FIZMEXKINVAR

Контрольні питання

1.Основне рівняння динаміки для обертального руху твердого тіла. Момент інерції, момент сили, момент імпульсу. Обчислення моментів інерції тіл. Теорема Штейнера ( с.16-25).

2.Кінетична енергія обертового та поступального рухів твердого тіла (с.18-20).

3.Закони збереження імпульсу, моменту імпульсу й енергії

вмеханіці. Консервативні та дисипативні сили(с. 7-11, 23-26).

4.Вкажіть основні джерела похибок при експериментальному і теоретичному визначенні моменту інерції маятника Обербека. Спробуйте оцінити їх величину. Оцініть вплив кожного доданка розрахункової формули (2.5.12) на точність розрахунків.

Таблиця. 2.5.1

m,

h,

Iтеор,

r1=

r2=

№ п/п

кг

м

кг м2

t, с

I1експ,

I,

t, с

I2експ,

I,

2

2

2

2

кг м

кг м

кг м

кг м

1

2

3

С. зн.

Таблиця 2.5.2

№

L

d

D

m1

l0

R0

m2

R3

1

2

3

С. зн.

51

Лабораторна робота 1.6 Визначення моментів інерції твердих тіл

за допомогою трифілярного підвісу

Мета роботи. Набуття навичок експериментального визначення моментів інерції твердих довільної форми та перевірка теореми Штейнера.

Прилади і матеріали. 1. Трифілярний підвіс. 2. Набір тіл (дисків). 3. Секундомір. 4. Штангенциркуль. 5.Рулетка. 6. Терези.

Теоретичні відомості

На практиці часто необхідні значення моментів інерції неоднорідних твердих тіл і тіл неправильної форми. У таких випадках моменти інерції визначають експериментальним шляхом. Одним із методів визначення моментів інерції є метод трифілярного підвісу. Трифілярний підвіс – кругла платформа, підвішена на трьох симетрично розташованих нитках, закріплених на її краях. Зверху нитки також симетрично прикріплені до диску трохи меншого діаметру, ніж діаметр платформи.

Платформа може виконувати крутильні коливання навколо вертикальної осі ОО (рис. 2.6.1), яка перпендикулярна до її площини і проходить через її центр мас. Центр мас платформи при цьому зміщується внаслідок закручування сталевих ниток вверх або вниз по осі обертання. Період коливань залежить від величини моменту інерції платформи. Цей принцип лежить в основі визначення моменту інерції методом трифілярного підвісу. Він дає можливість визначати моменти інерції тіл довільної форми. Це основна перевага методу трифілярного підвісу над іншими методами.

Нехай платформа масою m0 , обертаючись в одному на-

прямку, піднялася на висоту h. При цьому потенційна енергія платформи зросте на величину

Wп m0 gh,

(2.6.1)

де g прискорення вільного падіння.

52

	B	r	O
	C1	O1
h	A1
A	C		O	R
	Рис. 2.6.1

При обертанні платформи у зворотному напрямку потенціальна енергія перетворюється в кінетичну енергію обертового руху

WK I 2 , 2

де I момент інерції платформи відносно осі швидкість платформи.

(2.6.2)

ОО , кутова

53

Платформа пройде положення рівноваги з максимальною кінетичною енергією. Нехтуючи силами тертя, виходячи із закону збереження механічної енергії, можна записати, що

m gh	I 2
	max	,	(2.6.3)
0	2

де max кутова швидкість платформи в момент досягнення нею положення рівноваги.

Вважаючи, що платформа виконує гармонійні крутильні коливання, можна записати залежність кута зсуву платформи від часу

0 sin t 0	sin	2 t	t ,	(2.6.4)
		T

де , 0 відповідно миттєве й амплітудне значення кута відхи-

лення платформи від положення рівноваги, t поточне значення часу, T період коливань.

Знайдемо кутову швидкість платформи, взявши похідну від

рівняння (2.6.4):

d

2 0

cos

2

t .

(2.6.5)

dt

T

T

Очевидно, максимальне значення кутова швидкість прийме

при cos

2

t 1. Отже

T

max

2 0

.

(2.6.6)

T

h платформи вгору при по-

Знайдемо величину зміщення

вороті її на кут 0 , вважаючи, що h1

h2

2l (рис. 2.6.1):

h h

h

h2

h2

h2

h2

1

2

1

2

.

(2.6.7)

h

h

1

2

2

2l

1

Із рис. 2.6.1 видно, що

h2

l2

(R r)2 ,

1

54

IТ I I0 .

h2 l2 (AB)2						l2 (R2										r2 2Rr cos				0	).
2
Підставивши значення h2												і h2				в (2.6.7), маємо
							1					2
		2Rr(1 cos 0 )												4Rrsin2			0
h																2			.		(2.6.8)
				2l												2l
При малих кутах 0							значення синуса можна замінити його
аргументом sin	0			0	. Отже
2			2
				h				Rr 2
												0	.								(2.6.9)
									2l
Із рівнянь (2.6.6), (2.6.9)										випливає, що момент інерції I0
ненавантаженої платформи відносно осі ОО
				I					m0 gRr						T 2 ,						(2.6.10)
						0			4 2l							0

де T0 період коливань ненавантаженої платформи.

Момент інерції платформи, навантаженої тілом довільної

форми з масою m відносно осі ОО дорівнює
I	(m0	m)gRr	T 2 ,	(2.6.11)
		4 2l

де T період коливань навантаженої платформи.

Момент інерції тіла, що знаходиться на платформі, відносно осі ОО дорівнює

(2.6.12)

Якщо на платформі знаходиться nоднакових тіл і вони розміщені симетрично центру або в центрі платформи, то момент інерції кожного з них дорівнює

IТ		I I0	.	(2.6.13)
		n
	55

Iz Ic ma2 .

Інтервал вимірювання моментів інерції тіл на цій лабораторній установці залежить від величини моменту інерції ненавантаженої платформи. Для того, щоб отримати досить високу точ-

ність вимірювання моменту інерції тіла IT різниця моментів іне-

рції I I0 повинна бути достатньо великою у порівнянні з зна-

ченням I0 , тому диск платформи виготовляють із легкого матері-

алу.

В динаміці обертового руху важливу роль відіграє теорема Штейнера: Момент інерції тіла відносно довільної осіZZ дорівнює сумі моменту інерції цього тіло відносно паралельної осіОО , що проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між цими осями

(2.6.14)

Теорему Штейнера легко перевірити за допомогою трифілярного підвісу. Для цього необхідно мати кілька однакових тіла правильної форми (диск, обруч). Спочатку визначають момент інерції одного або кількох тіл, розмістивши їх у центрі платформи так, щоб їх центр мас співпадав із віссю обертання платформи, а потім тіла розміщують симетрично на платформі і визначають їх момент інерції при такому розміщенні. Знайшовши момент інерції всіх тіл (формула 2.6.12) та поділивши його на кількість тіл, визначимо момент одного тіла, що знаходиться на відстані a від осі обертання. Визначивши відстань, масу і момент інерції тіла, покладеного в центр платформи, можна обчислити момент інерції цього тіла за теоремою Штейнера. Порівнявши отримані значення моментів інерції тіла, ми експериментально перевіримо теорему Штейнера.

56

Порядок виконання роботи та обробка результатів експерименту

1. Визначити геометричні розміри l,R,r установки та гео-

метричні розміри RТ ,rТ досліджуваних тіл. Зважити платформу та тіла. Результати вимірів занести в таблицю 2.6.1.

2. Привести платформу у коливальний рух. Для цього повернути нижню платформу на невеликий кут – 5-10° відносно положення рівноваги – і відпустити її. Секундоміром виміряти час 25-30 повних коливань і визначити період коливань (ненаванта-

женої платформи
T		t	,	(2.6.15)
0		N

де N число повних коливань платформи за час t.

Обчислити момент інерції I0 не завантаженої платформи (фор-

мула 2.6.10). Результати записати в таблицю 2.6.1.

3. У центрі платформи розмістити досліджуване тіло. Ви-

значити період коливання платформи з тілом Т1 . Результати за-

писати в таблицю 2.6.2. Обчислити момент інерції тіла за форму-

лами (2.6.10), (2.6.11), (2.6.12).

4. У центрі платформи розмістити кілька тіл (бригада, порядковий номер якої парний, виконує роботу з двома тілами, а бригада, в якої порядковий номер непарний – з трьома). Визначи-

ти період коливання платформи з тілами в центрі T2 . Результати

записати в таблицю 2.6.2. Обчислити момент інерції тіла за фор-

мулами (2.6.10), (2.6.11), (2.6.12), (2.6.13).

5. На платформі симетрично центра розмістити тіла. Визначити відстань а від центра платформи до центра мас тіл та період коливань платформи Т3 .Результати записати в таблицю

2.6.2. Обчислити момент інерції I3 тіла зміщеного відносно осі

57

ОО на відстань а за формулами (2.6.10), (2.6.11), (2.6.12), (2.6.13).

6. Обчислити теоретичне значення моменту інерції ненава-

нтаженої платформи I0T та тіл ITT (формули 1.48, 1.49, 1.50)

відносно осі, що проходить через їх центр мас. Результат порівняти з експериментом.

7. За теоремою Штейнера (формула 2.6.14) обчислити теоретичне значення моменту інерції зміщеного диска. Порівняти експериментальне та теоретичне значення моменту інерції змі-

щеного диска відносно осі OO .

Контрольніпитання

1.Момент інерції твердого тіла. Розрахунок моментів інерції простих тіл (диск, однорідний стержень, куля). Теорема Штейнера. Момент імпульсу. (с. 16-24).

2.Основне рівняння динаміки обертального руху (с.25-26).

3.Кінетична енергія тіла, яке бере участь в обертовому русі. Закон збереження енергії в механіці. Консервативні та дисипа-

тивні сили (с.1819, 9-12).

4.Переваги і недоліки методу трифілярного підвісу (с. 52-

58 ).

Таблиця 2.6.1. Дослідження характеристик установки.

Систематичні

R= м

l=

м

r= м

mo=

кг

похибки, х

№

t.

T,

R,

r,

m ,

l

l,

I

0,

N

T,

R,

r,

o

mo,

I,

п/п

с

с

с

м

м

м

м

кг

кг

м,

м

кг м2

%

1

-

-

2

-

-

3

-

-

Ср.

–

–

зн.

R , r, mo_– систематичні похибки, T, r, mo– випадкові похибки.

58

Таблиця 1.2.2. Визначення моментів інерції тіл.

Одне тіло в центрі платформи

№

N1

t1,

T1,

T1,

m,

m,

m,

I1,

2

I1,

I1,

I,

п/п

с

с

с

кг

кг

кг

кг м

2

кг м

2

%

кг м

1

–

–

–

–

2

–

–

–

–

3

–

–

–

–

Ср.

–

–

зн.

Кілька тіл (два або три) в центрі платформи

№

N2

t2,

T2,

T2,

m,

m,

m,

I2,

2

I2,

I2,

I,

п/п

с

с

с

кг

кг

кг

кг м

2

кг м

2

%

кг м

1

–

–

–

–

2

–

–

–

–

3

–

–

–

–

Ср.

–

–

зн.

Кілька

тіл (два або три) на відстані а центра платформи

№

N3

t3,

T3,

T3,

m,

m,

m,

I3,

2

I3,

I3,

I,

п/п

с

с

с

кг

кг

кг

кг м

2

кг м

2

%

кг м

1

–

–

–

–

2

–

–

–

–

3

–

–

–

–

Ср.

–

–

зн.

59

Лабораторна робота 1.7 Визначення прискорення вільного падіння за допомогою

математичного та фізичного маятників

Мета роботи. Освоїти методи визначення прискорення вільного падіння за допомогою фізичного та математичного маятників.

Прилади і матеріали. 1. Оборотний фізичний маятник. 2. Математичний маятник. 3. Лінійка. 4. Секундомір.

Теоретичні відомості

Фізичним маятником називають тверде тіло, яке може здійснювати коливання навколо нерухомої точки О, яка не збігається з його центром мас С (рис. 2.7.1). При відхиленні маятника від положення рівноваги

на кут під дією складо- O

вої сили земного	тяжіння
F mgsin
	виникає
обертальний
	момент

M F mg sin . Він

намагається повернути маятник у положення рівноваги. Запишемо рівняння руху маятника, виходячи з основного рівняння динаміки обертального руху (вважаємо, що сили тертя відсутні):

C
		O
F
		F
Рис. 2.7.1	mg

	I	d2		mg sin ,	(2.7.1)
		dt	2

де I – момент інерції тіла відносно горизонтальної осі, що проходить через точку підвісу О. Знак мінус в лівій частині (2.7.1)

60