FIZMEXKINVAR

Із рівнянь(2.8.4, 2.8.13,2.8.14) випливає:

	d2x	2	dx	2x 0.	(2.8.15)
	dt2		dt
				0

Рівняння типу (2.8.15) називають диференційним рівнянням затухаючих коливань. Легко переконатися, що його розв’язком можуть бути функції (рис. 2.8.2):

x A e	t cos( t	0	),	(2.8.16)
0
x A e t sin( t ),				(2.8.17)
0	0

де x– зміщення точки від положення рівноваги, A0 – початкова

амплітуда затухаючих коливань, – циклічна частота затухаючих коливань.

Амплітуда затухаючих коливань змінюється за законом

		A A e t .	(2.8.18)
		0
	x A e tSin( t )
X	0	0
	A(t)	A A	0e t
		A(t+T)

A(t+nT)

t

T nT

Рис.2.8.2

Циклічна частота затухаючих коливань системи менша

за власну циклічну частоту 0 :

	02 2 .	(2.8.19)
	71

Швидкість затухання коливальних рухів характеризується декрементом затухання . Декрементом затухання називають відношення двох амплітуд, інтервал часу між якими дорівнює періоду коливаньT :

	A		A e t	e T ,
	t		0		(2.8.20)
			A e (t T)
	A
	t T		0

а натуральний логарифм відношення двох сусідніх амплітуд відповідно називають логарифмічним декрементом затухання:

ln	An	ln	At	ln T .	(2.8.21)
	An 1
			At T

Визначивши експериментально логарифмічний коефіцієнт затухання і період коливань T , можна знайти коефіцієнт затухання коливальної системи

		.	(2.8.22)
	T

Для зменшення похибки визначення вимірюють амплітуди,

різниця в часі між якими дорівнює не одному, а n періодів:

	A		A		A e t
ln	0	ln	t	ln	0	n T n ,	8.23)
					A e (t nT)
	A		A
	n		t nT		0
звідки маємо:

ln A0

			An		,		(2.8.24)
			n
		ln	A0
			An			.	(2.8.25)
		nT

72

Порядок виконання роботи та обробка результатів експерименту

Завдання 1

Визначення коефіцієнта пружності

пружини.

1. Підвісити до маятника ненаван-

k

тажену платформу (рис. 2.8.3). Записати

значення її вертикальної координати 0 у

таблицю 2.8.1.

2. Помістити на платформу важок

масою m. Зафіксувати нову координату

m

платформи

та

визначити абсолютне

видовження пружини 0 . Дослід

Рис. 2.8.3

повторити 3-5 разів із різними важками.

Результати занести у таблицю 2.8.1.

3. Обчислити для кожного досліду коефіцієнт пружності пру-

жини k mg

.Знайти середнєзначення k

таоцінити похибку.

Завдання 2

Визначення

основних характеристик вільних та затухаю-

чих коливань пружинного маятника.

1. Зважити робоче тіло (важок) пружинного маятника на лабо-

раторній вазі. Записати значення маси m0 важка утаблицю 2.8.2.

2. Зняти платформу маятника. Підвісити до пружини робоче тіло маятника без платформи. Зафіксувати та записати у таб-

лицю 2.8.3 величину 0 положення рівноваги маятника.

3. Відведіть маятник від положення рівноваги та відпустіть його. За допомогою секундоміра визначте час , протягом якого

маятник виконає		N 15...30 повних коливань. Обчисліть період
T / N	та	циклічну частоту затухаючих коливань

2 2 / T. Дані занесіть у таблицю 2.8.2.

73

4. Відведіть маятник до нижньої мітки шкали n . Визначте початкову амплітуду коливань маятника A0 n 0 . Відпустіть маятник та визначте амплітуди A1, A2 ,A3...Ak . Дані занесіть у таб-

лицю 2. За формулою (2.8.24) визначте логарифмічний декремент

затухання , а за формулою (2.8.25) коефіцієнт затухання						.
Дані занесіть у таблицю 2.8.2.
5.	Визначте теоретичне значення циклічної частоти 0					ві-
	коливань маятника 0
льних			k / m0	та порівняйте його з
значенням циклічної частоти		затухаючих коливань.
6.	Визначте початкову фазу коливань за величиною почат-
кового зміщення маятника (при t 0, x0				A0 і	x0 A0Sin 0
тому 0	arcsin( 1)).
7. Запишіть кінематичне рівняння затухаючих коливань для до-
сліджуваного пружинного маятника. Для цього параметри A0 , , у
рівнянні(2.8.17)потрібнозамінитичисловимизначеннями.
8.	Збільшіть опір маятника,		підвісивши до		навантаженої

платформи один із наявних демпферів (легкий пінопластовий диск з великою площею поперечного перерізу) та проведіть досліди згідно з пунктами 1-7. Дані занесіть у таблицю 2.8.3 (її форма аналогічна до форми таблиці 2.8.2).

Контрольніпитання

1.Гармонічні коливання. Вільні коливання. Основні характеристики вільних коливань. Диференційне рівняння вільних коливань. Пружинний, крутильний, фізичний та математичний маятники (с. 68-72 ).

2.Затухаючі коливання. Основні характеристики затухаючих коливань. Диференційне рівняння вільних коливань та його розв’язок (с. 70-72).

3.Енергія коливальної системи.

4.Закон Гука. Модуль Юнга ([1],с. 73-78).

74

Таблиця 2.8.1 Визначення коефіцієнта пружності маятника

			l0
№	m0, кг	l , м	k, Н/м	k , %

Таблиця 2.8.2. Визначення основних характеристик вільних та затухаючих коливань пружинного маятника

		m0			, l0
	Число	, с		T, с	, с-1	0 , с-1
	коливань
	N
	С. зн.	—
		A0=
	Номер	A , м			, с-1
	періоду
	коливань	n
	1
	2
	3
	4
			75

Лабораторна робота 1.9 Додавання гармонічних коливань

Мета роботи. Оволодіти методами одержання та спостереження складних коливальних процесів на прикладі фігур Ліссажу, набути навичок вимірювання частоти та різниці фаз.

Прилади і матеріали. 1. Осцилограф. 2. Звукові генерато-

ри (2 шт.).

Теоретичні відомості Додавання взаємно перпендикулярних коливань. Нехай

тіло бере одночасно участь у двох взаємно перпендикулярних коливальних рухах

x A1 cos( t 1), y A2cоs( t 2 ).

Знайдемо рівняння траєкторії результуючого цього рівняння приведемо до вигляду:

xcos tcos 1 sin tsin 1 ,

A1

ycos tcos 2 sin tsin 2 .

A2

(2.9.1)

(2.9.2)

руху. Для

( 2.9.3)

(2.9.4)

Помножимо перше рівняння на cos 2, а друге – на cos 1 і знайдемо їх різницю; потім помножимо перше рівняння на sin 2,

а друге – на sin 1 і знайдемо їх різницю. Дістанемо

x			cos						y			cos	sin t sin(				),	(2.9.5)
A									A
						2					1					2	1
1								2
	x			sin					y		sin cos tcos(				).			(2.9.6)
	A							A
					2						1			2		1
1								2

Рівняння (2.9.5, 2.9.6) піднесемо до квадрата і почленно додамо їх. В результаті матимемо:

x2		y2	2	xy		cos(				) sin2(				).	(2.9.7)
A2		A2		A A			2		1		2		1
1		2		1	2
						76

Ми одержали рівняння траєкторії результуючого руху тіла, яке одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях однакових частот. У загальному випадку (2.9.7) є рівнянням еліпса. Проведемо аналіз рівняння (2.9.7):

а) Різниця фаз 2- 1=0. Рівняння траєкторії:

Y A2 x. A1

Траєкторія руху тіла – пряма лінія (рис. 2.9.1а).

б) Різниця фаз 2- 1=± . Рівняння траєкторії

Y A2 x . A1

Траєкторія руху тіла – пряма лінія (рис.2.9.1б).

в) Різниця фаз 2- 1=± /2. Рівняння траєкторії:

x2		y2	1.
A2		A2
1	2

(2.9.8)

(2.9.9)

(2.9.10)

Траєкторія руху тіла – еліпс (рис. 2.9.1). Якщо амплітуди складових коливань А1=А2=R, то траєкторія руху – коло

		x2 y2	R2 .	(2.9.11)
	Y	Y		Y
	A2	A2		A2
-A1	A1 X -A1		A1 X -A1	A1 X
	-A2	-A2		-A2
	a)	б)		в)

Рис.2.9.1. Складання взаємно перпендикулярних коливань

При додаванні двох взаємно перпендикулярних коливань різних частот результуючі рухи тіла відбуватимуться по складних траєкторіях (їх називають фігурами Ліссажу). Вони вписані у прямокутники з сторонами, що відповідають подвійним значенням амплітуд складових коливань.

77

Фігури Ліссажу можна спостерігати за допомогою осцилографа з синусоїдальною розгорткою, для цього слід вимкнути внутрішню розгортку і подати на входи X та Y осцилографа електричні сигнали синусоїдальної форми від двох генераторів (рис. 2.9.2).

Еталонний	ГенераторГ2
генераторГ1	(частота невідома)
y= e	x

Рис.2.9.2. Експериментальнаустановкадлякалібровки генератораметодомфігур Ліссажу

Плавно змінюючи еталонну частоту, добиваються нерухомої або малорухомої фігури. Якщо вона має вид прямої, еліпса або кола, то частоти коливань однакові: x= y.

Рис. 2.9.3. Принцип побудови осцилограми при складанні взаємно перпендикулярних коливань однакових частот

На рис. 2.9.3 показано принцип побудови фігури Ліссажу на екрані осцилографа при рівних частотах (цей принцип наочно

78

демонструє графічний метод додавання взаємно перпендикулярних коливань). Їх осцилограма являє собою фігуру у вигляді еліпса, форма якого залежить від фазових співвідношень між вхідними напругами i визначається рівняннями (2.9.8-2.9.11).

Якщо осцилограма нерухома, то це свідчить про кратність відношення періодів вхідних сигналів:

		Ty		ny	,	(2.9.12)
		Tx
				nx
де nx,ny	– цілі числа.
За проміжок часу
	nyTx		nxTy ,			(2.9.13)
періоди	Tx і TY обох сигналів повторюються ціле число разів і

повертаються у початкове положення. Для встановлення співвідношення між частотами отриману фігуру потрібно уявно пересікти вертикальною і горизо-

нтальною	прямими лінія-	Y
ми (рис. 2.9.4) і підрахува-			nx	4
ти число перетинів nx і ny
			ny	6
віток фігури з ними. Лінії
потрібно	проводити так,	O	X
щоб вони	не проходили
через точки перетину ві-
ток фігури Ліссажу. Від-
ношення цих чисел дорів-		Рис. 2.9.4. Фігура Ліссажу
нює відношенню еталон-

ної і невідомої частот.

Якщо на вхід Y подати еталонну частоту, а на вхід X – невідому, то:

	x		ny	y ,	(2.9.14)
			nx
	79

а якщо на вхід Y подати невідому частоту, а на вхід X – еталонну, то в рівнянні (2.9.14) значення еталонної частоти слід помножити на nx/ny. Фігури Ліссажу є замкнені криві при кратному відношенню частот x/ y ірозімкнені– при некратному (рис. 2.9.5).

Замкненні осцилограми нерухомі (стійкі), розімкненні - рухомі (нестійкі). За типом фігури та її положенням відносно системи координат можна знайти співвідношення між фазами, частотами та амплітудами вхідних сигналів. Цей метод вимірювання частоти є одним із найточніших. Похибка вимірювання визначається похибкою установки еталонної частоти і нестабільністю частот обох генераторів. Чим більша нестабільність однієї з цих частот, тим швидше обертається фігура Ліссажу і визначення кратності частот ускладнюється. Осцилографічний метод з синусоїдальною розгорткою доцільно застосовувати при кратності частот е / х 10, оскільки більше число перетинів ліній з фігу-

рою досить важко підрахувати.

= 0o	45o 90o 135o	180o	225o	270o	315o
y: x					y: x
1:1					1:1

1:2

1:2

1:3

1:3

2:3							2:3
= 0o	45o	90o	135o	180o	225o	270o	315o
		Рис.2.9.5. Фігури Ліссажу.
				80