику (помітити частину обода крейдою або приклеїти смужку паперу, щоб легше було визначати кількість обертів маховика). Визначити висоту h, на яку опускається тягар.

4.За допомогою секундоміра визначити час, протягом якого тягар опускається на висоту h. Порахувати, скільки обертів n робить маховик від початку руху до повної зупинки.

43

5. Підрахувати кількість обертів, що їх зробив маховик, поки опускався тягар, за формулою:

n	h	,	(2.4.16)
1	2 r

де h – шлях, пройдений тягарем, що опускався, r – радіус шківа. Визначити кількість обертів, що їх зробив маховик після

припинення дії тягаря до повної зупинки:

n2 n n1 .	(2.4.17)
Знайдені експериментально дані n1, n2, t	і h підставити

уформулу (2.4.9) й обчислити момент інерції маховика.

6.Дослід повторити 4-5 разів, їх результати занести в таблицю 4.4.1. Знайти середнє арифметичне значення моменту інерції маховика, оцінити абсолютну та відносні похибки.

Завдання 2

1.Нитку довжиною h одним кінцем закріпити на шківі

йнамотати на нього. До другого кінця нитки прикріпити тягар.

2.Одночасно пустити тягар і увімкнути секундомір. Визначити час опускання тягаря.

3.Визначити висоту h1 (рис. 2.4.1) , на яку піднявся тягар,

поки маховик обертався за інерцією. За формулою (2.4.15) обчислити момент інерції маховика.

4. Дослід виконати 4-5 разів; результати занести в таблицю 2.4.2; знайти середнє арифметичне значення моменту інерції маховика, абсолютну та відносні похибки.

Завдання 3

1.Нарисувати схематично маховик.

2.Визначити геометричні розміри маховика, його масу. Обчислити теоретичне значення моменту інерції маховика

IТ , уявно розбивши маховик на тіла (диск та диск із отвором),

моменти інерції яких відомі.

3. Порівняти значення моментів інерції маховика, визначених за формулами (2.4.9), (2.4.15) та його теоретичним значенням.

44

Контрольні питання

1.Робота, потенціальна енергія, кінетична енергія поступального та обертового рухів (с.9-11, 18-23).

2.Закон збереження енергії в механіці. Дисипативні та консервативні сили (с.9-11).

3.Момент інерції стержня, однорідного диска, диска з центральним отвором, тонкостінного кільця (с. 18-23).

4.Основне рівняння динаміки обертового руху. Кутове прискорення, момент сили, момент інерції, момент імпульсу (с. 17-24).

5.Теорема Штейнера та її застосування (с. 22-23).

6.Вивести формули для визначення моментів інерції простих тіл (стержня, обруча, диска, диска з центральним отвором), (с. 18-23).

Таблиця 2.4.1

№

m,

r,

h,

t,

n

n1

n2

I1,

I1c,

I1,

,

кг

м

м

c

кг м2

кг м2

кг м2

%

1

2

3

4

5

С.зн.

Таблиця 2.4.2

№

m,

r,

h,

t,

h1,

h2,

I2,

I2c,

I2,

,

кг

м

м

c

м

м

кг м2

кг м2

кг м2

%

1

2

3

4

5

С.зн.

45

Лабораторна робота 1.5 Визначення моменту інерції маятника Обербека

Мета роботи. Вивчення основного закону динаміки обертального руху шляхом визначення моментів інерції маятника Обербека.

Прилади і матеріали. 1. Маятник Обербека. 2. Набір тягарців.2 Секундомір. 3 Лінійка

Теоретичні відомості

У даній роботі потрібно визначити момент інерції маятника Обербека. Прилад являє собою хрестовину (рис. 2.3.1), яка складається з чотирьох взаємно перпендикулярних стержнів. Уздовж стержнів можуть переміщатися важки однакової маси На горизонтальній осі хрестовини знаходиться двоступінчастий диск, на який намотується нитка. Один кінець нитки прикріплений до диска, а до другого кінця нитки підвішується важок. Під дією важка нитка розмотується з диска і викликає обертальний рух хрестовини. Рух хрестовини наближено можна вважати рівномірно прискореним. Визначити момент інерції даної системи можна двома методами: експериментально і теоретично.

І метод. Запишемо основним рівняння динаміки обертального руху:

	M	.	(2.5.1)
	I

Відповідно момент інерції маятника відносно осі обертання дорівнює

I	M	,	(2.5.2)

де М – момент сил відносно осі обертання, – кутове прискорення.

46

		D
		d
	R3	r2
m2	m1	L
l0		R0
	r1	l

m

Рис. 2.5.1

Модуль моменту сили, що діє на шків, можна визначити, якщо відома сила, що діє на шків та радіус шківа. Цією силою є сила натягу нитки:

F mg ma,

(2.5.3)

де a– прискорення рухуважку,g – прискорення вільногопадіння.

47

Отже, модуль моменту сил, прикладених до маятника Обербека відносно осі обертання, дорівнює

M Fr m(g a)r ,										(2.5.4)
де m маса важка, r радіус шківа.
Оскільки рух важка рівномірно прискорений, то
h	at2			rt2
							,			(2.5.5)
	2			2
де h– висота падіння важка масою m, t час падіння.
Отже, модуль кутового прискорення дорівнює
			2h			.				(2.5.6)
				rt2
Підставивши у формулу (1.1.2) значення з формул (1.5.4) і
(2.5.6), одержимо:
	mgt2r2							2
Iекс					mr				.	(2.5.7)
	2h

ІІ метод. Уявно розіб’ємо маятник на систему обертових

тіл: чотирьох стержнів довжиною L і масою m1 , чотирьох цилі-

ндричних тіл масою т2 і довжиною l0, та диска масою m3 та раді-

усом R3 . Вісь обертання системи проходить через центр диска.

Момент інерції маятника дорівнює сумі моментів інерції тіл, що утворюють маятник.

Момент інерції стержня довжиною L відносно осі, що проходить через його центр, дорівнює Ic m1L2 12, а його мо-

мент інерції відносно осі обертання

I		I		m	L		R	2		m L2	m	L		R	2
	o		c							1						, (2.5.8)
				1		2	3		12		1		2	3

де m1 маса одного стержня, L2 R3 – відстань між віссю обер-

тання та центром мас стержня..

Момент інерції чотирьох таких стержнів:

48

I			m L2	4m		L	R	2
	1		1						(2.5.9)
		3		1		2	3

де m1 – маса стержня, що може бути обчислена за формулою:

	d2
m V		L, – густина матеріалу стержня,	d його
1	4

діаметр.

Розміри малих циліндричних тіл (важків), закріплених на стержнях, малі порівняно з відстанню l від осі обертання до центрів мас цих тіл, тому їх можна розглядати як матеріальні точки, сумарний момент інерції яких

					I2 4m2l2 .			(2.5.10)
де l R		l0	– відстань від осі обертання до центрів мас цилінд-
0	2
ричних тіл (важків), m				(D2 d2) l		o		D діа-
							його маса,
	2			4

метр, d діаметр його отвору ( стержня , на якому насаджено важок).

Момент інерції диска, на якому закріплені стержні (моментами інерції шківів диска нехтуємо):

I3		m	R2
		3	3	,	(2.5.11)
	2

де m3 маса диска, R3 радіус диска.

Теоретичне значення моменту інерції всього маятника (моментом інерції шківів нехтуємо, оскільки їх маса досить мала) дорівнює:

IТЕОР I1 I2 I3

	m L2		L			2	m l2		m R2 .		(2.5.12)
	1	4 m			R				3 3
3		1		2	3		2		2

49

Порядок виконання роботи

1. Розмістити важки m2 на однакових відстанях від осі обе-

ртання, внаслідок чого маятник повинен бути збалансованим.

2.Штангенциркулем виміряти радіуси двоступінчатого шківа r1 і r2.

3.Намотати нитку на шків з радіусом r1. Підвісити на гачок

нитки важок масою m.

4.Установити нижній край важка точно з фіксованою міткою на лінійці установки.

5.Одночасно відпустити важок і запустити секундомір.

6.Визначити час, за який важок опуститься до нижньої мі-

тки.

7.Визначити відстань h між мітками.

8.Експеримент провести по 3-5 разів для однакового положення важків m2 для радіуса шківа r1, при різних масах важків m на нитці, а потім повторити те ж для радіуса шківа r2. Результати всіх вимірів занести в таблицю 2.5.1.

9.Для обчислення теоретичного значення моменту інерції маятника Обербека необхідно виміряти довжину стержня хресто-

вини L, його діаметр d , визначити масу кожного з чотирьох важків m2, які знаходяться на хрестовині, і їх довжину l0.

10. Виміряти відстань R0 від кожного важка до осі обертання. Дані вимірів записати в таблицю 2.5.2.

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

1.За формулою (2.5.7) обчислити момент інерції маятника Обербека для різних радіусів двоступінчастого диска і маси важків m, знайти середнє його значення

2.Обчислити абсолютну і відносну похибки експерименту.

3.За формулою (2.5.12) обчислити теоретичний момент інерції маятника.

4.Порівняти результати, отримані з експерименту і теоре-

тичним шляхом, зробити відповідні висновки.

50