FIZMEXKINVAR

0.01 0.015

вказує на те, що момент сили M mglsin прагне повернути маятник у положення рівноваги, а кут відхилення відраховується у протилежному напрямі. У цій системі координат сила тяжіння відіграє роль квазіпружної сили. Оскільки на маятник не діють інші сили, крім квазіпружної, то його коливання можна вважати вільними або власними.

Поділимо рівняння (2.7.1) на I та візьмемо до уваги, що для малих кутів відхилення рад. ( 5 7o ) від положення рівноваги sin , одержимо:

d2		mg
			0	(2.7.2)
dt2
		I

Перевіримо розмірність множника, який знаходиться перед

у рівнянні (2.7.2):

mg				кг	м		м
					2
					с			с 2 Гц2 ,
	I			кг м			2

і отримаємо, що розмірність цього виразу дорівнює розмірності квадрату частоти.

Оскільки m 0, g 0, 0, I 0, то і mg 0.

I

Очевидно, що можна ввести таке позначення:

		02			mg		(2.7.3)
					I
	Із рівнянь (2.7.2, 2.7.3) маємо:
		d2		2
				0 0.			(2.7.4)
		dt2

Ми одержали диференційне рівняння вільних коливань фізичного маятника. Його розв’язком буде гармонічна функція

0 cos( 0t 0 ),	(2.7.5)
61

де 0 – амплітудне значення кута відхилення, t– час, 0 – почат-

кова фаза коливань.

У рівнянні (2.7.5) величина 0 повинна бути кратна 2 ,

тому що період функції cosx дорівнює 2 . Таким чином 0 –

циклічна частота власних коливань фізичного маятника.

0 2												(2.7.6)
Із рівняння (2.7.3) випливає
0						mg			.			(2.7.7)
						I
Відповідно, власна частота та період коливаньдорівнюють
	1
						mg					,	(2.7.8)
	2					I
T 2						I	.					(2.7.9)
					mg

Математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на невагомій і нерозтяжній нитці, що коливається у

вертикальній площині під дією					О
сили тяжіння		(рис.	2.7.2).	До
математичного		маятника		за
своїми	фізичними		властивос-
тями найбільше подібна сис-
тема, що складається з нероз-
тяжної легкої нитки довжиною					l	N
l, до одного кінця якої підві-
шена	невеличка		металева
кулька радіусом R (l R ), а
другий закріплений у нерухо-					x F
мому шарнірі. Можна вважати,
що центр маси такої системи					Рис. 2.7.2	mg
					62

збігається з центром мас кульки. Очевидно, що математичний маятник є частинним випадком фізичного.

Момент інерції маятника відносно точки підвісу O рівний

I ml2 .

(2.7.10)

Для математичного маятника при l

із рівнянь (2.7.9) та

(2.7.10) маємо:

ml2

T 2

I

2

2

l

.

(2.7.11)

mg

mgl

g

З рівняння (2.7.11) випливає, що період коливань математичного маятника не залежить від амплітуди коливань (для малих

відхилень) і маси маятника, а визначається
лише довжиною маятника															lта прискоренням
вільного падіння g .
Якщо визначити періоди коливань T1,
T2 для двох математичних маятників з різни-																						l2
ми довжинами l1			та l2									(рис.2.7.3), то згідно з
рівнянням (2.7.11) маємо
																			1
	T	2			l1					,								(2.7.12)
1						g
	T2	2					l2					.						(2.7.13)			h h2
							g
Із рівнянь (2.7.12, 2.7.13) випливає
g	4 2 (l l			2	)							4			2 h
		1															.	(2.7.14)
	T 2	T	2							T 2 T 2
1		2								1					2					h1
Для математичного (довжиною підвісу
L) та фізичного маятників, періоди коливань
яких однакові, з рівнянь (2.7.9, 2.7.11) маємо																				Рис.2.7.3
										I
			L											.				(2.7.15)
								m
																63

За теоремою Штейнера
I IC m 2 ,	(2.7.16)

де IC – момент інерції маятника відносно осі, що проходить через його центр мас і паралельна до осі, яка проходить через точку підвісу.

Із рівнянь (2.7.15, 2.7.16) маємо

L	IC	.	(2.7.17)
	m

Величину L (рис.2.7.4) називають зведеною довжиною фізичного маятника. Легко показати, що зведена довжина фізичного маятника більша ніж відстань від центру мас маятника C до точки його підвісу O : L .

	Р1	В		Р2
			C	O'
		O
				А

L Рис. 2.7.4

Точку O (рис. 2.7.4), яка находиться на продовжені прямої

OC на відстані L від точки підвісу, називають центром коливань фізичного маятника, або спрощено точкою коливань. Перевернемо маятник на 180о, так, щоб точка його підвісу проходила через точкуO , та знайдемо його зведену величину L :

L	IC	L	IC
	m		m(L )

64

IC m

IC

			I	C
	m
			m

IC L m

Отже зведена довжина маятника залишилася без змін, тому також не зміниться i період коливань маятника T T .

Точка підвісу O фізичного маятника і його центр коливань

O є взаємними або спряженими. Ця властивість використовується в оборотних маятниках, які застосовуються для визначення прискорення вільного падіння.

Підставимо в рівняння (2.7.9) значення моменту інерції маятника згідно з рівнянням (2.7.11)

T 2			I		C	m 2				(2.7.18)
							.
						mg
Якщо маятник оборотний, то
T 2			I	C		m( )2		.		(2.7.19)
						mg

Із рівнянь (2.7.19, 2.7.20) після нескладних перетворень маємо кінцеву формулудля розрахунку прискорення вільногопадіння:

g	4 2	( )		4 2L
					,	(2.7.20)
		T2
				T2

де L– приведена довжина маятника, яка дорівнює відстані між точками підвісу оборотного маятника L (рис.2.7.4).

Порядок виконання роботи та обробка результатів експерименту

Завдання 1

Визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника.

1. Записати координату h1 положення нижньої частини кульки маятника (рис. 2.7.3) в таблицю 2.7.1.

65

2. Відвести математичний маятник від положення рівноваги на кут 5-10о. Визначити час t1 повних n1= 20 -30 коливань маят-

ника. Обчислити період коливань T1. Результати занести у таб-

лицю 2.7.1.

3. Підняти кульку маятника вгору (намотуючи нитку підвісу маятника на барабан) на 50-70 см або опустити її вниз. Визначити положення h2 нижньої частини кульки. Визначити час t2 повних n2= 20-30 коливань маятника. Обчислити період коливань T2 . Ре-

зультати занести в таблицю 2.7.1.

4.За формулою (2.7.14) визначити прискорення вільного

падіння.

5.Дослід повторити 5-7 разів. Визначити середнє значення прискорення вільного падіння та оцінити його похибку.

Завдання 2

Визначення прискорення вільного падіння методом оборотного маятника.

1. Поставити оборотній маятник опорною призмою Р1 на опору (рис. 2.7.3). Відвести маятник від положення рівноваги на кут 5 7o та відпустити його. Визначити час t1 повних n1= 20-30 коливань маятника. Обчислити період коливань T1 віднос-

но точки підвісу O.

2. Перевернути маятник на 180о. Визначити час t2 повних n2= 20-30 коливань маятника. Обчислити період коливань T2

відносно точки підвісу O .

3. Якщо різниця періодів коливань T1 T2 0.05 c , то пе-

реміщуючи диск B маятника по його осі вгору або вниз, не змі-

нюючи положення диска A та опорних призм P1, P2 , домогтися її зменшення до 0,05 с.

66

4. Якщо періоди коливань співпадають з точністю до 0,01-

0,05 с, тобто T1 T2 0.05 c, то провести 3-5 дослідів для ви-

значення періодів коливань маятника відносно опорних призм

P1, P2 , відстань Lміж опорними призмами. Результати дослідів

внести у таблицю 2.7.2. За формулою (2.7.20) обчислити прискорення вільного падіння та оцінити його похибку.

5. Порівняти результати завдань 1 i 2 та провести їх аналіз.

Контрольніпитання

1.Гармонічні коливання. Вільні коливання. Основні характеристики вільних коливань. Диференційне рівняння вільних коливань. Пружинний, крутильний, фізичний та математичний маятники. (с.59-60).

2.Визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного та фізичного маятників. Залежність прискорення вільного падіння від широти місцевості та висоти над поверхнею Землі. (с.59-60).

3.Енергія коливальної системи.

Таблиця 2.7.1

№	h1, м	n1	t1, c	T1, c	h2, м	n2	t2, c	T2, c	h, м	g, м/с2	, %

Таблиця 2.7.2

№ L, м n1 t1, c T1, c n2 t2, c T2, c g, м/с2 , %

67

Лабораторна робота 1.8 Вивчення затухаючих коливань пружинного маятника

Мета роботи. Освоїти методи визначення основних характеристик затухаючих механічних коливань.

Прилади і матеріали. 1. Пружинний маятник. 2. Лабораторна вага. 3. Важки. 4. Лінійка. 5. Секундомір.

Теоретичні відомості

Рухи тіл, які періодично повторюються в часі називають коливальними або коливаннями. Якщо коливання описуються законом синуса або косинуса, то їх називають гармонічними.

x A0 cos( t 0 )

(2.8.1)

де х – відстань коливальної точки від положення рівноваги, її називають зміщенням; А0 – максимальне зміщення коливальної точки від положення рівноваги або амплітуда коливань; t 0 –

фаза коливань; ( 0 – початкова фаза,				– циклічна частота гар-
монічних коливань.
Розглянемо горизонтальний рух матеріальної точки масою
т під дією пружини, один кінець				якої	жорстко закріплено
(рис.2.8.1).
Масою пружини і				k			m
тертям нехтуємо. У по-
ложенні	рівноваги тіла							x
пружина	недеформова-

	на. При зміщенні тіла від	Рис.2.8.1.
	положення рівноваги на

величину х на нього діятиме лише сила пружності, яка, за законом Гука, дорівнює

F kx

(2.8.2)

де k – коефіцієнт пружності пружини, x – абсолютне видовження пружини. Тіло буде виконувати вільні коливальні рухи, тому коливальну систему “тіло – пружина” можна назвати пружинним маятником, а коливання – вільними.

68

Сила пружності направлена весь час проти прискорення тіла. Виведемо тіло з положення рівноваги та запишемо на основі другого закону Ньютона рівняння руху

d2x

d2x

k

m

kx, або

x 0

(2.8.3)

dt2

dt

2

m

Оскільки k 0 i

m 0 , то k /m 0 , що дозволяє ввести но-

ву змінну

2

k

(2.8.4)

0

m

Із (2.8.3) i (2.8.4) маємо

d2 x

2

0 x 0

(2.8.5)

dt2

Фізичну систему, виведену із стану рівноваги i залишену без будь-якого зовнішнього втручання, в якій зміна одного із параметрів описується диференційним рівнянням (2.8.5) називають класичним гармонійним осцилятором, а коливальні рухи, які вона виконує – вільними коливаннями. Коливання є вільними або власними, якщо на тіло, що коливається, не діють інші сили, крім сили пружності. Щоб матеріальна точка здійснювала гармонічні коливання, не обов’язково на неї повинна діяти пружна сила. Досить, щоб при зміщенні тіла від положення рівноваги сила, яка діє на тіло, змінювалась за законом (2.8.2). Якщо сила за своєю природою не є пружною, але змінюється за законом (2.8.2), то її називають квазіпружною.

Диференційне рівняння (2.8.5) називають рівнянням вільних коливань. Його рішенням буде будь-яка функція часу, яка перетворює це рівняння у тотожність.

Легко впевнитися, що його розв’язком може бути одна з функцій:

x A0 cos( 0	t 0),	(2.8.6)
x A0 sin( 0	t 0 ),	(2.8.7)

де 0 – циклічна частота вільних коливань.

69

Підставивши функцію (2.8.6) і другу похідну від неї за часом у рівняння (2.8.5), переконуємося, що функція (2.8.6) є роз- в’язком диференціального рівняння (2.8.5).

Із рівняння (2.8.4) для пружинного маятника маємо

0		k	.	(2.8.8)
		m

Відповідно частотата період вільних коливаньдорівнюють

	0				1				k			,	(2.8.9)
	2				2
									m
		1
T				2				m		.			(2.8.10)

k

Розглянемо пружинний маятник, який виконує коливальні рухи у середовищі, яке чинить опір його руху, що дає підстави вважати – сила тертя не дорівнює нулю. Сила опору пропорційна швидкості i завжди направлена проти руху маятника:

F r

dx

,

(2.8.11)

T	dt

де r – коефіцієнт опору.

Запас енергії коливальної системи буде витрачатися на виконання роботи проти сили тертя, тому амплітуда коливань буде зменшуватися з часом. Такі коливання є затухаючими.

Складемо рівняння руху для такого пружинного маятника.

	d2 x			dx
m			r		kx 0
	dt
		2		dt

Поділимо рівняння (2.8.12) на масу маятникаm.

	d2x		r dx				k
								x 0.
	dt2
			m dt				m
Введемо позначення:

r 2 , m

де – коефіцієнт затухання.

(2.8.12)

(2.8.13)

(2.8.14)

70