- •Вопрос 1. Первообразная и ее общий вид
- •Вопрос 2. Свойства неопределенного интеграла
- •Вопрос 3. Интегрирование заменой переменной и подстановкой в неопределенном интеграле
- •Вопрос 4. Интегрирование по частям неопределенного интеграла
- •Вопрос 5. Необходимое условие интегрируемости функции.
- •Вопрос 6. Суммы Дарбу и их свойства.
- •Вопрос 7. Лемма Дарбу-Римана.
- •Вопрос 8. Критерий интегрируемости
- •Вопрос 9.Свойства интеграла Римана
- •Вопрос 10.Интегрируемость непрерывной функции
- •Вопрос 11. Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва.
- •Вопрос 12. Интегрируемость функции, монотонной на отрезке.
- •Вопрос 13. Теоремы о среднем для интеграла.
- •Вопрос 14. Свойства интеграла с переменным верхним пределом интегрирования.
- •Вопрос 15. Формула Ньютона-Лейбница и её обобщение.
- •Вопрос 16. Интегрирование заменой переменной и по частям в определённом интеграле
- •Вопрос 17. Векторные пространство Rm, скалярные произведения, модуль, расстояние.
- •Вопрос 18. Критерии замкнутости в метрическом пространстве.
- •1 Критерий замкнутости
- •2 Критерий замкнутости
- •Вопрос 19. Свойство компактности в метрическом пространстве.
- •Вопрос 20. Компактность m-мерного отрезка.
- •Вопрос 21. Критерий компактности в Rm.
- •Вопрос 22. Критерий Коши и покоординатная сходимость.
- •Вопрос 23. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •Вопрос 24. Предел функции по направлению и предел по совокупности переменных.
- •Вопрос 25. Повторные и двойные пределы.
- •26. Непрерывность сложной функции многих переменных.
- •27. Теорема Коши о промежуточном значении функции.
- •28. Теоремы Вейерштрасса для функций многих переменных.
- •29. Дифференцируемость функции многих переменных, вид нелинейной части.
Вопрос 8. Критерий интегрируемости
А)в терминах s(T),S(T)
Б)I*,I*
Полезным для дальнейшего является понятие колебания функции fна отрезке (𝛼,𝛽):
𝜔 (f,[𝛼,𝛽]) =sup f(x)-inf f(x)=M-m
В частности
𝜔(f,[xk,xk+1])=𝜔k(f)=Mk-mk.
Следовательно,
S(T)-s(T)=
Сформулируем необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке [a,b]
Теорема (Критерий Римана).
Для того чтобы ограниченная функция fбыла интегрируемой на отрезке [a,b], необходимо и достаточно, чтобы для любого>0 нашлось такое разбиение Т отрезка [a,b], при которомS(T)-s(T)<𝜀(или<𝜀)
Замечание 1
Из этого условия следует, что интегрируемость функции fравносильна тому, что для любого𝜀>0 найдется разбиение отрезка [a,b], при котором график функцииfможно поместить в «змейку», составленную из прямоугольников общей площади меньше𝜀(см. рисунок)
Доказательство.
Необходимость. <=
Из определения интегрируемости функции fна [a,b] следует, что для любого𝜀>0 найдется𝛿>0 такое, что для всех разбиений Т𝜖, мелкость которых𝜆(Т)<𝛿, и для всехк𝜖[xk,xk+1],k=0,…,n-1, выполняется условие
I-𝜀/3<<I+𝜀/3
Переходя к supиinfв этих неравенствах пок𝜖[xk,xk+1],k=0,…,n-1 и воспользовавшись свойством 1 сумм Дарбу, получим
I-𝜀/3s(T)
Отсюда
S(T)-s(T)I+𝜀/3-(I-𝜀/3)=2𝜀/3<𝜀
Достаточность. =>
Пусть 𝜀>0 произвольно и Т𝜖– такое разбиение отрезка [a,b], при которомS(T)-s(T)<𝜀. По свойствамs(T),S(T),I*,I*имеем (см. рисунок)
s(T)I*I*S(T)
Отсюда, по условию теоремы,
I*-I*S(T)-s(T)<𝜀
Следовательно, ввиду произвольности 𝜀>0, имеемI*=I*=I.
Докажем теперь, что функция fинтегрируема на [a,b] и интеграл от нее равен числуI. Возьмем произвольное𝜀>0, тогда по лемме Дарбу существует𝛿(𝜀)>0 такое, что для любого разбиения Т𝜖отрезка [a,b] мелкостью𝜆(Т)<𝛿(𝜀) выполняется
I-𝜀<s(T)S(T)<I+𝜀.(1)
В силу того, что для любого k𝜖[xk,xk+1],k=0,…,n-1,
s(T) из неравенства (1) имеем
I-𝜀<
Вопрос 9.Свойства интеграла Римана
Пусть функция fинтегрируема на отрезке [a,b]. Тогда она интегрируема на любом отрезке [a1,b1][a,b].
Пусть a<c<b. Тогда, если функцияfинтегрируема на отрезках [a,c] и [c,b], она интегрируема на отрезке [a,b] и имеет место равенство
Пусть функции fиgинтегрируемы на отрезке [a,b]. Тогда их суммаf(x)+g(x) также интегрируема на отрезке [a,b] и имеет место равенство
Пусть функция fинтегрируема на отрезке [a,b], аC-константа. Тогда функция Сf(x) интегрируема на отрезке [a,b] и имеет место равенство
Пусть функции fиgопределены на отрезке [a,b], причем функцияfинтегрируема на отрезке [a,b], а функцияgотличается от функцииfв конечном числе точек. Тогда функцияgтоже интегрируема на отрезке [a,b] и имеет место равенство
Если функции fиgинтегрируемы на отрезке [a,b], то их произведениеfgтоже интегрируемо на отрезке [a,b].
Пусть функция fинтегрируема на отрезке [a,b] иf0. Тогда
Пусть функция fинтегрируема на отрезке [a,b]. Тогда функция |f| интегрируема на отрезке [a,b] и имеет место неравенство
Докажем некоторые из перечисленных свойств.
1)Пусть задано произвольное 𝜀>0. В силу критерия интегрируемости функцииfна отрезке [a,b] существует разбиение Т, при которомS(T)-s(T)<𝜀. Пусть Т` - разбиение отрезка [a,b], полученное из разбиения Т добавлением точекa1,b1, т.е. Т’ =T{a1,b1}T. Пусть теперь Т1-разбиение отрезка [a1,b1], образованное точками разбиения Т`, принадлежащими отрезку[a1,b1][a,b]. Тогда
S(T1)-s(T1)=.
Поскольку TT’, то по свойствам сумм Дарбу
s(T)s(T’)S(T’)S(T)
и, следовательно,
S(T’)-s(T’)S(T)-s(T), т.е.
Итак, нашлось разбиение T1отрезка [a1,b1], при котором
Следовательно, функция fинтегрируема на отрезке [a1,b1] по критерию интегрируемости (теорема 9.5.1)
5)Рассмотрим функцию
u(x)=g(x)-f(x),
u(x)=0 на отрезке [a,b], за исключением конечного числа точек1,2,…,p. Возьмем любое𝜀>0, а𝛿=𝜀/2pM. ПустьM=max{|u(x1)|,…,|u(xp)|} иT– разбиение отрезка [a,b] настолько мелкое, что каждая из точек 1,2,…,pпринадлежит не более чем двум отрезкам разбиения Т(либо она лежит внутри – тогда одному отрезку, либо на границе – тогда двум отрезкам) и𝜆(Т)<𝛿. Тогда для функцииu(x) имеем
S(T)-s(T)=
Отсюда, по критерию интегрируемости, функция u(x), а следовательно, и функцияg(x)=f(x)+u(x) интегрируемы на отрезке [a,b]. Из неравенств
Следует
, и поэтому
Замечание1.
Если у интегрируемой функции fна отрезке [a,b] изменить значения в конечном числе точек, то она останется интегрируемой, и величина интеграла не изменится.
6)Поскольку функции fиgинтегрируемы на отрезке [a,b], то они ограничены на нем. Следовательно, существуетM>0 такое , что дляx𝜖[a,b] : |f(x)|Mи |g(x)|M. Тогда в силу критерия интегрируемости для любого𝜀>0 найдутся разбиения Т1и Т2, при которых
Sf(T1)-sf(T1)<, Sg(T1)-sg(T1)<
Возьмем разбиение T=T1T2. Поскольку разбиение Т отрезка [a,b] является измельчением разбиений Т1,Т2, по свойствам сумм Дарбу для функцийfиgимеет место
s(T1)s(T)S(T)S(T1).
Отсюда
S(T)-s(T)S(T1)-s(T1).
Поэтому
Sf(T1)-sf(T1)Sf(T1)-sf(T1)<
Итак,
Где 𝜔k(f)- колебание функции на [xk,xk+1],
Где 𝜔k(g) колебание функции на [xk,xk+1]
Докажем теперь, что для колебания 𝜔k(fg) функцииf(x)g(x) на отрезке [xk,xk+1] имеет место неравенство
𝜔k(fg)M(𝜔k(f)+𝜔k(g)).
Возьмем любые ,,𝜖[xk,xk+1], тогда
f()g()-f()g()=f()g()-f()g()+f()g()-f()g()=f()[g()-g()]+g()[f()-f()].
Поэтому
|f()g()-f()g()|M|f()-f()|+M|g()-g()|
Следовательно, по свойству 4 сумм Дарбу и свойству точных границ
𝜔k(fg)=f(k)g(k) –f(k)g(k)=[f()g(k)-f(k)g(k)]=
|f()g(k)-f(k)g(k)|M[|f()-f()|+|g(k)-g(k)|]=[снова по свойству 4]=M[-f()]+M[-g()]=M(𝜔k(f)+𝜔k(g)).
Поэтому по построению разбиения T=T1T2, имеем
=M(∆xk + )<M()
Следовательно, по критерию интегрируемости, произведение функций f(x)g(x) интегрируемо на отрезке [a,b]
Замечание 2
Вообще говоря, интеграл от произведения функций не равен произведению интегралов т.е.