3.3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Сначала рассмотрим перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную и наоборот. Это наиболее просто в связи с тем, что 16 = 2⁴ .

Правило 1. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное надо каждую цифру заменить четырехразрядным двоичным числом. Незначащие нули отбросить.

Пример 3.10

305,4₁₆ =0011 0000 0101,0100₂ =1100000101,01₂

Правило 2. Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную надо число разбить на четверки влево и вправо от запятой. Крайние группы, если необходимо дополнить нулями. Затем каждую четверку двоичных цифр заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Пример 3.11

1010111,1101101₂ =0101 0111,1101 1010₂ =57,DA₁₆

Рассмотрим общие правила перевода чисел из одной системы счисления в другую. Эти правила зависят от того, в какой системе счисления осуществляются арифметические операции, связанные с преобразованием чисел, - в той, в какой представлено исходное число, или в той, в которую оно переводится.

Правило 3. Задано число С, представленное в системе счисления с основанием S: C = C_n C_n-1 …C₁ C₀ C_-1 C_-m . Нужно перевести его в h-систему, выполняя действия в новой системе счисления.

Для этого нужно представить его в виде суммы степеней S :

C = C_n Sⁿ +C_n-1 S^n-1 +…+C₁ S¹ +C₀ S⁰ +C_-1 S^-1 +…+C_-m S^-m,

где основание S, коэффициенты С и номера разрядов i выражены в новой h-системе. Все действия надо выполнять в h-системе.

Пример 3.12

1. Перевести 2Е5,А₁₆ в десятичную систему счисления:

2Е5,А₁₆ =2 16² +1416¹ +516⁰ +1016^-1 =741,625₁₀.

2. Перевести 52₁₀ в двоичную систему счисления:

52₁₀=1011010¹ +101010⁰ =110010+10=110100₂.

3. Перевести 1101,101 в десятичную систему счисления:

1101,101₂ = 1 2³ +1 2² +0 2¹ +1 2⁰ +1 2^-1 +0 2^-2+1 2^-3 =13,625₁₀.

Этот способ удобен при S<h и особенно для ручного перевода в десятичную систему счисления.

Рассмотрим перевод целого числа С из S-системы в h-систему в арифметике S-системы счисления.

Правило 4. Для перевода целого числа из S-системы в h-систему счисления в арифметике S-системы нужно последовательно делить это число и получающиеся частные на h до тех пор, пока частное не станет меньше h. Старшей цифрой в новой записи числа будет последнее частное, а следующие за ней цифры дают остатки, вписанные в последовательность, обратную их получению. Все вычисления производятся в старой S-системе. (При S<h прежде, чем записать число, надо получившиеся остатки переписать в цифры h-системы).

Пример 3.13

1. Перевести число 70 в двоичную систему счисления

70 2

0 35 2

1 17 2

1 8 2

0 4 2

0 2 2 70₁₀ =1000110₂

0 1

2. Перевести 10000000 в десятичную систему счисления

10000000 1010

- 1010 1100 1010

1100 - 1010 1

- 1010 10=2₁₀

1000=8₁₀ 10000000₂ =128₁₀

В ЭВМ с целью упрощения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. При помощи этих кодов:

0. автоматически определяется знак результата;

1. операция вычитания сводится к арифметическому сложению кодов чисел;

2. упрощается операционная часть ЭВМ.