- •Вопрос 1. Первообразная и ее общий вид
- •Вопрос 2. Свойства неопределенного интеграла
- •Вопрос 3. Интегрирование заменой переменной и подстановкой в неопределенном интеграле
- •Вопрос 4. Интегрирование по частям неопределенного интеграла
- •Вопрос 5. Необходимое условие интегрируемости функции.
- •Вопрос 6. Суммы Дарбу и их свойства.
- •Вопрос 7. Лемма Дарбу-Римана.
- •Вопрос 8. Критерий интегрируемости
- •Вопрос 9.Свойства интеграла Римана
- •Вопрос 10.Интегрируемость непрерывной функции
- •Вопрос 11. Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва.
- •Вопрос 12. Интегрируемость функции, монотонной на отрезке.
- •Вопрос 13. Теоремы о среднем для интеграла.
- •Вопрос 14. Свойства интеграла с переменным верхним пределом интегрирования.
- •Вопрос 15. Формула Ньютона-Лейбница и её обобщение.
- •Вопрос 16. Интегрирование заменой переменной и по частям в определённом интеграле
- •Вопрос 17. Векторные пространство Rm, скалярные произведения, модуль, расстояние.
- •Вопрос 18. Критерии замкнутости в метрическом пространстве.
- •1 Критерий замкнутости
- •2 Критерий замкнутости
- •Вопрос 19. Свойство компактности в метрическом пространстве.
- •Вопрос 20. Компактность m-мерного отрезка.
- •Вопрос 21. Критерий компактности в Rm.
- •Вопрос 22. Критерий Коши и покоординатная сходимость.
- •Вопрос 23. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •Вопрос 24. Предел функции по направлению и предел по совокупности переменных.
- •Вопрос 25. Повторные и двойные пределы.
- •26. Непрерывность сложной функции многих переменных.
- •27. Теорема Коши о промежуточном значении функции.
- •28. Теоремы Вейерштрасса для функций многих переменных.
- •29. Дифференцируемость функции многих переменных, вид нелинейной части.
Вопрос 1. Первообразная и ее общий вид
Функция F, определенная на конечном или бесконечном промежуткеE𝜖называетсяпервообразной функции, или первообразной, функцииfна промежуткеE, если она дифференцируема на нем и имеет место равенствоF’(x)=f(x) для каждогоx𝜖E.
Теорема
Если F– какая либо первообразная функцииfна промежуткеEто всякая функция вида Ф(х)=F(x)+Cтакже является первообразной для функцииfна промежуткеEи всякая первообразная функцииfпредставима в таком виде.
Доказательство
Пусть Ф и F– две первообразные для функцииfна промежуткеE, т.е. Ф’(x)=f(x) иF’(x)=f(x),x𝜖E. Следовательно,[Ф(х)-F(x)]’=Ф’(x)-F’(x)=0 на промежуткеE. Рассмотрим функцию(х)=Ф(х)-F(х). Эта функция имеет производную, всюду равную нулю. Возьмем любые точки х1,х2𝜖E. Функцияудовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке [x1,x2] (непрерывна на [x1,x2], дифференцируема на (х1,х2)).Следовательно, по этой теореме существует𝜖(х1,х2) такая, что𝜑(x1)-𝜑(x2)=𝜑’(x)(x1-x2)=0. Отсюда следует, что𝜑(х)constнаE. Следовательно, Ф(х)=F(x)+C. Итак, все первообразные дляf(x)=2xесть Ф(х)=х2+С.
Пусть функция fимеет первообразную на некотором промежуткеE. Неопределенным интегралом от функцииfна промежуткеEназывается совокупность всех первообразных функций дляfнаE, и она обозначается.Поэтому
,
Где F– одна из первообразных дляfнаE.
Вопрос 2. Свойства неопределенного интеграла
1)Если функция Fдифференцируема на промежуткеE, то
Доказательство:
Fпервообразная дляF’
2)Пусть для функции fсуществует первообразная на промежуткеE, тогда
Доказательство:
где F первообразная на E
3)Если функции f1иf2 имеют первообразные на промежуткеE, то функцияf1+f2тоже имеет первообразную наE, и имеет место равенство
Доказательство:
Пусть F1 первообразнаяf1на Е,F2 первообразнаяf2на Е
1)F1(x)+F2(x) –первообразнаяf1(x)+f2(x) на Е
Берем
2)Берем ;F(x)=F1(x)+C1+F2(x)+C2
F(x)=F1(x)+F2(x)+C 𝜖
Обратное аналогично
4)Пусть fимеет первообразную на Е. Тогдаkf(x) имеет первообразную наEи
Доказательство
1)Пусть Fпервообразнаяfна Е, тогдаkF(x) – первообразнаяkf(x) на Е
Берем x𝜖E(kF(x))’=kF’(x)=kf(x)
2)Берем
Ф(x)=kF(x)+C=k(F(x)+)𝜖 k*
Берем
Ф(x)=k*(F(x)+C)=KF(x)+kc𝜖
Вопрос 3. Интегрирование заменой переменной и подстановкой в неопределенном интеграле
Теорема.Пусть функцииf(u) иu=(x) определены на некоторых промежутках, что имеет смысл сложная функцияf[]. Пусть функцияfимеет первообразнуюF, а функциядифференцируем, тогда функцияf[(x)]’(x) имеет первообразную Ф(х)=F[(x)].
Доказательство.ФункцииFиfопределены на одном промежутке, следовательно, имеет смысл сложная функцияF[(x)]. По правилу вычисления производной сложной функции имеем
Таким образом, функция f[]имеет в качестве одной из своих первообразных функциюF[].
Замечание. Формула (1) называется еще формулой интегрирования подстановкой, так как учитывая, что
Ф(х)+С=F[(x)]+C=F[u]+C=, Ф(х)+С=, ей можно придать следующий вид:
.
Равенство 2 понимается так: для вычисления интеграла сначала вычисляют, а затем подставляют вместо переменной и функциюu=.
Вопрос 4. Интегрирование по частям неопределенного интеграла
Если функции u и vдифференцируемы на некотором промежуткеEи существует первообразная дляu’vнаE, то существует первообразная дляuv’ наEи имеет место формула
Доказательство.
(u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x). Следовательно,u(x)v’(x)=(u(x)v(x))’-u’(x)v(x). Первообразная правой части этого равенства существует наE, поэтому существует первообразная наEи для и для левой частиu(x)v’(x).
Формула интегрирования по частям (1) следует из равенства
Замечание. Учитывая равенства du=u’(x)dx,dv=v’(x)dx, формулу интегрирования по частям можно записать в таком виде: