Глава2.

Флуктуации тока

Одним из проявлений дискретной природы носителей тока,явл яется флуктуирование тока,то есть,отклонение его мгновенного з начения, I, от среднего значения, 0I1. Величина флуктуаций тока , или , как говорят , вели - чина шума,характеризуется средним квадратом флуктуаций,

0δI21 = C	+	,	2D.	(2.1)
	I − 0I1

С другой стороны эту же величину можно представить как разность между средним значением квадрата тока, 0I21, и квадратом среднего значения тока ,

0δI21 = 0I21 − 0I12 .

(2.2)

Ниже мы остановимся на двух источниках шума в мезоскопике.В о- первых,это – тепловой шум, или шум Найквиста - Джонсона , возникаю - щий при отличной от нуля температуре, T0 > 0, резервуаров и существу - ющий даже в том случае,когда электронная система находится в равно - весном состоянии,смотри,например, [ 12, 20].В образце с проводимостью G, соединенном с резервуарами , имеющими одинаковые потенциалы,существует флуктуирующий ток.Среднее значение этого тока ра вно нулю, 0I1 = 0, а средний квадрат флуктуаций отличен от нуля ,

0δI21(th)	= 2kBT0G ,	(2.3)
ν
(индекс (th) – от английского словаthermal).Здесь		ν – интервал частот,

вкотором измеряются флуктуации тока .

Вмезоскопических проводниках тепловой шум обусловлен флуктуациями заселенности состояний электронов(смотри,наприме р, [12]),нале-

52

тающих на образец из резервуаров.При нулевой температуре з аселенности состояний не флуктуируют и,поэтому,тепловой шум отсутств ует.

И,во-вторых,это – дробовой шум [21].Как впервые показал Шоттки [22],исследуя протекание тока в электронной лампе,вероятнос тный характер процесса прохождении электронов через систему приводит к флуктуа - циям тока.В фазово-когерентных образцах дробовой шум возн икает вследствие вероятностного характера рассеяния электронов как квантовых частиц.Дробовой шум появляется только в том случае,если обра зец находится в неравновесном,токовом состоянии.Так,при наличии напряжения V среднее значение тока равно 0I1 = G V . При этом , даже при нулевой температуре,ток флуктуирует,

0δI21(sh)	= e I	(1	−	T		) ,	(2.4)
ν	| 0 1|				12

(индекс (sh) – от английского словаshot).

Присутствие в вышеприведенном выражении величины T12, которая есть вероятность электрону,пришедшему в образец из одного резервуара,быть рассеянным в другой резервуар,отражает вероятнос тную природу дробового шума.Кроме того,учитывая,что G T12, можно показать , что дробовой шум является максимальным при равных вероятностях отражения и прохождения, R11 = T12 = 1/2. Откуда следует , что , чем больше неопределенность в том,что произойдет с электроном,тем бо льше дробовой шум.В случае же,когда такая неопределенность отсутств ует,то есть, электрон либо всегда проходит сквозь образец, T12 = 1, либо всегда отра - жается от образца, R11 = 1, дробовой шум исчезает [23].

Следует сказать,что указанные источники шума не являются н езависимыми.А именно,при пропускании через образец тока величи на теплового шума изменяется и,соответственно,при изменении температ уры электронной системы,изменяется величина дробового шума.Это указы вает на то, что физические причины,приводящие как к тепловому,так и к д робовому шумам,имеют единую природу.

Прежде чем приступить к формальному рассмотрению флуктуаций тока мы приведем простые физические соображения,иллюстриру ющие природу возникновения шума в мезоскопических системах.

53

2.Флуктуации тока

2.1.Качественное рассмотрение

Рассмотрим предельно упрощенную модель,а именно,предпол ожим, что только электроны с энергией E вносят вклад в ток через образец.Для того,чтобы более четко выяснить природу возникновения шум а,мы вначале проанализируем ситуации,когда присутствует только о дин вид шума, тепловой или дробовой.

2.1.1.Тепловой шум
		Пусть имеется канал,соединяющий два резервуара,в котором		элек-
троны с энергией E распространяются баллистически, T12(E) = T21(E) =
1,		а электроны с другими энергиями не распространяются ,T12(E)) =
T	21	(E)) = 0,	E) = E.
			%
		Электроны,движущиеся в канале,например,из первого резер вуара во
второй,создают ток,
			0I→1 = I0 P→ ,	(2.5)

где I0 = ev/L - ток , создаваемый электроном в рассматриваемом кванто - вом состоянии Ψ→(E), e - заряд электрона ,v - скорость электрона ,L−1 - плотность электронов на единицу длины, P→ - вероятность заполнения со - стояния Ψ→(E) в канале . Поскольку , при баллистическом движении , элек - трон,движущийся в канале по направлению ко второму резерву ару,должен был прийти из первого резервуара,то вероятность P→ совпадает с вероятностью заполнения состояния с энергией E в первом резервуаре , определя - емой фермиевской функцией распределения f1(E), (1.38),

P→ = f1(E) .

(2.6)

Вероятность заполнения можно определить как отношение промежутка времени t→, в течение которого состояние Ψ→(E) заполнено частицей, к общей длительности периода наблюдения T → ∞,

P	= lim	t→	.	(2.7)
→	T	T
	→∞

54

2.1.Качественное рассмотрение

При этом,в течение времени t→ в канале протекает ток I→(t) = I0, а в течение остального промежутка времени T − δt→ ток в канале отсутствует, I→(t) = 0. Таким образом , величина тока со временем изменяется .

Вычислим среднее значение тока.С учетом определения( 2.7) получа -

ем,

				1	T	dt I→(t) = Tlim I0		Tt→ = I0P→ ,
I→		=	Tlim		ˆ					(2.8)
				T
0	1		→∞		0	→∞

что совпадает с выражением( 2.5).Аналогично вычислим средний квадрат тока,

		1		T		I2	t
				ˆ
0I→2 1 =	Tlim				dt I→2 (t) = Tlim	0	→	= I02P→ .	(2.9)
			T			T
	→∞			0	→∞
Затем,используя выражение(					2.2),вычислим средний квадрат флуктуаций
тока,		0δI→2 1 = I02P→+1 − P→,.
									(2.10)

Из полученного выражения видно,что флуктуации тока отсутс твуют, 0δI→2 1 = 0, в тех случаях , когда рассматриваемое состояниеΨ→(E) либо всегда заполнено, P→ = 1, либо всегда пусто ,P→ = 0. В случае же , ко - гда присутствие электрона в токонесущем состоянии носит вероятностный характер, 0 < P→ < 1, ток флуктуирует .

Выразим величину 0δI→2 1, (2.10),через температуру T1 резервуара,из которого пришел электрон.Для этого воспользуемся равенст вом( 2.6) и учтем,что для фермиевской функции распределения справедл иво следующее тождество,

+	,	= -−	(E)	.kBT1 .
f1(E) 1 − f1(E)			∂f1		(2.11)
			∂E

В результате получим ,

55

2.Флуктуации тока

0δI→2 1 = I02	-−	∂f1(E)	.kBT1 .	(2.12)
		∂E

Следовательно,рассматриваемые флуктуации исчезают при н улевой температуре, T1 = 0, как и должно быть для теплового шума , (2.3).

Теперь учтем,что электроны могут двигаться в канале и в обра тном направлении,то есть из второго резервуара в первый.Тогда, для среднего значения 0I1 и флуктуаций 0δI21 полного тока, I(t) = I→(t)−I←(t), получим ,

I	= I	I	= I	)	f	(E) ,
0 1	0	→1 −20 ←1	2	0 >f1(E2 −	2	?	(2.13)
		0δI 1 = 0δI→1 + 0δI←1
		>	?	>			?
= I02Ef1(E) 1 − f1(E) + f2(E) 1 − f2(E)							F ,

где f2(E) - фермиевская функция распределения электронов во втором резервуаре.При вычислении 0δI21 мы учли,что,в баллистическом канале электроны,двигающиеся слева направо и в обратном направле нии,независимы друг от друга,поэтому создаваемые ими флуктуирующие т оки, I→(t) и I←(t), статистически независимы друг от друга . Следовательно , тиэ токи должны усредняться по отдельности, 0I→(t)I←(t)1 = 0I→(t)10I←(t)1.

Если резервуары имеют одинаковые температуры, T1 = T2 ≡ T0, и по - тенциалы,то их функции распределения равны, f1(E) = f2(E) ≡ f(E). В этом случае из выражения( 2.13) получаем ,

0I1 = 0 ,

) * (2.14)

0δI→2 1 = 2I02 −∂f∂(EE) kBT0 .

Видим,что ток равен нулю,как и должно быть в отсутствие напр яжения. Однако,средний квадрат флуктуаций тока отличен от нуля,чт о является результатом флуктуирования заселенности квантовых состояний в резервуарах при отличной от нуля температуре, T0 > 0.

56

2.1.Качественное рассмотрение

2.1.2.Дробовой шум

Рассмотрим случай,когда температуры резервуаров равны ну лю и, следовательно,отсутствует тепловой шум.Пусть в канале им еется рассеиватель,смотри рис. 1.4 характеризуемый вероятностью прохождения T12(E) = T21(E). Предположим также , что резервуары имеют различные потенциалы,такие,что только в первом резервуаре заполнен ы состояния с энергией E, вносящие вклад в ток ,µ2 + eV2 < E < µ1 + eV1 f1(E) = 1, f2(E) = 0.

Со стороны первого резервуара на барьер со скоростью v налетают электроны,имеющие линейную плотность 1/L. Эти электроны сталкива - ются с барьером с частотой v/L. При этом , сталкиваясь с рассеивателем , электрон может либо протуннелировать сквозь него,либо мож ет быть отраженным.В первом случае электрон достигнет второго резерву ара и внесет вклад в ток, I→(t) = I0, а во втором случае электрон возвратится в первый резервуар и не внесет вклад в ток, I→(t) = 0. Величина T21(E), являющаяся вероятностью того,что электрон протуннелирует сквозь бар ьер,определя-

ет относительную величину промежутка времени			t→, когда в канале течет
ток,
T21 = lim	t→	.	(2.15)
T→∞	T

Повторяя рассуждения,приведенные в предыдущем разделе,в ычислим средний ток и средний квадрат флуктуаций тока[смотри вы ражения

(2.7) - (2.10)],

0I1 = I0 T21(E) ,

> ? (2.16)

0δI21 = I0 0I1 1 − T21(E) .

Сравнивая( 2.10) с выражением для 0δI21 в (2.16) видим , что структура выражений для теплового шума и для дробового шума одинакова. Разли - чие состоит в том,что в первом случае носителем вероятностн ого характера движения электронов является функция распределения частиц,а во втором

57

2.Флуктуации тока

случае элемент случайности вносится процессом отражения от туннельного барьера.

2.1.3.Смешанный шум

Наконец рассмотрим случай,когда присутствует как теплово й,так и

дробовой шумы,то есть,будем полагать,что температуры рез	ервуаров от-
личны от нуля и,кроме того,в канале имеется рассеиватель.В	этом случае
вероятность P→ того,что электрон,движущийся из первого резервуара во
второй резервуар,внесет вклад в ток есть произведение двух	факторов,а

именно,вероятности того,что в первом резервуару состояни е с энергией E заполнено, f1(E), и вероятности того , что электрон протуннелирует сквозь рассеиватель, T21(E),

P→ = T21(E) f1(E) .	(2.17)
Аналогично,
P← = T12(E) f2(E) .	(2.18)
Следовательно,ток 0I1 = 0I→1 − 0I←1, текущий через канал , равен ,
0I1 = I0 T12(E) >f1(E) − f2(E)?,	(2.19)
где мы учли,что T12(E) = T21(E).	I→(t) и I←(t) были
Теперь рассмотрим флуктуации тока.Если бы токи

бы статистически независимыми,то мы получили бы,по аналог ии с выражением( 2.13),что 0δI21 равен сумме 0δI→2 1 и 0δI←2 1, где

δI2

= I2

P 1 P

→

= I2

T

12

(E) f

(E) 1 T

12

(E) f

(E) ,

→

0

→

0

1

>

1

?

0

2

1

2

+

−

,

2

−

(2.20)

0δI←1 = I0

P←+1 − P←,

= I0

T12(E) f2(E)>1 − T12(E) f2(E)?.

Однако,как мы увидим ниже,это не так,

58

2.1.Качественное рассмотрение

0δI21 %= 0δI→2 1 + 0δI←2 1,

(2.21)

что говорит о том,что токи I→(t) и I←(t) являются скоррелированными. Корреляции возникают между рассеянными электронами и являются следствием принципа запрета Паули,согласно которому в одном со стоянии не может находиться более одного электрона.

Рассмотрим,например,состояние,соответствующее электр	ону дви-
жущемуся от рассеивателя в левый резервуар.В это состояние	может пе-

рейти либо электрон,двигавшийся первоначально из левого р езервуара и отраженный от рассеивателя,либо же электрон двигавшийся и з правого ре - зервуара и прошедший через рассеиватель.Одновременно оба электрона не могут перейти в рассматриваемое состояние,поэтому резуль тат рассеяния одного электрона зависит от результата рассеяния другого электрона,что и приводит к возникновению корреляций между токами,перенос имыми рассеянными электронами.В частности,наличие таких корреляц ий приводит к тому , что дробовой шум полностью исчезает , если имеются одинаковые потоки частиц,налетающих на рассеиватель слева и справа.

Для того,чтобы учесть наличие указанных корреляций и вычис лить шум при отличной от нуля температуре и при наличии рассеивателя,необходимо перейти от упрощенного рассмотрения,основанного н а понятиях вероятности,к квантово-механическому рассмотрению опер ирующему с амплитудами.Все еще оставляя последовательное рассмотре ние,учитывающее наличие многих электронов,заполняющих ферми-море,н а потом , мы сейчас продолжим изучение модели,рассматривающей только электроны с фиксированной энергией E. Будем полагать , что электроны с такой энерги - ей существуют в обоих резервуарах,поэтому,на туннельный б арьер налетают потоки электронов с обеих сторон.

Введем квантово-механические операторы рождения и уничтожения aˆ†1, aˆ1 и aˆ†2, aˆ2, описывающие электроны с рассматриваемой энергией E, налетающие на барьер со стороны левого/правого резервуара (нижний ин-

ˆ†	ˆ	ˆ† ˆ	будут описывать электроны,рассеянные
декс 1/2).Операторы b1	, b1	и b2, b2

на барьере,и уходящие в сторону левого/правого резервуара . Рассеяние на туннельном барьера будем описывать с помощью унитарной 2 × 2 матри-

59

2.Флуктуации тока

цы ˆ. Тогда , как мы показали ранее , операторы для уходящих электронов

S

выражаются через операторы для налетающих электронов следующим образом,

2		2
!	ˆ†	!	†
ˆ				(2.22)
bα =	Sαβaˆβ , bα =	Sαβaˆβ .
β=1		β=1

Для определенности будем рассматривать ток и его флуктуации слева от барьера.В качестве положительного,как обычно,выберем направление

от рассеивателя к резервуару.Тогда оператор тока ˆ принимает такой вид,

I1

ˆ	ˆ†ˆ	†	(2.23)
I1	= I0(b1b1	− aˆ1aˆ1) .

Величина измеряемого тока I1 и средний квадрат флуктуаций тока 0δI121 равны,

ˆ	1,	2	ˆ2	ˆ	2	.	(2.24)
I1 = 0I1		0δI1	1 = 0I1	1 − 0I11

где 0. . . 1 обозначает квантово-статистическое усреднение.При выпо лнении такого усреднения мы учтем,что произведение операторо в рождения и уничтожения есть оператор плотности числа частиц ,nˆ = aˆ†aˆ. Результа - том квантово-механического усреднения оператора плотности по фиксированному квантовому состоянию является плотность частиц в этом квантовом состоянии.А результатом статистического усреднения в еличины плотности электронов является функция распределения Ферми того резервуа - ра α = 1, 2, из которого пришли налетающие электроны . Учитывая , что частицы в разных резервуарах статистически независимы друг от друга , 0a†αaβ1 = 0, α =% β, можем записать ,

0	aˆ† aˆβ	1	= δαβfα , fα =	1	, α = 1, 2 .	(2.25)
				E−µα
	α			1 + e kBTα

Кроме того мы учтем,что операторы рождения и уничтожения дл я Ферми - частиц подчиняются следующим анти-коммутационным соотношениям,

60

2.1.Качественное рассмотрение

	aˆ† aˆβ + aˆβaˆ† = δαβ .		(2.26)
	α	α
Итак,определим средний ток,		"	"
		2	2
0Iˆ11 = I00ˆb1†ˆb1 − aˆ1† aˆ11 = I0 Gβ=1 S1βaˆβ†			γ=1 S1γaˆγ − aˆ1† aˆ1H
" "			"
2	2		2

8 9 8 9

= I0 S1βS1γ0aˆ†βaˆγ1 − 0aˆ†1aˆ11 = I0 |S1β|2fβ − f1 .

β=1 γ=1 β=1

Учитывая,что в силу унитарности матрицы рассеяния, |S11|2 + |S12|2 = 1, и вводя обозначение для вероятности туннелирования через рассеиватель, T12 = |S12|2, окончательно находим для тока ,

ˆ	1 = I0T12(f2	− f1) .	(2.27)
0I1

Полученное выражение отличается от результата для рассматриваемого ранее баллистического канала, (2.13),естественным множителем T12 < 1, который определяет уменьшение тока в образце,за счет отраж ения части потока электронов от рассеивателя.

Теперь вычислим средний квадрат флуктуаций тока, 0δI121. Для этого

ˆ2	1. Для упро -
необходимо вычислить среднее от квадрата оператора тока, 0I1

щения вычислений запишем в явном виде выражения для операторов рас-

	ˆ	ˆ†				ˆ
сеянных частиц b1,		b1, и оператора тока ,I1, через операторы налетающих
частиц, aˆα, aˆα† ,
	ˆ			ˆ†			†	†
	b1	= S11aˆ1 + S12aˆ2 , b1			= S11aˆ1 + S12aˆ2 ,
ˆ	ˆ†ˆ	†	)			†	*	†
			†	+ S12			(S11aˆ1
I1/I0	= b1b1	− aˆ1aˆ1	= S11aˆ1			aˆ2		+ S12aˆ2) − aˆ1aˆ1

= T12(ˆa†2aˆ2 − aˆ†1aˆ1) + S11S12aˆ†1aˆ2 + S12S11aˆ†2aˆ1 .

61

2.Флуктуации тока

Следует отметить,что последние два слагаемых не вносят вкл ад в измеря-

ˆ

емый ток, I1 = 0I11, поскольку при квантово - механическом усреднении они

дают нуль,смотри выражение(

2.25).Однако,именно эти слагаемые опи-

сывают флуктуации тока.

,2,

Далее вычислим оператор квадрата тока Iˆ12 = +Iˆ1

(ˆa† aˆ

†

†

†

2

ˆ2

2

= T

*

I1

/I0

2 )

12

2

2

− aˆ1aˆ1) + S11

S12aˆ1aˆ2 + S12

S11aˆ2aˆ1

= T12)aˆ2† aˆ2aˆ2† aˆ2 + aˆ1† aˆ1aˆ1† aˆ1 − aˆ2† aˆ2aˆ1† aˆ1 − aˆ1† aˆ1aˆ2† aˆ2*

+R11T12)aˆ1† aˆ2aˆ2† aˆ1 + aˆ2† aˆ1aˆ1† aˆ2

*

+T12S11S12)aˆ2† aˆ2aˆ1† aˆ2 + aˆ1† aˆ2aˆ2† aˆ2 − aˆ1† aˆ1aˆ1† aˆ2 − aˆ1† aˆ2aˆ1† aˆ1*

+T12S S11

aˆ† aˆ2aˆ† aˆ1

+ aˆ† aˆ1aˆ† aˆ2

aˆ† aˆ1aˆ† aˆ1

−

aˆ† aˆ1aˆ† aˆ1

12

)

2

2

2

2

− 1

2

2

2

1

*

2

++S11S12,

aˆ1† aˆ2aˆ1† aˆ2 + +S12S11, aˆ2† aˆ1aˆ2† aˆ1 .

Здесь мы ввели коэффициент отражения от рассеивателя, R11 = |S11|2.

При вычислении среднего

ˆ2

1 следует учесть,что,поскольку в каждом

0I

состоянии может находиться не более одного электрона,то ср еднее от произведения нескольких операторов рождения и уничтожения будет отличным от нуля только в том случае,если такое произведение содержи т одинаковое число операторов рождения aˆ†α и уничтожения aˆα с одинаковыми индексами α. Кроме того , несколько стоящих подряд операторовaˆα или aˆ†α при усреднении также дают нуль.Очевидно,что в полученном выше выраж ении для оператора квадрата тока слагаемые,записанные в последних трех строчках при усреднении дают нуль.Отличные от нуля средние вычисляе м с учетом правил анти-коммутации,представленных в( 2.26),

+ ,

0aˆ†αaˆαaˆ†αaˆα1 = 0aˆ†α 1 − aˆ†αaˆα aˆα1 = 0aˆ†αaˆα1 − 0aˆ†αaˆ†αaˆαaˆα1 = fα − 0 = fα ,

0	aˆ† aˆ aˆ† aˆ	= aˆ† aˆ aˆ† aˆ	β1	= f	α	f	, α = β ,
	α α β β1	0 α α10 β				β	%

62

2.1.Качественное рассмотрение

)

*

aˆ† aˆ aˆ† aˆ

= aˆ†

1

aˆ† aˆ

aˆ

α1

= aˆ† aˆ

aˆ† aˆ† aˆ aˆ

=

0 α

β β

α1

0 α

−

β β

0 α

α1 − 0 α

β

β α1

= f

α − 0

aˆ† aˆ aˆ† aˆ

= f

α

− 0

aˆ† aˆ aˆ† aˆ

1

= f

α

(1

−

f

β

) , α = β .

α

α β β1

α

α10 β β

%

Используя полученные выражения,запишем средний квадрат т ока,

0Iˆ121/I02 = T122 (f2 + f1 − 2f1f2) + R11T12>f1(1 − f2) + f2(1 − f1)?.

И,наконец,средний квадрат флуктуаций тока равен,

0δI121/I02 = 0I121/I02 − 0I112/I02

> ?

= T122 (f2 + f1 − 2f1f2) + R11T12 f1(1 − f2) + f2(1 − f1) − T122 (f2 − f1)2

> ? > ?

= T122 f1(1 − f1) + f2(1 − f2) + R11T12 f1(1 − f2) + f2(1 − f1) .

(2.28)

Прежде,чем мы преобразовать это выражение дальше,давайте посмотрим откуда произошли различные слагаемые в нем.

Начнем со слагаемого пропорционального квадрату коэффициента

прохождения, T122			f1(1 − f1) + f2(1 − f2) . Это слагаемое произошло от
усреднения	произведения тех пар операторов рождения и уничтожения,ко-
		>	?

торые вносят вклад в ток.Поскольку ток обусловлен переходо м электро - нов через образец из одного резервуара в другой,то можно ска зать,что эта часть шума обусловлена флуктуацией числа частиц,налетающ их на рассеиватель из резервуаров.Влияние рассеяния в этом случае три виальное и сводится к отражению части электронов и,тем самым,к уменьш ению тока в T12 раз,и,соответственно,квадрата тока в T122 раз.Это очевидно для электронов летящих из второго резервуара и прошедших через рассеиватель прежде,чем внести клад в ток,измеряемый в первом резер вуаре.Однако это же оказывается справедливым и для электронов летящих из первого резервуара,поскольку ток,который они создают,умень шается из-за отражения части электронов.Это уменьшение описывается ко эффициен-

том T21 = T12 = 1 − R11.

Как результат,средний квадрат флуктуаций тока,обусловле нных

63

2.Флуктуации тока

флуктуацией числа частиц в резервуарах,пропорционален кв адрату вероятности отражения.Указанные флуктуации существуют только п ри отличной от нуля температуре,поэтому эта часть шума могла бы рассмат риваться,в качестве теплового шума или шума Найквиста-Джонсона.И дей ствительно,сравнивая с выражением( 2.13),полученным нами для баллистического канала,в котором T12 = 1, мы видим , что эти два результата совпадают . Однако,при наличии отражения в канале T12 < 1 рассматриваемое нами слагаемое отличается от выражения для теплового шума( 2.3),поскольку проводимость образца G пропорциональна первой степени коэффициента отражения, G = G0T12, а рассматриваемое нами выражение пропорцио - нально квадрату коэффициента отражения, T122 .

Для разрешения кажущегося противоречия и получения правильного выражения для теплового шума,то есть,той части шума,котор ая исчеза-

ет при равной нулю температуре,необходимо рассмотреть так же второе

>

слагаемое,обусловленное наличием отражения в барьере, R11T12 f1(1 − f2) + f2(1 − f1)?. Вначале рассмотрим его природу . Это слагаемое возник - ло от усреднения тех произведений операторов рождения и уничтожения,

которые не вносят вклад в ток через образец и,поэтому не соот ветствуют каким-либо реальным одночастичным процессам.Однако они с оответствуют определенным двухчастичным процессам.Наиболее просто такие процессы описываются,если ввести понятие дырки,имеющей функ цию распределения 1 −fα. Можно сказать , что на рассеиватель из резервуараα налетают с вероятностью fα электроны и с вероятностью 1 − fα дырки.Тогда, величина рассматриваемой части шума пропорциональна вероятности такого двухчастичного процесса,в котором электрон,налетаю щий из первого резервуара,отражается от рассеивателя(с вероятностью R11),а дырка, налетающая из второго резервуара,проходит сквозь рассеив атель(с вероятностью T12).Либо же дырка из первого резервуара отражается от рассеивателя и одновременно с этим электрон из второго резервуара проходит сквозь рассеиватель.Очевидно что такие процессы не влияют на ток.Кроме того,как и требуется принципом Паули,отсутствуют процесс ы,когда электрон из одного резервуара отражается от рассеивателя,а одн овременно с этим электрон из другого резервуара проходит сквозь рассеиватель.

Следует сказать,что флуктуации числа частиц в резервуарах и флук -

64

2.1.Качественное рассмотрение

туации,обусловленные рассеянием на мезоскопическом обра зце,статистически независимы друг от друга,поэтому они вносят аддитивн ый вклад в средний квадрат флуктуаций тока,что придает вполне опреде ленный формальный смысл делению на слагаемые,приведенному в выражен ии( 2.28).

С другой стороны , в этом же выражении можно перегруппировать сла - гаемые следующим образом,

0δI121/I02 = T122 >f1(1 − f1) + f2(1 − f2)?

+R T

f1(1

f1 + f1

f2) + f2(1

f2 + f

f

)

11

12> 2

−

−

−

2

−

1

?

= +T12

+ R11T12,>f1(1 − f1) + f2(1 − f2)?

> ?

+R11T12 f1(f1 − f2) + f2(f2 − f1)

> ?

= T12 f1(1 − f1) + f2(1 − f2) + R11T12(f2 − f1)2 .

Видно,что первое слагаемое обращается в нуль при нулевой те мпературе и,поэтому,его можно назвать тепловым шумом.Второе же слаг аемое отсутствует,когда ток( 2.27),протекающий по каналу,равен нулю.Поэтому, следуя Шоттки,можно считать источником этого шума стохаст ичность в рассеянии неделимых по своей природе частиц на потенциальном барьере.

Такой шум называется дробовым шумом.Таким образом,запише	м,
0δI121/I02 = 0δI121(NJ)/I02 + 0δI121(sh)/I02 ,
0δI121(NJ)/I02 = T12>f2(1 − f2) + f1(1 − f1)?,	(2.29)
0δI121(sh)/I02 = R11T12(f2 − f1)2 .

Заметим,что полученное выражение для теплового шума пропо рционально первой степени коэффициента прохождения T12, что согласуется с выраже - нием( 2.3),а выражение для дробового шума,существующего и при нулев ой

65

2.Флуктуации тока

температуре,пропорционально произведению коэффициенто в отражения и прохождения,что согласуется с выражением( 2.4).Кроме того,выражение (2.29) правильно воспроизводит все полученные нами ранее частные выра - жения для теплового и дробового шума.

2.2.Флуктуации тока в образце с непрерывным спектром

Теперь перейдем к формальному рассмотрению флуктуаций тока в ме - зоскопическом образце,соединенном одномерными баллисти ческими проводниками с несколькими, Nr, резервуарами , используя развитый ранее формализм матрицы рассеяния.Одно из существенных отличий реальной ситуации от рассмотренной нами модели,состоит в том,что на летающие электроны имеют непрерывный спектр,состояния в котором за полнены вплоть до энергии Ферми.Это обстоятельство несколько усло жняет вычисления,однако качественно результат не изменяется.

2.2.1.Коррелятор токов

Математической величиной,которую обычно вычисляют при ра ссмотрении шума,является коррелятор токов,взятых в различные м оменты вре-

мени,			1		C			Iˆα(t1)D.
						Iˆα(t1) Iˆβ(t2) + Iˆβ(t2)				(2.30)
	Pαβ (t1, t2) =
				2
Оператор	ˆ	ˆ		ˆ			мгновенного значения
	Iα	= Iα − CIαD				описывает отклонение			ˆ
тока,текущего в проводнике						α, от среднего значения тока			Iα	в этом же
									токов,текущих
проводнике.Величина			Pαα называется авто-коррелятором C							D

в проводнике α, а величина Pαβ, α =% β, называется кросс - коррелятором или перекрестным коррелятором токов,текущих в проводника х α и β.

При t = t и α = β выражение( 2.30) определяет средний квадрат

1 2 C D

флуктуаций тока в проводнике , ˆ2 , который , строго го -

α Pαα(t1, t1) = Iα

воря,расходится,вследствие квантовых флуктуаций в систе ме с непрерывным и неограниченным спектром.Для преодоления этой трудно сти в экс-

66

2.2.Флуктуации тока в образце с непрерывным спектром

перимента измеряют спектральный состав флуктуаций,то ест ь измеряют средний квадрат флуктуаций тока в небольшом частотном интервале.

Для вычисления спектра флуктуаций выполним двойное преобразование Фурье и получим спектральное представление для корреляционной функции,

∞	∞
ˆ	ˆ
Pαβ(ω1, ω2) =	dt1 eiω1t1 dt2 eiω2t2 Pαβ (t1, t2) ,	(2.31)
−∞	−∞

∞∞

	Pαβ(t1, t2) =	ˆ	dω1	e−iω1t1	ˆ	dω2	e−iω2t2 Pαβ(ω1, ω2) . (2.32)
			2π			2π
		−∞			−∞

Для стационарных систем корреляционная функция зависит только о разности времен, Pαβ(t1, t2) = Pαβ (t1 − t2), что в частотном представлении может быть записано следующим образом,

Pαβ(ω1, ω2) = 2π δ(ω1 + ω2) Pαβ(ω1) ,

(2.33)

где δ(X) - дельта - функция Дирака , а величинаPαβ(ω1), которую называют спектральной плотностью шума,связана с зависящим от разно сти времен коррелятором токов Pαβ (t1 − t2) = Pαβ (t) следующим образом

		∞
Pαβ(ω)	=	ˆ	dt eiωt Pαβ(t) ,			(2.34)
		−∞
		∞		dω
		ˆ
Pαβ(t)	=				e−iωt Pαβ(ω) .	(2.35)
				2π

−∞

Как уже упоминалось,величина Pαα(t = 0), определяющая квадрат флук - туаций тока,расходится.Однако,если ограничить интервал частот ± ω/2, в котором измеряются флуктуации тока , то получится конечная величина ,

67

2.Флуктуации тока

			ω/2	dω
	δIα2	=	ˆ		Pαα(ω) .	(2.36)
	I	J	− ω/2	2π

Дальнейшее упрощение возникает,если матрица рассеяния сл або зависит от энергии.В этом случае спектральная плотность шума, Pαβ(ω), слабо за - висит от частоты и ее можно вынести за знак интеграла в( 2.36).В результате получаем,

0δIα21	= Pαα(0) ,	(2.37)
ν

где ν = ω/(2π).

Аналогично определяется коррелятор флуктуирующих токов, текущих

в проводниках α и β, и измеренных в интервале частот		ω,
0δIαδIβ1	= Pαβ(0) ,	(2.38)
ν

Из полученных выражений следует,что средний квадрат флукт уаций тока и кросс-коррелятор токов пропорциональны спектральной плотности корреляционной функции на нулевой частоте.Далее мы вычисл им величину Pαβ(0) и подтвердим анонсированные ранее выражения (2.3) и (2.4).

Относительно фактического измерения тех эффектов,которы е мы бу - дем рассматривать,следует добавить следующее.В реальных образцах всегда присутствует,так называемый, 1/f шум.Спектральная плотность этого шума возрастает с уменьшением частоты наблюдения ω. Этот шум уни - версален,однако природа его до конца еще не выяснена.При ув еличении времени наблюдения всегда будет доминировать 1/f шум.Поэтому,чтобы наблюдать рассматриваемый нами шум на нулевой частоте,вре мя наблюдения должно быть,с одной стороны,достаточно большое,чтобы исключить влияние квантовых флуктуаций и,с другой стороны,достаточ но малое,чтобы избежать влияния 1/f шума.В большинстве случаев это двойное неравенство может быть выполнено.

68

2.2.Флуктуации тока в образце с непрерывным спектром

2.2.2.Коррелятор токов в частотном представлении

Вычислим величину Pαβ(ω1, ω2) и покажем , что она действительно мо - жет быть представлена в виде выражения( 2.33).

Подставляя( 2.30) в (2.31),получим

Pαβ(ω1, ω2) =	1	C	Iˆα(ω1) Iˆβ(ω2) + Iˆβ(ω2) Iˆα(ω1)D ,	(2.39)
	2

CD

где	ˆ	ˆ			ˆ	ˆ
	Iα(ω) =	Iα(ω) −			Iα(ω)	, а Iα(ω) есть оператор тока в частотном
									ˆ
представлении.Выполняя преобразование Фурье для операто ра тока Iα(t),
(1.36),получим
		∞		<			−	=
		0
	Iˆα(ω) = e ˆ		dE	ˆbα†	(E)ˆbα(E + !ω)			aˆα† (E)aα(E + !ω) .	(2.40)

Для удобства последующих вычислений представим ток в виде суммы тока рассеянных частиц и тока падающих частиц,которые буде м отмечать

							ˆ	ˆ(out)	ˆ(in)		(ω),
верхними индексами (out) и (in), соответственно ,Iα(ω) = Iα									(ω)+Iα
где
					∞
Iˆα(out)(ω)				=	e ˆ	dE ˆbα† (E)ˆbα(E + !ω) ,				(2.41)
					0
						∞
Iˆα(in)(ω)				=	−e ˆ		dE aˆα† (E)ˆaα(E + !ω) .			(2.42)
						0
Тогда величина Pαβ(ω1, ω2) запишется как сумма четырех слагаемых,
Pαβ (ω1, ω2)	=				P	(i,j)	(ω1, ω2) ,
					αβ
				=in,out
	i,j !									(2.43)
				C				Iˆα(i)(ω1)D.
Pαβ(i,j)(ω1, ω2)	1				Iˆα(i)(ω1)		Iˆβ(j)(ω2) + Iˆβ(j)(ω2)
	=
		2

69

2.Флуктуации тока

Вычислим каждое из этих слагаемых по-отдельности.

2.2.2.1.Коррелятор входящих токов

	∞	J(in,in)(E1,2, ω1,2) + J		(in,in)(E2,1, ω2,1)
Pαβ(in,in)(ω1, ω2) = e2	¨ dE1 dE2	αβ		βα	,
			2
	0
					(2.44)
где величина J(in,in) равна,
αβ	C<aˆα† (E1) aˆα(E1 + !ω1) − Caˆα† (E1) aˆα(E1 + !ω1)D=
Jαβ(in,in)(E1,2, ω1,2) =
×	<aˆβ† (E2) aˆβ(E2 + !ω2) − Caˆβ† (E2) aˆβ(E2 + !ω2)D=D .

Среднее от произведения четырех операторов записываем как сумму произведений попарных средних.После этого получаем,

C DC D

Jαβ(in,in)(E1,2, ω1,2) = aˆ†α(E1) aˆβ(E2 + !ω2) aˆα(E1 + !ω1) aˆ†β(E2) .

Используя выражения( 1.37),запишем

C D

aˆ†α(E1) aˆβ(E2 + !ω2) = δαβ δ(E1 − E2 − !ω2) fα(E1) ,

C D

aˆα(E1 + !ω1) aˆ†β(E2) = δαβ δ(E1 + !ω1 − E2) {1 − fα(E1 + !ω1)} ,

и,соответственно,

Jαβ(in,in)(E1,2, ω1,2) = δαβ δ(E1 − E2 − !ω2) δ(E1 + !ω1 − E2)

× fα(E1) {1 − fα(E1 + !ω1)} .

70

2.2.Флуктуации тока в образце с непрерывным спектром

Аналогично вычислим,

Jβα(in,in)(E2,1, ω2,1) = δαβ δ(E1 + !ω1 − E2) δ(E1 − E2 − !ω2)

× fα(E1 + !ω1) {1 − fα(E1)} .

Подставляя полученные выражения в( 2.44) и выполняя интегрирование по E2, окончательно получаем ,

Pαβ(in,in)(ω1, ω2) = 2π δ(ω1 + ω2) P(αβin,in)(ω1) ,

(2.45)

	e2	∞
Pαβ(in,in)(ω1) = δαβ		ˆ	dE1 Fαα(E1, E1 + !ω1) .
	h
		0

Здесь мы ввели сокращенное обозначение для следующей комбинации фермиевских функций распределения,

	1	A	B	A	B
Fαβ(E, E)) =	2	<fα(E) 1 − fβ(E))		+ fβ(E)) 1 − fα(E) = .		(2.46)

Как следует из выражения( 2.45),токи,текущие из различных резерву-

аров, α %= β, к рассеивателю , являются нескоррелированными P, α(in,in%=β ) = 0. Это есть следствие нашего предположения о том,что электрон ы в различ - ных резервуарах не скоррелированы между собой.

2.2.2.2.Коррелятор токов входящих и рассеянных электроно в

	∞	J	(in,out)(E1,2, ω1,2) + J		(out,in)(E2,1, ω2,1)
Pαβ(in,out)(ω1, ω2) = −e2	¨ dE1 dE2		αβ		βα	.
				2
	0

(2.47)

71

2.Флуктуации тока

Для вычисления,например,величины Jαβ(in,out), которая равна ,

Jαβ(in,out)(E1,2, ω1,2) =

×

=

C< C D=

aˆ†α(E1) aˆα(E1 + !ω1) − aˆ†α(E1) aˆα(E1 + !ω1)

< C D=D

ˆ† ˆ ˆ† ˆ

bβ(E2) bβ(E2 + !ω2) − bβ(E2) bβ(E2 + !ω2)

C DC D

† ˆ ˆ†

aˆα(E1) bβ(E2 + !ω2) aˆα(E1 + !ω1) bβ(E2) ,

выразим b−операторы через a− операторы, (1.39)

	Nr			Nr
ˆ†	!γ		†	!
bβ	(E) =	Sβγ(E)ˆaγ(E) , bβ(E) = Sβγ(E)ˆaγ(E) ,
	=1			γ=1
и вычислим парные средние ,
Caˆα† (E1) ˆbβ(E2 + !ω2)D = δ(E1 − E2 − !ω2) Sβα(E2 + !ω2) fα(E1) ,
Caˆα(E1 + !ω1) ˆbβ† (E2)D = δ(E1 + !ω1 − E2) Sβα(E2) {1 − fα(E1 + !ω1)} .
После этого получим,
Jαβ(in,out)(E1,2, ω1,2) =		δ(E1 − E2 − !ω2) δ(E1 + !ω1 − E2)

× Sβα(E2 + !ω2) Sβα(E2) fα(E1) {1 − fα(E1 + !ω1)} .

Аналогичные вычисления дают,

Jβα(out,in)(E2,1, ω2,1) = δ(E1 + !ω1 − E2) δ(E1 − E2 − !ω2)

× Sβα(E2) Sβα(E2 + !ω2) fα(E1 + !ω1) {1 − fα(E1)} .

72

2.2.Флуктуации тока в образце с непрерывным спектром

Подставляя приведенные выражения в( 2.47) и выполняя интегрирование по E2, получим

P	(in,out)	(ω1, ω2)	=	2π δ(ω1			+ ω2) P(in,out)(ω1) ,
	αβ						αβ
							(2.48)
					e2	∞
	Pαβ(in,out)(ω1)		=	−		ˆ	dE1 Fαα(E1, E1 + !ω1) Sβα(E1 + !ω1) Sβα(E1) .
					h
						0

Полученное выражения показывают,что ток,переносимый эле ктронами,которое были рассеяны в проводник β, скоррелирован с током , перено - симым электронами,налетающими на рассеиватель из резерву ара α. Фак - тически,скоррелированной оказывается только часть поток а рассеянных электронов,а именно,та часть,которая была рассеяна в пров одник β из проводника α. На это непосредственно указывает наличие соответствую - щих элементов матрицы рассеяния, Sβα.

Третье слагаемое в выражении( 2.43),

P	(out,in)	(ω1, ω2)	=	2π δ(ω1			+ ω2) P(out,in)	(ω1) ,
	αβ						αβ
								(2.49)
					e2	∞
	Pαβ(out,in)(ω1)		=	−		ˆ	dE1 Fββ(E1, E1 + !ω1) Sαβ(E1) Sαβ(E1 + !ω1) ,
					h
						0

указывает на наличие корреляций между электронами,рассея нными в проводник α, и электронами , налетающими на рассеиватель из проводникаβ.

Наконец вычислим последнее слагаемое в корреляторе токов.

73

2.Флуктуации тока

2.2.2.3.Коррелятор токов рассеянных электронов

		e2			∞
Pαβ(out,out)(ω1, ω2) =				¨ dE1 dE2				(2.50)
	2
× 6			C		0	DC		D
				ˆbα† (E1) ˆbβ(E2 + !ω2) ˆbα(E1 + !ω1) ˆbβ† (E2)				7.
	C					DC	D
+		ˆbβ† (E2) ˆbα(E1 + !ω1)				ˆbβ(E2 + !ω2) ˆbα† (E1)

Для вычисления парных корреляторов b−операторов воспользуемся выражениями( 1.39) и (1.37) и получим , например ,

C D

ˆ† ˆ

bα(E1) bβ(E2 + !ω2) = δ(E1 − E2 − !ω2)

C D

ˆ ˆ†

bα(E1 + !ω1) bβ(E2)

	γ"
×	Nr	S	(E	) S		(E		+ !ω	) f	(E	) ,
	=1	αγ	1		βγ		2	2	γ	1

= δ(E1 + !ω1 − E2)

"Nr

× Sαδ(E1 + !ω1) Sβδ(E2) {1 − fδ(E2)} .

δ=1

Аналогично вычисляются остальные парные корреляторы.Пос ле чего,выражение( 2.50) может быть приведено к следующему виду ,

P	(out,out)	(ω1, ω2) =	2π δ(ω1 + ω2) P(out,out)						(ω1) ,
	αβ							αβ
										(2.51)
				e2 ∞			Nr	Nr
			0				!!δ
	Pαβ(out,out)(ω1) =			h	ˆ	dE1	γ=1	Fγδ(E1, E1		+ !ω1) .
								=1

× Sαγ(E1) Sβγ(E1) Sαδ(E1 + !ω1) Sβδ(E1 + !ω1) .

Обратим внимание на то,что коррелятор токов,переносимых р ассеянными

74

2.2.Флуктуации тока в образце с непрерывным спектром

электронами,зависит от функций распределения электронов во всех резервуарах и от всех возможных амплитуд рассеяния электронов,а не только от амплитуд рассеяния Sαβ между теми резервуарами α и β, в которых изме - ряются флуктуирующие токи.

Суммируя выражения( 2.45), (2.48), (2.49) и (2.51),получим выражение( 2.33),в котором

´		6		A			B
Pαβ(ω) = eh2 ∞dE Fαα(E, E + !ω) δαβ − Sβα(E + !ω) Sβα(E)
0
−	F	ββ	(E, E + !ω) S	(E) S	αβ	(E + !ω)	(2.52)
			αβ

"Nr "Nr

7

+ Fγδ(E, E + !ω) Sαγ(E) Sβγ(E) Sαδ(E + !ω) Sβδ(E + !ω) .

γ=1 δ=1

Характер зависимости шума от частоты определяется двумя факторами. Во-первых,зависимостью от энергии амплитуд рассеяния,чт о позволяет получать информацию об исследуемом образце.И,во-вторых, величиной Fγδ(E, E + !ω), зависящей от электрохимических потенциалов и темпера - тур электронных резервуаров,с которыми соединен исследуе мый образец. Результирующее влияние этих факторов на шум специфично для каждого конкретного образца.Однако в некоторых простых случаях вл ияние температуры и напряжения на шум может быть проанализировано в общем виде.

2.2.3.Спектральная плотность шума в случае не зависящей от энергии матрицы рассеяния

Пусть между резервуарами имеется разность потенциалов и все резер - вуары имеют одинаковую температуру,

eVαβ = µα − µβ ; Tα = T0 , α .

(2.53)

Мы полагаем,что напряжение и температура малы по сравнению с энергией Ферми,

75

2.Флуктуации тока

|eVαβ | , kBT0 - µ0 . (2.54)

Предположим также,что матрица рассеяния слабо зависит от э нергии в диапазоне энергий порядка kBT0, |eVαβ| вблизи энергии Ферми µ0. Тогда элементы матрицы рассеяния можно вынести за знак интегрирования по энергии в выражении( 2.52) и вычислять их при E ≈ E + !ω = µ0. По - сле этого,интегрирование по энергии выполняется точно,

∞		eV	+ !ω	cth -	eVαβ + !ω	. ,
ˆ	dE Fαβ(E, E + !ω) =	αβ					(2.55)
			2		2kBT0
0

и спектральная плотность шума принимает следующий вид ,

e2

6

!ω

!ω

2

2

Pαβ(ω) = h

cth )

*Eδαβ − |Sβα(µ0)|

− |Sαβ(µ0)|

F

2

2kBT0

" "

)

*

(2.56)

eVγδ+!ω

Nr Nr eV +!ω

cth

Sαγ(µ0) Sβγ(µ0) Sαδ(µ0) Sβδ(µ0)7.

+ γ=1 δ=1

γδ

2

2kBT0

Вычислим спектральную плотность флуктуаций тока в проводнике α = 1 в частном случае Nr = 2. [24] Обозначив ,V = V12 = −V21, найдем

6) *

			e2				!ω	2
		P11(ω) = h			!ω cth			T12
							2kBT0
	12 E		)			*	−2	)		*F7	(2.57)
11		2		2kBT0					2kBT0
+R T		eV +!ω cth		eV +!ω		+ eV	!ω cth		eV −!ω		.
где мы ввели вероятность2прохождения, T12 = |S12(µ0)|2, и вероятность от -
ражения, R11 = |S11(µ0)|			= 1 − T12. Заметим , что вычисленная величина

определяет и все остальные корреляторы: P12 = P21 = −P22 = −P11.

76

2.2.Флуктуации тока в образце с непрерывным спектром

Величина шума зависит от частоты ω, на которой измеряются флук - туации тока,приложенного напряжения V , и температуры резервуаров T0. Если одна из этих величин намного превосходит две другие величины,то получим

		2kBT0G , kBT0 ( |eV |, !ω ,
P11(ω) =	e2				eV		!ω, kBT0 ,	(2.58)
	eI R11 ,					| (
		|		|	|
			2π	|ω|T12	, !ω ( kBT0, |eV | ,

где G = (e2/h)T12 – проводимость образца, I = V G – ток через образец. Первая строчка описывает тепловой шум,величина которого п ропорциональна температуре,что с учетом( 2.37) совпадает с выражением (2.3).Коэффициент 2 отражает вклад двух резервуаров.Если температуры резерву - аров различны,то следует сделать замену: 2T0 → T1 + T2. Вторая строчка соответствует режиму,когда преобладающим является дробо вой шум увеличивающийся пропорционально величине тока,протекающег о через об - разец,смотри( 2.4).И,наконец,в третьей строке приведенного выражение для,так называемого,квантового шума,величина которого у величивается с увеличением частоты. [25] Именно последний вклад ответственен за расхо - димость среднего квадрата флуктуаций тока 0I121 = P11(t = 0), (2.35).

Как следует из выражения( 2.58) зависимостью шума от частоты мож - но пренебречь,если

!ω - max {kBT0, |eVαβ|} , α,β.

(2.59)

В этом случае квантовый шум становится несущественным и основными источниками флуктуации тока являются тепловой и дробовой шумы.Так при T0 10−2 К и / илиV 10−6 В квантовый шум отсутствует вплоть до частот

ω 109 Гц.

77

2.Флуктуации тока

2.2.4.Спектральная плотность шума на нулевой частоте

При измерении на частотах,удовлетворяющих условию( 2.59),флуктуации тока определяются спектральной плотностью шума при ω = 0, смотри Eq. (2.37).Величина Pαα(0) обычно называют интенсивностью шума.

Представим величину Pαβ(0), (2.52),в виде суммы двух слагаемых,одно из которых обращается в нуль при нулевой температуре а второе обращается в нуль в отсутствие тока через образец.Для этого пред ставим,

1							A	B
Fγδ(E, E) =			2		<Fγγ(E, E) + Fδδ(E, E) + fγ(E) − fδ(E) 2= .
Далее,в слагаемом,содержащем в качестве множителя Fγγ(E, E), просум -
мируем по δ и,с учетом условия( 1.13),найдем,
Nr						Nr	Nr
!						!δ	!
	Fγγ Sαγ					Sβγ	Sαδ Sβδ = δαβ Fγγ |Sαγ|2 .
γ=1						=1	γ=1
Слагаемое,содержащее						Fδδ(E, E), приводится к такому же виду . После
этого,получим, [ 4]
						Pαβ(0) = Pαβ(th) + Pαβ(sh) ,				(2.60)
где
	e2 ∞					E	Nr		F
							!
0
Pαβ(th) = h ˆ					dE	6δαβ Fαα(E, E) + γ=1 Fγγ(E, E) |Sαγ (E)|2
−Fαα(E, E) |Sβα(E)|2 − Fββ(E, E) |Sαβ(E)|2								7	,	(2.61)

78

2.2.Флуктуации тока в образце с непрерывным спектром

P(sh) =	e2	∞dE	Nr	Nr	[fγ(E) − fδ(E)]2	S (E) S (E) S (E) S (E) .
αβ		0	! !δ			αγ	βγ	αδ	βδ
	h ˆ		γ=1	=1	2

(2.62)

Величину P(ααth) можно назвать интенсивностью теплового шума,

поскольку,при нулевой температуре она обращается в нуль.Э то следует из

того,что при Tα = 0 имеем, Fαα(E, E) = 0, α. Величину же P(ααsh) можно назвать интенсивностью дробового шума, поскольку , в том случае ,

если все резервуары имеют одинаковые электрохимические потенциалы и температуры, µα = µ0, Tα = T0, α, и , следовательно , ток через образец

отсутствует,то величина P(αβsh) = 0. Последнее следует из того , что в этом случае разность функций распределения равна нулю, fγ(E) − fδ(E) = 0.

Следует заметить,что как P(αβth), так и P(αβsh) зависят и от температуры и от напряжения,что подчеркивает единую,а именно вероят ностную, природу возникновения шума.Однако имеется и существенное различие между равновесным и неравновесным шумами.Так,выражение д ля теплового,равновесного шума содержит только такие характери стики образца как вероятности прохождения |Sαβ|2 из одного контакта в другой контакт.Эти же величины входят в выражение для элементов матри цы кондактанса Gαβ , (1.55).Такое совпадение не случайно,а является следствием флуктуационно-диссипационной теоремы,смотри,например , [12],из которой следует,что проводимость образца пропорциональна к оррелятору токов,вычисленному в равновесном состоянии.В то же время д робовой, неравновесный шум зависит от других произведений элементов матрицы рассеяния,что позволяет получить дополнительную информа цию о свойствах образца,информацию,которая недоступна при изучени и протекания постоянного тока через образец.

Далее рассмотрим свойства спектральной плотности шума на нулевой частоте.

79

2.Флуктуации тока

2.2.4.1.Закон сохранения для шума на нулевой частоте

Сумма Pαβ(0) по индексам всех исходящим или входящим проводников равна нулю, [5]

Nr	Nr
!	!	(2.63)
Pαβ(0) =	Pαβ(0) = 0 .
α=1	β=1

Эти законы сохранения вполне аналогичны соответствующему закону сохранения для постоянного тока, (1.48),и являются следствием сохранения числа частиц при рассеянии,что выражается в унитарности ма трицы рассеяния.

Замечательным является то,что этим законам сохранения удо влетворяют тепловой и дробовой шумы по-отдельности.Так для тепло вого шума, (2.61),с учетом выражения( 1.51),найдем(мы опускаем интегрирование по энергии,так как рассматриваемые законы сохранения выпо лняются не только интегрально,но и при фиксированной энергии):

Nr			Nr	Nr
!			!	!
α=1 Pαβ(th)			α=1 δαβEFαα(E, E) + γ=1 Fγγ(E, E) |Sαγ(E)|2 F
			Nr	Nr
			!	!
			− Fαα(E, E) |Sβα(E)|2 − Fββ(E, E) |Sαβ(E)|2 ,
			α=1	α=1
			Nr
			!γ	Fγγ(E, E) |Sβγ(E)|2
			= Fββ(E, E) +
			=1
			Nr
			!
			− Fαα(E, E) |Sβα(E)|2 − Fββ(E, E) = 0 .
			α=1
Аналогично,с			использованием	выражения( 1.46),доказывается,что
Nr	(th)	(0) = 0. Для дробового шума , (2.62),с учетом выражения( 1.12),
"β=1 Pαβ

80

2.2.Флуктуации тока в образце с непрерывным спектром

получаем,

Nr	Nr	Nr	2					Nr
!	! !δ		[fγ(E) − fδ(E)]					!
P(sh)				S	βγ	(E) S	(E) S		(E) S	αδ	(E) .
αβ		=1	2			βδ		αγ
α=1	γ=1							α=1
	Nr	Nr	2
	! !δ		[fγ(E) − fδ(E)]			(E) Sβδ(E) δγδ = 0 ,
	=			Sβγ
	γ=1	=1	2
а,с учетом выражения( 1.13),находим,что						Nr P(sh)		(0) = 0.
						β=1	αβ

"

Законы сохранения( 2.63) показывают , что корреляторы токов в раз - личных контактах не являются независимыми друг от друга,по этому,измерив одни из них,можно вычислить другие.

2.2.4.2.Правило знаков для корреляторов токов

Авто-коррелятор токов есть величина положительная(или ну ль),а кросс-коррелятор есть величина отрицательная(или нуль) [ 5],

Pαα(0)	≥	0	,		(2.64)
Pαβ(0)	≤	0	,	α %= β .	(2.65)

Положительный знак Pαα(0) понятен,поскольку,согласно выражению (2.37) эта величина есть среднее квадрата действительной величины,отклонения мгновенного значения тока от среднего значения.

Отрицательный же знак кросс-коррелятора требует пояснений.Это свойство является следствием,во-первых,неделимости эле ктрона и,вовторых,принципа запрета Паули,в соответствие с которым че рез одномерный проводник электроны с фиксированной энергией E проходят поодному(по два,с учетом спина).Наглядно представить себе в озникновение отрицательного знака можно следующим образом.Рассмот рим рассеяние одного электрона,движущегося,скажем,по одномерном у проводнику γ к образцу . Строго говоря , в данный момент времени к образцувижутдся столько электронов,сколько резервуаров соединено с обр азцом.Однако,и это важно,электроны в разных резервуара не скоррелиро ваны друг с

81

2.Флуктуации тока

другом,поэтому они вносят независимый вклад в средний квад рат флуктуаций,что и позволяет нам рассматривать вклад,производимы й только од - ним электроном.Электрон может быть рассеян в любой проводн ик δ. Ве - роятность такого рассеяния определяется квадратом соответствующей амплитуды рассеяния, |Sδγ(E)|2. Таким образом , за достаточно длительный промежуток времени в каждый из проводников будет рассеяно некоторое количество электронов,что и определит средний ток в провод нике.Такие средние токи в проводниках α и β, созданные электронами , пришедшими

из проводника γ, мы обозначим через 0Iα(γ)1 и 0Iβ(γ)1, соответственно . Одна - ко,тот электрон,который мы сейчас рассматриваем может быт ь рассеян только в один из проводников.Это может быть проводник α, или β, или какой-либо еще проводник δ. В любом случае только в одном из провод - ников возникнет импульс тока,обусловленный прохождением рассеянного электрона,поэтому произведение мгновенных значений тока в каких - либо двух проводниках всегда будет равно нулю,например, Iα(γ)Iβ(γ) = 0. Отку - да и следует,что кросс-коррелятор токов в проводниках α и β, созданных электронами с энергией E, пришедшими из проводника γ, есть величина от -

рицательная, P(αβγ)(E) 0Iα(γ)Iβ(γ)1 − 0Iα(γ)10Iβ(γ)1 0 − |Sαγ (E)|2|Sβγ (E)|2 ≤ 0

(знак равенства получим,если одна из амплитуд рассеяния ра вна нулю).

Суммируя P(αβγ)(E) по всем проводникам и интегрируя по энергии,получим неравенство( 2.65).

Далее покажем формально,что тепловой, ( 2.61),и дробовой, ( 2.62), шумы действительно удовлетворяют правилам знаков( 2.64), (2.65).Мы будем опускать интегрирование по энергии,которое не изменяе т знак корре - лятора токов.Вначале рассмотрим тепловой шум.Для авто-ко ррелятора получим,

Nr
!γ	Fγγ(E, E) |Sαγ(E)|2 − 2Fαα(E, E) |Sαα(E)|2 =
Pαα(th) Fαα(E, E) +
=1
= Fαα(E, E) E1 − |Sαα(E)|2F		Nr
		!
		+ γ%=α=1 Fγγ(E, E) |Sαγ(E)|2 ≥ 0 .

82

2.2.Флуктуации тока в образце с непрерывным спектром

Здесь мы учли,что

0

≤ Fαα(E, E) ≤ 1 и |Sαα(E)|2

≤ 1. Для кросс -

коррелятора,

α %= β

, получим отрицательно - определенное выражение ,

(th)

Pα%=β − |Sβα|2fα[1 − fα] − |Sαβ|2fβ[1 − fβ] ≤ 0.

есть положитель но-

Рассмотрим дробовой шум.Авто-коррелятор

(sh)

Nr

Nr 1

fγ − fδ

2

|Sαγ

2

2

≥ 0.

определенная величина, Pαα

γ=1

δ=1 2

2

| |Sαδ|

Для вычисления кросс-коррелятора запишем,

+fγ

,

2

2

,

fδ

= fγ

+ fδ

2fγfδ

" "

−

−

воспользуемся выражением( 1.13) и получим , +

,

Pα(sh%=β)

1 Nr

Nr

fγ2 + fδ2 − 2fγfδ Sαγ Sβγ Sαδ Sβδ

2

γ=1

=1

+

,

!

!δ

=

1 Nr

fγ2 Sαγ Sβγ

Nr

Sαδ Sβδ +

1

Nr

Sαγ Sβγ

Nr

fδ2 Sαδ Sβδ

2 γ=1

=1

δ=1

2 γ=1

!

!δ

!

!

− Nr

fγ Sαγ Sβγ

Nr

fδ Sαδ Sβδ = −

@

Nr

fγ Sαγ Sβγ@2 ≤ 0 .

γ=1

δ=1

@

γ=1

@

!

!

@!

@

@

@

@

@

Во второй строчке мы использовали унитарность матрицы рассеяния и по-

"

лучили, δ Sαδ Sβδ = δαβ = 0. Таким образом , правило знаков для корреля - торов токов доказано.

В качестве иллюстрации применения вышеприведенных свойств,рассмотрим следующий пример.

2.2.4.3.Образец с двумя контактами

Из выражения( 2.63) следует , что в случаеN2 = 2 матрица спектральной плотности шума на нулевой частоте, Pαβ(0), определяется всего одним элементом.И это справедливо,как для теплового,так и для др обового шумов,

P(11th) = P(22th) = −P(12th) = −P(21th) ≡ P(th) ,

(2.66)

P(11sh) = P(22sh) = −P(12sh) = −P(21sh) ≡ P(sh) ,

83

2.Флуктуации тока

где

2k

∞

-−T1

∂f (E)

∂f (E)

.T12(E) ,

P(th)

=

e B

ˆ

dE

1

− T2

2

(2.67)

h

∂E

∂E

0

h

∞

A

−

B

0

P(sh)

=

e2

ˆ

dE f1(E)

f2(E)

2 T12(E) R11(E) ,

(2.68)

где T12(E) = @@S12(E)@@2, R11(E) = 1 − T12(E) есть зависящие от энергии коэффициенты прохождения и отражения,соответственно.В выр ажении для

P(th) мы использовали,следующее тождество для функции распреде ления Ферми,

	∂fα(E)		(2.69)
Fαα(E, E) ≡ fα(E)[1 − fα(E)] = −kBTα		.
	∂E

Из полученных выражений следует,что характер зависимости шума от температуры и приложенного напряжения в существенной мере определяется характером зависимости от энергии коэффициента прохождения.Если T12(E) изменяется незначительно в интервале энергий порядка температуры резервуаров и приложенного напряжения,тогда тепловой ш ум линейно зависит от температур T1 и T2 резервуаров и не зависит от приложенного

напряжения, P(th) = kB (T1 + T2) G, где G = (e2/h)T12(µ0). Если же за - висимость T12(E) имеет резонансный характер,то тепловой шум проявля-

ет нелинейную зависимость при температурах порядка ширины резонанса и/или расстояния между резонансами.В тоже время дробовой ш ум, P(sh), является нелинейной функцией как напряжения,так и темпера туры.Более того,дробовой шум существует даже в отсутствие напряжения , если резер - вуары имеют различные температуры.И только в том случае,ес ли коэффициент прохождения слабо зависит от энергии,то в пределе бол ьших напряжений, |eV | ( kBT1 , kBT2, дробовой шум становится пропорциональным величине протекающего тока I = V G, P(sh) = |eI|R11(µ0).

84

2.2.Флуктуации тока в образце с непрерывным спектром

Как уже отмечалось,изучение дробового шума позволяет полу чить дополнительную информацию о системе,по сравнению с той,кото рая содержится в токе.Так в рассматриваемом случае образца с двумя од номерными контактами,измерение тока и дробового шума при заданном на пряжении позволяет экспериментально определить как вероятность прохождения,так и заряд носителей тока q. Обычно принято считать , чтоq = e, однако в по - следнее время интенсивно изучаются системы,например,дву мерный электронный газ в режиме дробного квантового эффекта Холл,в кот орых,предположительно,элементарные возбуждения имеют дробный зар яд.Так в работах[ 26, 27] на основе измерения дробового шума был измерен заряд ква - зичастиц,равный q = e/3.

2.2.5.Фактор Фано

В заключение упомянем также о , так называемом , факторе ФаноF , который определяется как отношение величины дробового шума к величине тока,умноженному на заряд носителей тока,смотри,наприме р, [21]:

	P(sh)		(2.70)
F =		.
	|qI|

Как было показано Шоттки[ 22] на примере шума вакуумной электрон - ной лампы,если ток переносится статистически независимым и друг от друга носителями,то величина фактора Фано равна единице, F = 1. При наличии корреляций и/или взаимодействия между носителями величина F отличается от единицы.

Дробовой шум в твердотельных мезоскопических проводниках также принято характеризовать факторов Фано, (2.70).Однако,как следует из сравнения выражений( 1.47),для Nr = 2, и (2.68),в общем случае фактор Фано будет отличаться от единицы.Даже в простейшем случ ае,когда можно пренебречь зависимостью коэффициента прохождения от энергии , и,когда напряжение значительно превышает температуру,фа ктор Фано равен, F = 1 − T12. При T12 → 0 величина F ≈ 1, поэтому можно сказать , что когда проводимость образца мала по сравнению с квантом проводимости, G/G0 = T12 - 1, то ток переносится статистически независимыми носите -

85

2.Флуктуации тока

лями.В тоже время при увеличении проводимости,когда плотн ость потока приближается в максимально возможной,которая для одномер ного проводника достигается при G = G0, то есть , приT12 = 1, фактор Фано стано - вится меньше единицы,что отражает наличие корреляций межд у носителя - ми тока.Эти корреляции,а также существование максимально допустимой проводимости,обусловлены принципом запрета Паули,согла сно которому пока один электрон,с энергией E, не покинет область рассеяния , то другой электрон с той же энергией не сможет пройти через образец и внести вклад в ток.Таким образом,изменяя проводимость образца можно неп рерывно перейти из режима,когда ток переносится нескоррелированным и электрона - ми, T12 → 0, к режиму , когда носители тока сильно скоррелированы между

собой, T12 → 1.

Напомним,что мы рассматриваем рассеяние,которое не приво дит к изменению направления спина,поэтому две подсистемы элект ронов,отличающиеся направлением спина,могут рассматривать не завис имо друг от друга.Все приведенные рассуждения применимы для одной из п одсистем, любой из двух.Для учета наличия двух подсистем электронов к онечные результаты должны быть умножены на коэффициент 2. При наличие же за - висящего от спина рассеяния рассмотрение несколько усложнится,однако существо возникновения шума не изменяется.

86