Вопрос 15. Формула Ньютона-Лейбница и её обобщение.

В другой формулировке указано выше.

Если f – непрерывна на [a,b], то

, где Ф(x) – какая-либо первообразная f на [a,b]

Доказательство:

f– интегрируема на [a,b], т.к.f– непрерывна на [a,b], следовательно

Следствие:

F(x) – непрерывно дифференцируема на [a,b], т.е.f’(x) – непрерывна на [a,b], тогда

F(x) – первообразная дляF’(x). Спасибо, кэп!

Вопрос 16. Интегрирование заменой переменной и по частям в определённом интеграле

Теорема 9.10.1. Для непрерывно дифференцируемых на отрезке [a,b] функций u(x)v(x) имеет место формула интегрирования по частям

Доказательство. Функция u(x)v(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b]. По следствию из теоремы Ньютона-Лейбница имеем

Но по правилу дифференцирования произведения

Следовательно, слагаемые непрерывны и по аддитивному свойству определенного интеграла получаем

Отсюда следует требуемое равенство.

Последнюю формулу удобно записывать в виде

Пример 9.10.1. Вычислим интеграл .

Теорема 9.10.2. Если функция непрерывно дифференцируема на отрезке, при любомзначения функциилежат на отрезке, и функцияf непрерывна на отрезке [A,B], тогда имеет место формула замены переменной.

Доказательство (см. рис. 9.10.1). По теореме о замене переменной в неопределенном интеграле функции f(x) и имеют непрерывно дифференцируемые первообразныеF(x) и Ф(t), связанные между собой так: для всех. По теореме Ньютона - Лейбница имеем

Рис. 9.10.1

Пример 9.10.2

Вопрос 17. Векторные пространство Rm, скалярные произведения, модуль, расстояние.

Метрическим пространством называется множество, в котором определенно расстояние между любой парой элементов, то есть существует p(x,y) – метрика.

Метрикойназывается функция расстоянияp:R^m–>R.

Для любых точек x,y,zэта функция удовлетворяет следующим аксиомам:

1. p(x,y)=p(y,x)

2. p(x,y)=0 <=> x=y

3. p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z)

1) 2)3) => 4)p(x,y)≥0

Векторное пространство L(P) над полемP(гдеP~R^m) - это непустое множество L, на котором введены операции

1)сложения

2)умножения на скаляр

При этом на операции накладываются следующие условия

1. x+y=y+x

2. x+(y+z)=(x+y)+z

3. x+0=x

4. x+(-x)=0

5. a(bx)=(ab)x

6. 1*x=x

7. (a+b)x=ax+bx

8. a(x+y)=ax+ay

L-вектора(x,y,z)P-скаляры(a,b)

Векторомназывается упорядоченное множество изmпеременных (x₁,x₂, …,x_m)

Модулем вектора x называется его длина, обозначается как |x|.

|x|=( x₁²+ x₂²+…+x_m²)^1/2

Скалярное произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), умножение длины вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x.

(x,y)=|x||y|cos(x,y)

Вопрос 18. Критерии замкнутости в метрическом пространстве.

X₀– предельная точка множества Yв метрическом пространстве (X,p), если для любойO(x_o): пересечение выколотойO(x₀) иYне пусто.

Пусть Fвключено в метрическое пространство (X,p).F–замкнутое множествона (X,p), еслиG=X\F– открыто в (X,p).

1 Критерий замкнутости

F– замкнуто в (X,p) <=> предельные точкивключены вF

Доказательство:

Н => о/п

Пусть x₀– предельная точкаиx₀ не принадлежитF.

Найдётся не пустое пересечение выколотой O(x_o) иF=>x_o не принадлежит.Противоречие.

Д <=

G=X\F, для любогоx_oвключенного вGнайдётся пустое пересечениеO(x_o) иF=>O(x_o) включена вG, т.е.G– открыто в (X,p), тогдаF– замкнуто в (X,p).

2 Критерий замкнутости

F– замкнуто в (X,p) <=> объединение предельных точекFиFравноF

Доказательство:

Н =>

Д <=