Глава7.

Теплоперенос через динамический образец

Как мы уже говорили,при рассеянии на динамическом образце и значально одинаковые потоки электронов могут быть перераспределены таким образом,что возникнет постоянный ток между резервуарами д аже в отсутствие напряжения.Это же оказывается справедливым и для пот оков энергии,переносимых электронами.Следует,однако,иметь ввид у,что функционирование динамического рассеивателя сопровождается диссипацией энергии в электронную систему.Поэтому,в дополнение к пере распределению энергетических потоков он также выполняет роль источника энергии.

7.1.Постоянный поток тепла

По аналогии с определением постоянного электрического тока (4.3), определим постоянный поток энергии IαE, который течет в проводнике α,

как разность между потоком энергии IαE(out), переносимым неравновесными электронами от рассеивателя к резервуару,и равновесным потоком энергии

IαE(in), текущим от резервуара к рассеивателю :

IαE = IαE(out) − IαE(in) .

(7.1)

Соответствующие энергетические потоки определены следующим образом, [67]

∞

IαE(in/out) =	1	ˆ	dE E fα(in/out) (E) ,	(7.2)
	h
		0
где fα(out)(E) – это функция	распределения рассеянных			электронов;

fα(in)(E) ≡ fα(E) – это функция распределения(равновесных)налетающих на рассеиватель электронов.

209

7.Теплоперенос через динамический образец

Ниже мы будем интересоваться постоянным тепловым потоком IαQ, ко - торый равен соответствующему полному потоку энергии IαE за вычетом конвективного потока энергии,переносимого электронами,кот орые создают постоянный ток Iα :

Iα
IαQ = IαE − µα e .	(7.3)

Разделение потока энергии IαE на тепловой IαQ и конвективный µα Iα/e потоки может быть обоснована исходя из рассмотрения баланса частиц и энергии для резервуара α, который имеет фиксированный химпотенциал µα и поддерживается при постоянной температуре ( в случае макроскопических тел см.,например, [ 108]).

Если электрический ток Iα и поток энергии IαE втекают в резервуар α, то его заряд(число электронов)и его энергия должны были бы и зменится. При этом соответственно изменились бы химпотенциал и температура резервуара.Проанализируем,что необходимо сделать,чтобы п редотвратить

изменение µα и Tα.

Для того,чтобы химпотенциал резервуара не изменился необх одимо обеспечить удаление избыточного числа электронов со скоростью,равной Iα/e. Обычно это достигается посредством соединения металлического контакта,выполняющего роль резервуара для исследуемого о бразца,с намного более массивным телом(например заземленной металли ческой шиной).Шина подсоединяется достаточно далеко от места соеди нения резервуара с исследуемым образцом для того,чтобы инжектированн ые неравновесные электроны успели термализоваться.Следовательно э лектроны,которые отводятся из резервуара с целью поддержания постоянным его химпотенциал,являются равновесными и соответственно имеют э нергию,равную µα, см ., например ,12[ ].Ясно,что поддержание неизменным химпотенциала электронного резервуара сопровождается уменьшением энергии ре - зервуара со скоростью,равной µα Iα/e. Заметим , что указанный конвектив - ный поток энергии µα Iα/e отбирается в равновесных условиях,поэтому он может быть обратимым образом возвращен назад в резервуар.

Теперь рассмотрим,что необходимо сделать,чтобы температ ура резервуара оставалась неизменной.В общем случае отбираемый кон вективный поток энергии не совпадает с потоком энергии IαE, который втекает в ре - зервуар α. Для того , чтобы предотвратить разогрев резервуара необходимо

210

7.1.Постоянный поток тепла

дополнительно отбирать от него энергию со скоростью IαQ, определяемой уравнением( 7.3).Поскольку металлический контакт(как правило)не может производить работу,то единственный способ отобрать от него энергию IαQ так,чтобы число частиц в нем не изменилось,это привести его в контакт с другим массивным телом , выполняющим роль термостата . Обмен энергией между резервуаром и термостатом является существенно необратимым. Именно по этой причине мы называем теплом ту часть энергетического потока,которую обозначили через IαQ. Подчеркнем , что часть потока энергии IαQ станет собственно теплом(то есть приведет к увеличению тем пературы электронной системы)только в глубине резервуара,после то го как неупругие процессы приведут к термализации неравновесных электронов.

В отсутствие термостата температура резервуара будет изменяться под действием потока тепла IαQ, который , как мы покажем ниже , может быть на - правлен как к резервуару,так и от резервуара.Следовательн о,динамический рассеиватель может как нагревать некоторый резервуар α, так и охла - ждать его,даже в том случае,когда температуры всех резерву аров одинаковы.

Выражая функцию распределения fα(out)(E) рассеянных частиц через элементы матрицы рассеяния Флоке и функции распределения fβ(E) налетающих частиц,как приведено в( 4.2),и используя выражение( 3.40) для по - стоянного тока Iα,0, окончательно получим следующее выражение для пото -

ка тепла IαQ (7.3): [31]

		1	∞
	IαQ =		ˆ
		h
			0

dE (E − µα) !∞ !Nr @@SF,αβ (E, En)@@2 >fβ (En) − fα (E)? .

n=−∞ β=1

(7.4)

В полученном выражении мы использовали в качестве множителя при fα(E) следующее тождество

∞	Nr		@
! ! @		SF,αβ (E , En)		2	= 1 ,	(7.5)
	@		@

n=−∞ β=1

211

7.Теплоперенос через динамический образец

которое является следствием унитарности матрицы рассеяния Флоке и сле - дует из( 3.28b) при m = 0 и γ = α.

Приведем еще два выражения для теплового потока.Первое выр ажение получаются из( 7.4) посредством замены E → En и n → −n,

1		∞	∞	Nr		@	2	>	?
		ˆ dE (En − µα)	! ! @
IαQ =	h		n=−∞ β=1		SF,αβ (En, E)	@			fβ (E) − fα (En) ,
0
				@					(7.6)

а второе получается посредством этой же замены , но произведенной только в слагаемом , содержащем в качестве множителяfβ,

1		∞	dE8	∞	Nr			2
IαQ = h ˆ				! !		@	@
						(En − µα)	SF,αβ (En, E) fβ (E)
				n=−∞ β=1		@	@
0										(7.7)
							− (E − µα) fα (E)		9 .

В слагаемом же с fα мы использовали тождество( 7.5).

Сейчас мы используем последнее выражение для того,чтобы по казать существование двух довольно общих эффектов,обусловленны х динамиче - ским рассеивателем.Для большей наглядности рассмотрим сл учай,когда все резервуары имеют одинаковые химпотенциалы и температуры.

µα = µ0 , Tα = T0 , fα(E) = f0(E) , α = 1 . . . , Nr . (7.8)

Следовательно,все потоки энергии/тепла в системе генерир уются только благодаря наличию динамического рассеивателя.В из ложении данного вопроса мы следуем работе[ 109].

212

7.1.Постоянный поток тепла

7.1.1.Генерирование тепла динамическим рассеивателем

Первый из рассматриваемых эффектов состоит в том,что

изменение параметров динамического мезоскопического рассеивателя под действием внешнего периодического во времени возмущения сопровождается передачей энергии в электронную систему, что в конечном итоге приводит к нагреву электронных резервуа-

ров. [93, 31, 110, 69]

Или другими словами,работа квантового насоса сопровождае тся выделением тепла.Для вычисления интенсивности ItotQ , с которой генерируется тепло,необходимо просуммировать тепловые потоки IαQ, протекающие во всех проводниках.Используя выражение( 7.7) при условии (7.8),получим

	Nr			∞		∞	Nr Nr
	!		Ω0				! !
				ˆ		!
ItotQ	≡	IαQ =	2π		dE f0(E)	n	|SF,αβ(En, E)|2 . (7.9)
	α=1	0				n=−∞	α=1 β=1

Поскольку сумма тепловых потоков во всех проводниках не равна нулю, в отличие от случая с электрическим током (4.11),мы заключаем,что действительно динамический рассеиватель является источником тепла , рис7.1. Исходя из физического смысла величин,входящих в выражение (7.9),можно сказать,что величина ItotQ определяется энергией,которую получают электроны при рассеянии на динамическом образце.Источник ом этой дополнительной энергии являются внешние силы/поля,которые вызывают изменение параметров рассеивателя.

7.1.2.Перенос тепла между резервуарами

Второй из упомянутых эффектов заключается в следующем:

динамический рассеиватель выполняет роль насоса тепловых потоков между электронными резервуарами. [111, 112, 113, 114]

Этот эффект вполне аналогичен рассмотренному ранее эффекту гене - рирование постоянного электрического тока.Отличие состо ит только в том, что сейчас речь идет о потоках тепла.Динамический рассеива тель может

213

Q(pump)

7.Теплоперенос через динамический образец

IQ(pump)	IQ(pump)
α = 1	α = 2
µ0, T0	µ0, T0
I1Q(gen)	I2Q(gen)

Рис. 7.1.Тепловые потоки,обусловленные динамическим мез оскопическим образцом с двумя контактами. IαQ(gen) – поток генерируемого тепла,текущий от рассеивателя к резервуару α, I – поток тепла,переносимого между резервуарами.Интенсивность генерируемого тепла равна ItotQ =

I1Q(gen) + I2Q(gen).

приводить к возникновению потоков тепла IαQ(pump), которые в одних про - водниках направлены от рассеивателя к резервуару,а в других проводниках

– от соответствующего резервуара к рассеивателю,рис. 7.1. При этом сум - ма этих потоков во всех проводникам равна нулю,

!Nr

IαQ(pump) = 0 ,

(7.10)

α=1

как и в случае с электрическим током( 4.11).

Условие( 7.10) означает , что потоки теплаIαQ(pump) втекают и вытекают из рассеивателя не накапливаясь и не исчезая,то есть,динам ический рассеиватель не является источником этого тепла.Его роль состои т в обеспече - нии условий,при которых потоки тепла от резервуаров перера спределяются

таким образом,что тепло может отбираться, IαQ1(pump) < 0, от одних резерву - аров и передаваться, IαQ2(pump) > 0, в другие резервуары . Заметим , что если какой-либо резервуар α0 имеет нулевую температуру,то в проводнике,со-

единяющим такой резервуар с рассеивателем,должно быть IαQ0(pump) ≥ 0, поскольку от такого резервуара невозможно отобрать тепло.

Для того,чтобы показать существование эффекта теплового н асоса поступим следующим образом.Разобьем интенсивность ген ерируемого

214

7.1.Постоянный поток тепла

тепла ItotQ формально на части IαQ(gen), так , чтобы

	Nr
ItotQ =	!
	IαQ(gen) .	(7.11)

α=1

Сравнивая это выражение с( 7.9) и убирая из последнего суммирование по α, находим

	Ω0	∞		∞	Nr
IαQ(gen) =		ˆ			|SF,αβ (En, E)|2 .	(7.12)
			dE f0(E)	n
	2π
		0		n=−∞	β=1
				! !

Можно интерпретировать полученную величину IαQ(gen) как поток генерируемого тепла от рассеивателя в резервуар α. Сравнивая выражение (7.12)

с выражением (7.7) ( при		fα = f0	, α	) видим , что	Q(gen) отличается от теп-
Q				Iα
лового потока Iα	, который течет в проводнике α. Разница ,
	IαQ(pump)		= IαQ − IαQ(gen) ,		(7.13)

как раз и представляет собой ту часть потока тепла,которая п ереносится между резервуарами и не связана с теплом,генерируемым расс еивателем.

Напомним,что IαQ(gen)				– это часть потока тепла,которая генерируется са-
мим рассеивателем.
Подставляя( 4.7) и (4.10) в (4.11),получим										1 .
		∞	dE(E			µ0) f0(E)	∞	Nr	SF,αβ (En, E) 2
IαQ(pump) = 1 ˆ
							! !
	h 0				−		n=−∞ β=1 |		| −
										(7.14)

Используя условие унитарности( 3.28a),легко убедиться,что полученное

выражение( 7.14) для потока переносимого тепла IαQ(pump) удовлетворяет уравнению непрерывности( 7.10).

Согласно уравнению( 7.13) поток тепла IαQ в проводнике α состоит из двух частей,рис. 7.1. Первая ,IαQ(gen) – это положительный поток тепла,

215

IαQ(gen)

7.Теплоперенос через динамический образец

генерируемого динамическим рассеивателем.Вторая, IαQ(pump) – это поток переносимого тепла,который может быть как положительным( поток направлен к резервуару),так и отрицательным(поток направле н от резерву - ара).Отметим,что если IαQ(pump) < 0 и поток переносимого тепла по аб - солютной величине превосходит поток генерируемого тепла в том же про-

воднике IαQ(pump) > IQ(gen)							, то резервуар α будет охлаждаться,поскольку
Q	Q(@pump)		@Q(gen@)		α	@
Iα	= Iα	@	+ I@α	@	< 0.	@
		@	@	@		@	Q	Q(gen)	Q(pump)	для того,что-
	Мы разбили тепловой поток Iα							на части Iα	и Iα

бы показать возможность того,что IαQ может быть отрицательным.Откуда следует,что электронные резервуары могут не только нагрев аться(что понятно с физической точки зрения,поскольку при работе любог о устройства , в нашем случае это квантовый насос , энергия будет диссипировать),но и охлаждаться(что является нетривиальным эффектом).Однак о,последовательно мы можем вычислить только тепловой поток IαQ (7.7) и суммарную интенсивность генерируемого тепла ItotQ (7.9).Разбиение же представленное в выражениях (7.12) и (7.14) не является единственно возможным , посколь - ку уравнения( 7.11) не достаточно для однозначного определения величины

. В следующем разделе мы рассмотрим адиабатический режим и приведем дополнительные физические соображения в пользу того, что поток тепла IαQ представим в виде суммы потоков генерируемого тепла и переносимого тепла.

7.2.Потоки тепла в адиабатическом режиме

В адиабатическом режиме 2 - 1 (3.49) с точностью до членов линей - ных по частоте возмущения Ω0 матрица рассеяния Флоке равна,см.выра-

жения( 3.44), (3.46a) и (3.48a):

@SF,αβ (En, E)@		2	= |Sαβ,n (E)|2 +		n!Ω0		∂ Sαβ,n (E) 2			(7.15)
				2			| ∂E	|
@	@
			+ 2!Ω0Re ASαβ	,n (E) Aαβ,n (E)B + O +Ω02, .

216

7.2.Потоки тепла в адиабатическом режиме

Подставим это выражение в( 7.6) и вычислим тепловой поток IαQ при условии( 7.8) с точностью до членов порядка Ω20. Вначале рассмотрим случай конечных температур,а потом рассмотрим случай нулевой тем пературы резервуаров.

7.2.1.Конечные температуры

При выполнении условия

kBT0 ( !Ω0

(7.16)

разложим разность функций распределения Ферми,входящую в выражение (7.6),в ряд по степеням Ω0:

f0 (E) − f0 (En) =	-−	∂f0	.n!Ω0	−	(n!Ω0)2 ∂2f0			+ O +Ω03,.
		∂E			2 ∂E2

(7.17)

Подставим приведенное разложение в( 7.6) и выполним суммирование по n, с использованием свойств коэффициентов Фурье . Тогда получим( kBT0 (

!Ω0):

где

IαQ

= IαQ(gen) + IαQ(pump)

+ O +Ω03, ,

(7.18a)

!

∞

∂f0

T

dt ∂Sˆ ∂Sˆ†

IαQ(gen) =

ˆ

dE

−

ˆ

L

M

,

(7.18b)

4π

∂E

T

∂t ∂t

0

-

.

0

αα

1

∞

-

.

T

dt

)

*

αα

0

0

∂f0

∂Sˆ†

IαQ(pump) =

2π

ˆ

dE (E − µ0)

−

∂E

ˆ

T

Im

8

Sˆ + 2!Ω0Aˆ

∂t

9 .

(7.18c)

217

7.Теплоперенос через динамический образец

То,что величина IαQ(pump) удовлетворяет закону сохранения( 7.10) следует из условия сохранения( 4.11) для генерируемого постоянного электрического тока( 4.22),которое при нулевой температуре записывается так

T

ˆ dtT Im Tr

0

8)

ˆ

S(t, µ0)

+ 2!Ω0Aˆ(t, µ0)* ∂S†		∂t 0	9	= 0 .	(7.19)
	ˆ	(t, µ )

Заметим,что это равенство должно выполняться для любого µ0, Полученное разбиение теплового потока на генерируемый и переноси-

мый потоки может быть обосновано следующими соображениями.

1.Поток генерируемого тепла IαQ(gen) является положительным во всех проводниках α = 1 . . . Nr, что и ожидается в том случае , когда тепло генери - руется в динамическом рассеивателе и распространяется в резервуары.Для того,чтобы показать это,перепишем выражение( 7.18b) в терминах Фурье коэффициентов квазистационарной матрицы рассеяния и получим:

Q(gen)		!Ω02	∞		∂f0	∞			Nr	2
									!
						!
Iα	=	4π	ˆ	dE -−	∂E	.n=	−∞	n2	β=1 |Sαβ,n (E)| .		(7.20)
			0
Откуда видно,что,действительно,						IαQ(gen)		> 0. Кроме того ,			из выражения

(7.20) следует , что тепло производимое квантовым насосом в адиабатическом режиме пропорционально квадрату частоты Ω0, на которой он работа - ет(то есть частоты,с которой изменяются параметры квантов ого насоса). [93]

2.Поток переносимого тепла IαQ(pump) исчезает при нулевой температуре,поскольку невозможно отобрать тепло от резервуара с нул евой температурой для того,чтобы передать его в другой резервуар.Это за ключение следует из выражения( 7.18c),в котором при нулевой температуре произведение (E − µ0)∂f0/∂E = 0. Из выражения (7.18c) следует также , что перено -

симое тепло пропорционально первой степени частоты, IαQ(pump) kBT0Ω0,

218

7.2.Потоки тепла в адиабатическом режиме

поэтому при выполнении условия( 7.16) возможно реализовать режим , ко - гда тепло( kBT0Ω0),отбираемое от какого-либо резервуара,будет превышать его нагрев( Ω20).В этом случае указанный резервуар будет охлаждаться.Для характеристики эффективности охлаждения вве дем коэффициент(полезного действия) Kα, равный отношению потока тепла текущего по проводнику α к работе , которую выполняют внешние силы , приводящие насос в действие.Поскольку объем системы сохраняется пост оянным,то указанная работа равна суммарному потоку тепла,генерируе мого рассеивателем.Следовательно коэффициент Kα равен,

Kα = (−1)

IαQ

(7.21)

,

ItotQ

где

-

.

0

0

Tr L

M .

∞

∂f0

T

dt

∂Sˆ ∂Sˆ†

Q

=

!

ˆ

ˆ

(7.22)

Itot

4π

dE −

∂E

T

∂t ∂t

Положительные/отрицательные значения коэффициента Kα соответствует охлаждению/нагреву резервуара α.

7.2.2.Низкие температуры

В случае сверхнизких температур ,

kBT0 - !Ω0 ,

(7.23)

при интегрировании по энергии в выражении( 7.6) можно пренебречь зави - симостью матрицы рассеяния Флоке( 7.15) от энергии и вычислять ее при E = µ0. Такое упрощение возможно , поскольку интегрирование по энергии в (7.6) производится по интервалу порядка kBT0 вблизи энергии Ферми,а матрица рассеяния изменяется существенно только при изменении энергии на величину порядка δE. В адиабатическом режиме (3.49) и при выполне - нии условия( 7.23) указанные величины удовлетворяют следующему нера - венству, kBT0 - δE, что и оправдывает указанное упрощение .

219

7.Теплоперенос через динамический образец

Таким образом выражение( 7.6) принимает такой вид :

1

∞

Nr

@

2

µ0

! ! @

ˆ

IαQ =

h

@

SF,αβ

(µ0

+ n!Ω0, µ0)

@

dE (E − µ0 + n!Ω0)

µ0

−

n!Ω0

n=−∞ β=1

!Ω02

∞

2

Nr

@

2

!

! @

=

n

@

SF,αβ (µ0 + n!Ω0, µ0)

@

.

4π n=−∞

β=1

Используя( 7.15) и выполняя обратное преобразование Фурье , окончатель - но получаем( kBT0 - !Ω0):

T

IQ = ! ˆ

α 4π

0

L M

ˆ ˆ†

dt ∂S (t, µ0) ∂S (t, µ0)

T ∂t ∂t

αα

+,

+O Ω30 . (7.24)

Сравнивая полученное выражение с выражение( 7.18b) делаем вывод , что при низких температурах( 7.23) работа квантового насоса сопровождается только нагревом электронных резервуаров,а эффект перекач ивания тепла отсутствует.Последнее согласуется с выводом,сделанны м на основании выражения( 7.18c),вычисленного при нулевой температуре.

220