FIZMEXKINVAR

y y1 y2 .

y1 A1 sin( t 1 ), y2 A2 sin( t 2 ).

фаз методом фігур Ліссажу.

Різницю між фазами вхідних сигналів можна визначити, знаючи положення фігури відносно системи координат (рис. 2.9.6).

Легко показати, що при рівних частотах різниця фаз сигна-

A

лів складає: arcsin				(2.9.15)
		B
де A – максимальне відхилення							Y
променя по осі Y,	B– відстань
між точками перетину еліпса з
віссю Y.	коливань А			В			X
Додавання
однакового напряму. Биття.
Розглянемо матеріальну точку,
яка бере участь у двох однаково				Рис.23.9.6.Визначення різниці

направлених рухах. Результуюче зміщення точки, що бере участь в кількох коливальних рухах,

становить геометричну суму незалежних зміщень точок, які вона дістає при кожному коливальному русі окремо. Знайдемо рівняння руху тіла, яке бере участь одночасно у двох однаково направлених коливальних рухах з однаковими частотами :

(2.9.16)

(2.9.17)

Якщо матеріальна точка одночасно бере участь у двох коливальних рухах, що відбуваються вздовж однієї прямої, то її результуючий рух відбуватиметься також вздовж цієї прямої.

Результуюче зміщення точки у будь-який момент часу дорівнює сумі незалежних зміщень

(2.9.18)

Зміщення точки, яка бере участь у коливальному русі, від положення рівноваги дорівнює проекції вектора A (де A – амплітуда) на вісь OY, який обертається з швидкістю навколо осі, що проходить через початок системи координат.

81

y1 A1 sin( 1 t 1 ), y2 A2 sin( 2 t 2 ).

			Оскільки	вектори		A і	Y
								A
						1
	A2	обертаються з			однако-
	вою кутовою швидкістю
	(рис. 2.9.7), то зсув фаз між						A2
	ними		2	1 з	часом
	не	змінюється		і вектор		A
	також		обертатиметься з			ку-	2	A1
								X
	товою швидкістю .						1
			Тоді результуюче			ко-	Рис. 2.9.7. Додавання коливань
	ливання буде гармонічним:						однакового напрямку
					y Asin( t )			(2.9.19)

де А – амплітуда результуючого коливання, – початкова фаза.

З рис. 2.9.7 маємо:
A2 A2 A2			2A A cos(			2	)	(2.9.20)
1		2	1	2			1
tg	A1 sin 1	A2 sin 2						(2.9. 21)
	A1 cos 1	A2 cos 2

З (2.9.20) видно, що амплітуда результуючого коливання залежить від амплітуд і різниці початкових фаз складових коливань. Розглянемо випадок додавання однаково напрямлених коливань з різними частотами, рівняння яких

(2.9.22)

(2.9.23)

Якщо вектори складових амплітуд A1і A2 обертатимуться з різними кутовими швидкостями (рис. 2.9.7), то кут між ними змінюється з часом, і результуюча амплітуда також змінюватиметься з часом, тобто коливання буде негармонійним. Для прос-

тоти припустимо, що A1 A2 Ao , 1 2 0 .

82

Тоді
		2						2
y 2A0 cos			1		t sin				1				t 0 .	(2.9.24)
			2						2
Звідси видно, що амплітуда результуючого коливання пері-
одично змінюється за абсолютною величиною з часом
A				2A cos		2	1			t		.		(2.9.25)
				0			2
Оскільки період модуля косинуса дорівнює , то з (2.9.24,

2.9.25) випливає, що період зміни амплітуди коливань складає :

		2	1			T1T2	.	(2.9.26)
	T
		2 1		2 1		T1 T2

Додавання коливань однакового напрямку з близькими частотами називають явищем биття.

При 2 1 2 1 результуючий рух можна розгля-

нути як періодичне коливання з пульсуючою амплітудою, циклічна частота пульсацій якої

	2 1	.	(2.9.27)
2
Частота таких коливань дорівнює середньому арифметичному
значенню частот складових коливань.
Коливальний процес описується рівнянням:
y A0 cos t sin t 0 .			(2.9.28)

Явище биття широко застосовують в радіотехніці для порівняння та вимірювання частоти.

Коливання однакового напряму найпростіше додавати графічно (рис. 2.9.8), для цього потрібно побудувати в однаковому масштабі графіки цих коливань, визначивши з них відповідні зміщення x1i і x2i точок від положення рівноваги в момент часу tі. Алгебраїчно додавши їх, знайдемо зміщення точки результуючого коливання для цього ж моменту часу. Виконавши описану процедуру кілька разів, отримаємо nточок для побудови графіка.

83

Y

y1 Asin( 1 t )

y1i

t

T1

Y	y	2 Asin( 2t )	y	2i

t

Y

y y1 y2

yi y1i y2i

t

ti

T

Рис.2.9.8. Графічний метод додавання однаково направлених коливань.

Методика виконання роботи та обробка результатів експерименту

1.Зібрати установку (рис. 2.9.3).

2.Ввімкнути генератори та осцилограф, дати їм прогрітися.

3.Виставити на досліджуваному генераторі Г2 рукоятку регулятора частоти на позначку “0”. Обертаючи ручку регулятора

84

частоти еталонного генератора Г1, добитися стійкого положення фігури Ліссажу на екрані осцилографа. Занести значення номера позначки N генератора Г2 та значення еталонної частоти y в таблицю 2.9.1. Схематично перенести малюнок фігури Ліссажу в таблицю. За формулою (2.9.14) знайти невідому частоту х (рис. 2.9.2, 2.9.4, 2.9.5).

4. Провести аналогічні виміри для решти позначок генератора Г2. Дані занести в таблицю 2.9.1. Побудувати калібровочну криву f при N=0...20 для генератора Г2.

5.Подати на входи осцилографа сигнали однакової частоти. Зарисувати на папері в повному масштабі положення еліпса. Визначити різницю фаз між вхідними сигналами (формула 2.9.15,

рис. 2.9.6).

6.Не змінюючи вихідні сигнали генераторів за частотою та амплітудою, зібрати установку для спостереження явища биття (рис. 2.9.9). Сигнали від генераторів Г1 та Г2 до входу Y осцилографа обов’язково

підводять	через ре-	Г1	R
зистори R1, R2 збері-
гаючи	полярність
сигналів.	Ввімкнути			Y
розгортку	осцилог-	Г2	R
рафа. Змінити часто-
ту еталонного гене-			Рис. 2.9.9
ратора на 1...5%.

Змінюючи плавно частоту розгортки осцилографа, добитися стійкої осцилограми та схематично зарисувати її.

Контрольніпитання

1. Гармонічні коливання. Графічне зображення та графічний метод додавання гармонічних коливань (с. 68-72, 76-85 ).

85

2.Вільні коливання. Диференційне рівняння вільних коливань. Пружинний, крутильний, фізичний та математичний маят-

ники (с. 68-72).

3.Додавання коливань однакового напрямку. Биття (с. 82-

84).

4.Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу (с. 76-81).

Таблиця 2.9.1

Результати калібровки генератора.

N y, Гц Фігура Ліссажу

ny

nx

x, Гц

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

86

Список рекомендованоїлітератури

1.Дущенко В.П., Кучерук І.М. Загальна фізика. Фізичні основи механіки. Молекулярна фізика та термодинаміка. – К.: Вища школа, 1993.

2.Савельев И.В. Курс общей физики. – Т. 1. – Механика. Молекулярная физика. – М., Н., 1986.

3.Детлаф А..А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989.

4.Портис А. Физическая лаборатория. – М.: Наука, 1978. – 318 с.

5.Александров Н.В. Практикум по общему курсу физики. – М.: Просвещение, 1969. – 168 с.

6.Кучерук І.М., Андріанов В.М. Обробка результатів фізичних досліджень. – К.: Вища школа, 1981. – 216 с.

7.Коваленко С.Г., Соломахо Г.И. Практикум по физике. Механика. – М.: Высшая школа, 1990. – 111 с.

8.Трутнев Д.П. Физика. Изучение свободных колебаний пружинного маятника. Методические указания к выполнению лабораторной работы №2. – М.: ВСХИЗО, 1988. –15 с.

9.Алексеев Б.Ф., Барсуков К.А. и др. Лабораторний практикум по физике. – М.: Высшая школа, 1988. – 351 с.

10.Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики. Справочник. -

К.; Наукова думка, 1989.. 864 с.

11.Кухлинг Х. Справочник по физике. -М.;Мир,1985.-520с

12.Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности.

-М.: Наука,1988.-432с.

13.Дьяконов В. П. Абраменкова И. В. “MATCAD 8 PRO в математике, физике и в Internet”.-M.;Нолидж, 2000, 512с.

87

Додаток

	Основні фізичні сталі			Таблиця 1
Фізична стала		Позн	Числове значення та
		а- чення	одиниці вимірювання
Прискорення	вільного	g	9,81 м/с2
падіння		G,
Гравітаційна стала			6,67 10-11 м3/(кг с2}
Стала Авогадро		N A	6,02 1023	моль-1
Молярна газова стала		R	8,31 Дж/(моль К)
Число Лошмідта		Vm	22,4 10-3 м3/моль
Стала Больцмана		k	1,38 10-23Дж/К
Елементарний заряд		е	1,60 10-19 Кл
Швидкість	світла у	с	3,00 108 м/с
вакуумі
Стала	Стефана-		5,67 10 -8 Вт /(м 2К4)
Больцмана
Стала Віна		b	2,90 10 -3 м Дж
Стала Планка		h	6,625 10 -34 Дж с
			1,05 10 -34	Дж с
Стала Рідберга		R	1,10 107 м-1
Радіус Бора		а	0,529 10 –	м
Комптоновська довжина		0	2.43 10 -12 м
хвилі електрона
Магнетон Бора		Б	0,927 10 -23 А м2
Енергія іонізації атома		Еi	2,18 10 –18Дж (13,6
водню			еВ)
Атомна одиниця маси		а.о.м.	1,660 10 -27 кг
Електрична стала		0	8,85 10 -12 Ф/м
Магнітна стала		0	4 10 -7 Гн/м
		88

Таблиця 2

Густина твердих тіл

Тверде

10-3,

Тверде

10-3,

тіло

кг/м3

тіло

кг/м3

Алюміній

2,70

Мідь

8,93

Барій

3,50

Нікель

8,90

Ванадій

6,02

Свинець

11,3

Вісмут

9,80

Срібло

10,5

Залізо

7,88

Цезій

1,90

Літій

0,53

Цинк

7,15

Таблиця 3

Густина рідин

Рідина

Густина,

Рідина

Густина,

кг/м3

кг/м3

Вода (при 4°С)

1,00∙ 103

Сірковуглець

1,26∙103

Гліцерин

1,26∙103

Спирт

0,80∙103

Ртуть

13,6∙103

Таблиця 4

Густина газів (при нормальних умовах)

Газ

Густина,

Газ

Густина

кг/м3

кг/м3

Водень

0,09

Гелій

0,18

1,29

Кисень

1,43

Повітря

89

Таблиця 5. Множники і приставки для утворення десяткових кратних і частинних одиниць та їхні найменування

Приставка			Приставка
		Мно-			Мно-
Наймену-	Позна-		Наймену-	Позна-
вання	чення	жник	вання	чення	жник
Экса	Э	10 18	Деци	д	10	-1
Пэта	П	1015	Санти	с	10	-2
Тера	Т	1012	Міллі	м	10	-3
Гіга	Г	109	Мікро	мк	10	- 6
Мега	М	10 6	Нано	н	10	-9
Кіло	К	103	Піко	п	10-12
Гекто	г	102	Фемто	ф	10	-15
Дека	да	10	Атто	а	10	-18

90