Глава9.

Квантовые электронные цепи с регулируемым источником частиц

Ниже мы рассмотрим модель,введенную в разделе 8.2.1, при низких температурах T0 → 0, в случае когда потенциал осциллирует медленно Ω0τ - 1 и с большой амплитудой , . Кроме того , мы будем полагать , что коэффициент прохождения через квантовый точечный контакт мал, T → 0. В этом режиме квантовая точка ( киральное одномерное кольцо) функцио - нирует в качестве источника частиц,эмитирующего электрон ы и дырки во вполне определенные моменты времени.При этом ширина волно вого пакета мала настолько,что отсутствует перекрытие волновых п акетов,соответствующих различным частицам.При не очень больших длина х провод - ников,волновые пакеты не уширяются и ведут себя как частицы . Однако , если создать условия,когда волновые пакеты,например,эми тированные различными источниками,перекрываются,то они интерферир уют и подчиняются принципу запрета Паули,то есть являются квантовыми частицамифермионами.

9.1.Режим квантованной эмиссии

Покажем,что при нулевой температуре ток,генерируемый РИЧ под действием медленного периодического потенциала, U(t) = U(t + T), состо - ит из последовательности импульсов различной полярности, соответствующих эмиссии электронов и дырок.Когда мы говорим про эмиссию частиц, мы подразумеваем следующее.Энергия квантовых уровней в ко льце изменяется в такт с изменением потенциала U(t). Так , при увеличении потенци - альной энергии eU(t), энергия одного из уровней может стать больше , чем энергия Ферми электронов в резервуаре,с которым соединен о дномерный киральный проводник.При этом электрон покинет кольцо и,со ответственно,в проводнике появится дополнительный электрон.Если же величина

262

9.1.Режим квантованной эмиссии

eU(t) уменьшается,то свободный уровень в кольце опустится ниже э нергии Ферми и один электрон из проводника переходит в кольцо.При э том в потоке электронов в проводнике образуется дырка(недостающи й электрон ). По прошествии периода количество электронов в кольце возвратится в своему первоначальному значению.Поэтому,число эмитированн ых в течение периода электронов и дырок одинаково,то есть генерируется переменный ток.Такой ток мы будем называть квантованным переменным током,

смотри[ 120].

Отметим,если соединить аналогичную квантовую точку с двум я од - номерными киральными проводниками и приложить постоянное напряжение между ними,то,работая в неадиабатическом режиме(но вс е-же при не очень больших частотах),можно разделить потоки электро нов и дырок. [135]

Итак,рассмотрим1КР,рис. 8.1, с потенциалом

U(t) = U0 + U1 cos (Ω0t + ϕ) .

(9.1)

Для того,чтобы вычислить генерируемый ток в адиабатическо м режиме , достаточно знать квазистационарную амплитуду рассеяния. Для рассматриваемой нами модели такая амплитуда S(t, E) приведена в выражении (8.33b),в котором необходимо сделать замену: kL → kL−2πeU(t)/ . Если температура равна нулю,

kBT0 = 0 ,								(9.2)
то достаточно знать амплитуду рассеяния только для E = µ0. Запишем
S(t) ≡ S(t, µ0) в следующем виде ,
	√					iφ(t)
S(t) = eiθr	1 −		T − e				,	(9.3)
	1 − √1 − T eiφ(t)

где θr – фаза амплитуды отражения r = √R eiθr , φ(t) = φ(µ0)−2πeU(t)/ – фаза,приобретаемая электронов с энергией Ферми при однокр атном обходе

вдоль кольца, φ(µ0) = θr + kF L.

263

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

Для того,чтобы получить простые аналитические выражения м ы пред - положим,что амплитуда U1 осциллирующего потенциала выбрана так,что в течение одного периода только один уровень в кольце пересекает уровень Ферми.Время пересечения t0 определяется из следующего условия, φ(t0) = 0 mod 2π, показывающего когда энергия одного из резонансных уровней совпадает с энергией Ферми.Введем отклонение фазы от ее резонансного значения δφ(t) = φ(t) − φ(t0). Тогда , в пределе

	T → 0						(9.4)
получим амплитуду рассеяния
iθr	T + 2iδφ(t)				2		(9.5)
S(t) = −e				+ O(T		) .
	T	−	2iδφ(t)

Здесь удержаны только линейные по T слагаемые.

Существуют два момента времени,когда квантовый уровень пе ресека-

ет уровень Ферми.Один из них, t(0−), соответствует ситуации , когда энер - гия квантового уровня становится больше энергии Ферми.Дру гой момент,

t(+)0 , соответствует ситуации , когда энергия уровня становитсяменьше µ0. В момент времени t(0−) один электрон эмитируется источником,тогда как в

момент времени t(+)0 один электрон переходит из проводника в кольцо(дырка эмитируется источником).Для простоты предположим,что в отсутствие потенциала U(t), уровень Ферми совпадает с рассматриваемым уровнем En в кольце . Тогда времена эмиссии определяются из следующегоуравнения,

En + eU )t0(7)*		= µ0			U0 + U1 cos )Ω0t0(7) + ϕ* = 0 .					(9.6)
Выбирая |eU0| <	/2 и |eU0| < |eU1| <					− |eU0|, находим
( )		(0)	ϕ		(0)	1		U0
t07	= 7t0 −			,	t0 =		arccos -−		..	(9.7)
			Ω0			Ω0		U1

264

9.1.Режим квантованной эмиссии

Отклонение от резонансной фазы δφ в выражении (9.5) может быть

связано с отклонением от времени эмиссии δt(7)

= t−t0(7) следующим обра-

зом, δφ(7) = 7MΩ0δt(7), где 7M = dφ/dt|t=t0(%)/Ω0 = 72π|e| −1

5

.

U12 − U02

Тогда квазистационарная амплитуда рассеяния равна(для 0 < t < T)

t

−

t0(+)

i%τ

@

(+)

@

−

(+) −

,

@

t − t0

@

" %τ ,

@

@

t

(

)

+ i%τ

t0

0

0

@

@

S(t) = e

t

t − + i%τ

(

)

(9.8)

iθr

−

−

@

@

−

t −

i%τ

,

t

−

t −

" %τ ,

t

@

@

(

)

(

)

0

0

−

(

@

@

@

@

1 ,

t

t 7

%τ ,

@

@

где %τ – половина времени,в течение которого квантовый уровень пер е- секает уровень Ферми,или,другими словами, (полу-)продол жительность волнового пакета,соответствующего эмитируемой частице,

Ω0 %τ =			T			=	T			.	(9.9)
	4π	@eU1 sin		Ω0t0(0) + ϕ	@		4π|e| U12		− U02
		@	)		*@		5
		@			@

В выражении (9.8) предполагается , что эмитируемые волновые пакеты не перекрываются,то есть,

@	− t0(−)	@	( %τ .
@t0(+)		@
@		@

Подставляя( 9.8) в (8.16) вычислим ток ( для0 < t < T):

0

τ

0

τ

I(t) =

e

%τ

−

%τ

.

−

*

2

) −

*

2

)

t(−)

+ %2

t

t(+)

+ %2

π t

(9.10)

(9.11)

265

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

Это ток представляет собой два импульса противоположной полярности, имеющих форму лоренцианов с шириной %τ . Эти импульсы соответствуют эмиссии электрона и дырки.Интегрируя ток по времени,легко убедиться, что первый импульс несет заряд e, а второй импульс несет заряд −e.

Для рассматриваемого режима квазистационарная плотность состояний( 8.64) равна ,

0

τ

0

τ

ν(t, µ0) =

4

%τ2

+

%τ2

, (9.12)

−

*

2

)

−

*

2

T

)

t

+ %2

+ %2

t(−)

t

t(+)

Используя это выражение,проанализируем условие адиабати чности, то есть условие малости тока I(2) Ω20 по сравнению с линейным по частоте Ω0 током I(1), смотри (8.63).Учтем,что I(1) = e2νdU/dt и по порядку вели - чины ν 1/(T ). Рассмотрим отдельно линейный и нелинейный режимы . В линейном режиме I2 e2hν2 d2U/dt2 и мы находим ,

2lin

I(2)

h ν Ω0

τΩ0

- 1 .

(9.13a)

I(1)

T

В2

нелинейном режиме в главном порядке по Ω0%τ - 1 имеем, I(2)

e hν (∂ν/∂t) (dU/dt). Поэтому , используя∂ν/∂t 1/(%τ T

), находим ,

2n/lin

I(2)

h

τΩ0

- 1 .

(9.13b)

I(1)

%τ T

T 2

Сравнивая( 9.13a) и (9.13b),мы приходим к выводу,что в рассматриваемом нелинейном режиме, режиме квантованной эмиссии, когда T - 1 и U(t) , условие адиабатичности накладывает более сильное ограничение на допустимую частоту,с которой осциллирует потенциал,че м в линейном режиме,когда U(t) - %τ . Так , в линейном режиме условие адиабатично - сти( 9.13a) может быть записано как τD - T, где τD ≈ τ/T – характерное время,за которое электрон покидает кольцо,смотри выражен ие( 8.71) при

266

9.1.Режим квантованной эмиссии

T → 0. В нелинейном же режиме условие адиабатичности (9.13b) может быть переписано как τD - %τ , то есть время выхода из кольца должно быть меньше шиины пика,то есть должно действительно быть наимен ьшим из характерных времен в задаче.

Вычислим также тепловой поток IE, генерируемый РИЧ . Сперва вы - числим средний квадрат тока для I(t) (9.11).В главном приближении по Ω0%τ - 1 находим,

T II2J =	e2
	π %1τ .	(9.14)

Затем используем соотношение( 8.20) и окончательно получим , [116]

IE =	!		1	.	(9.15)
	%τ T

Этот тепловой поток обусловлен дополнительной(сверх энер гии Ферми µ0) энергией !/(2%τ ), которую переносит каждая частица ( либо электрон либо дырка),эмитированная в течение периода T.

9.1.1.Модельная волновая функция

При нуле температур ток генерируемый РИЧ в адиабатическом режиме( 8.16) зависит от амплитуды рассеяния , вычисленной для энергии Ферми, E = µ. Это означает , что в режиме квартованной эмисии этот ток значителен только тогда,когда один из уровней квантовой точки пересекает уровень Ферми.Можно образно сказать,что РИЧ инжектирует ч астицы (электроны и дырки)на поверхность моря Ферми,образуемого электронами в одномерном киральном проводнике.При этом само это море остается невозмущенным. [136] Инжектированные частицы можно описать с помо - щью следующей волновой функции(вычисленной на расстоянии x от РИЧ),

k	-t − vxµ . ,
Ψ(t, x) = P hµ S		(9.16)

267

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

где vµ = !kµ/m – скорость электрона с энергией Ферми, S(t) дана в выражении( 9.8). 1 Волновая функция( 9.16) позволяет вычислить ток I(t), смот - ри( 8.16) и (9.11),с использованием стандартного квантово-механического

выражения для одно-частичного тока: I(t) =	−	e!/m		Ψ∂Ψ /∂x .
			8{		}
Следует подчеркнуть,что волновая функция			Ψ(t, x), Eq. (9.16) явля -
ется модельной(так сказать,феноменологической)волново					й функцией .
Единственным оправданием для нее является то,что ток					I(t), (8.16),ко-

торый является результатом формальных вычислений для много-частичной системы невзаимодействующих фермионов,также может быть в ычислен как ток единичной частицы.Поэтому можно надеяться,что вол новая функция Ψ(t, x), (9.16),достаточна для описания и понимания одно-частичных свойств инжектируемых РИЧ частиц в адиабатическом режиме при нуле температур.

9.2.Квантование дробового шума

Покажем,что генерируемый РИЧ поток электронов и дырок,рас щепляясь на на два потока на точечном контакте,смотри рис. 9.1, приводит к квантованному дробовому 2 шуму. [136, 121, 137]

Для этого вычислим спектральную плотность кросс-корреляционной функции на нулевой частоте P12 для токов I1(t) и I2(t), текущих в контакты 1 и 2, соответственно . Нас интересует дробовой шум , поэтому расмотрим случай нулевых температур,когда тепловой шум отсутствует . Перепишем выражение( 6.27) следующим образом ,

	e2Ω	∞	2
		!	!	<S˜0,1γ S˜0,1δ=q	<S˜0,2γ S˜0,2δ=q		(9.17)
P12 =	4π	q=−∞ |q|	γ,δ=1			,

ˆ

и учтем , что квазистационарная матрица рассеяния ˜ для системы,

S0(t)

изображенной на рис. 9.1, есть

1Как возникает аргумент t − x/v смотри выражениеEq. ( 8.27a) и соответствующие вычисления .

2Напомним,что под дробовым шумом мы подразумеваем эффект,обусло вленный неделимостью носителей тока.Этот эффект проявляется как в флуктуациях тока,так и в кр осс-корреляторе токов.Ниже,помимо прочего,нас будет интересовать вопрос о возникновении коррел яций между частицами,поэтому мы сконцентрируемся на кросс-корреляторе токов.

268

где L$τ δ

9.2.Квантование дробового шума

U(t)

TC

I1(t)

I2(t)

Рис. 9.1.Регулируемый источник частиц соединен с одномерн ым киральным проводником,который посредством центрального квантовог о точечного кон - такта с коэффициентом прохождения TC соединен с другим одномерным киральным проводником.Стрелки указывают направление движе ния электронов.Индуцированный затвором потенциал U(t) вызывает протекание тока I(t), который расщепляется на два тока ,I1(t) и I2(t), текущие в контакты

	ˆ		eikF L11 S(t)rC eikF L12 tC
		(t) =			,	(9.18)
	S˜0
			eikF L21 S(t)tC	eikF L22 rC

– длина пути вдоль одномерного проводника от контакта δ до контакта γ, rC/tC – амплитуда отражения/прохождения для центрального КТК, S(t) – квазистационарная амплитуда рассеяния для РИЧ.Все величины вычисляются при E = µ0.

Подставляя элементы матрицы( 9.18) в выражение (9.17),после несложных вычислений получим,

	∞	<|Sq|2 + |S−q|2	= ,
	!			(9.19)
P12 = −P0	q=1 q

269

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

где
P0 = e2RC TC			Ω0		(9.20)
				.
			2π
Вычислим коэффициенты Фурье амплитуды рассеяния РИЧ,
T
Sq = ˆ	dt
		eiqΩ0t S(t) ,			(9.21)
	T
0
в интересующем нас режиме эмиссии отдельных волновых пакетов,
%τ - T .					(9.22)

Для этого заметим,что функция S(t) (9.8) постоянна , за исключением уз -

кой( %τ ) окрестности моментов времени t(07). Поэтому , только интегри - рование по этим малым интервалам времени существенно для вычисления выражения( 9.21).В таком случае можно формально расширить область

интегрирования,		0T →	−∞∞ , и вычислить получившийся интеграл , исполь -
зуя теорию	вычетов.Для чего необходимо замкнуть контур инт егрирования
		´	´	−∞∞	→
в плоскости комплексной переменной t,						, в верхней ,Imt > 0, для
q > 0, или в нижней ,Imt < 0, для q < 0,				´	¸
				полу - плоскости . Полученный кон -

турный интеграл вычисляется по формуле Коши(смотри,напри мер, [138]),

1 ˛

dt

!

fj(t)nj+1

=

!

t=t

,

(9.23)

Np

Np

1 dnjnfjj

@

@

2πi

j=1 (t − tpj)

j=1 nj! dt

@

pj

где tpj – полюс nj−го порядка, Np – число полюсов,охватываемых контуром интегрирования.

Функция S(t) (9.8) имеет полюса t(p−) = t(0−) + i%τ и t(+)p = t(+)0 − i%τ в верхней и нижней полу - плоскостях , соответственно . Такимобразом,ис-

пользуя формулу Коши,получаем:

270

9.2.Квантование дробового шума

	eiqΩ0t0(−)	,	q > 0 ,
Sq = −2Ω0%τ e−|q|Ω0
	$τ eiθr eiqΩ0t0(+)	,	q < 0 .	(9.24)

Подставляя полученное выражение в( 9.19) и выполняя суммирование в главном порядке по малому параметру , = Ω0%τ ,

∞	+	,
!q
q |Sq|2	= 1 + O ,2	,	(9.25)
=1

получим выражение,

P12 = −2 P0 ,

(9.26)

которое не зависит от параметров квантовой точки и,вообще г оворя,не зависит от формы потенциала,генерирующего квантованный пер еменный ток.

Если увеличить амплитуду U1 осциллирующего потенциала U(t) (9.1) так,чтобы,например, n электронов и n дырок эмитировались в течение периода,тогда величина коррелятора увеличится в n раз 3, P12 = −2nP0, смотри верхнюю сплошную(черную)кривую на рис. 9.5 в разделе 9.4. Следовательно,дробовой шум,создаваемый РИЧ,является кв антованным. Обратим внимание на то,что квант шума P0 (9.26) зависит от частоты Ω0 изменения потенциала и от вероятности прохождения TC электронов через центральный квантовый точечный контакт.Поэтому,хотя эффект квантования шума является довольно общим,но величина кванта не является универсальной и варьируется при изменении как параметров центрального КТК,так и частоты следования частиц.

3Авторы работы[ 136]рассмотрели генерирование импульсов тока в форме лоренциан а с помощью специально подобранного импульса напряжения,и показали,что резуль тирующий шум пропорционален числу генерируемых электронных и дырочных возбуждений.В этой же р аботе развита алгебра операторов,описывающих токовые импульсы в форме лоренциана с целым числом электронов или дырок.

271

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

9.2.1.Вероятностная интерпретация дробового шума

Кросс-коррелятор P12 (9.26) обусловлен дробовым шумом , создавае - мым одним электроном и одной дыркой,эмитированными в течен ие периода T = 2π/Ω0, при рассеянии на центральном точечном контакте . Причина возникновения дробового шума состоит в том,что при рассеян ии частица может либо отразиться от КТК и двигаться к первому контакту, либо протуннелировать сквозь КТК и двигаться ко второму контакту.При этом одна и та же частица не может вносить вклад как в ток I1, так и в ток I2, которые определяются как результат усреднения вкладов от большого количества частиц. 4 Следовательно,мгновенный ток в любом из контактов,обусло в- ленный прохождением(или не прохождением)одной частицы,б удет отличаться от среднего тока,то есть ток будет флуктуировать. [ 21].

Поскольку электрон и дырка эмитированы в различные моменты времени,то они не скоррелированы между собой и,потому,их вкла ды в корреляционную функцию аддитивны.Поскольку же симметрия между электронами и дырками не нарушена в рассматриваемой нами модели,то они вносят одинаковый вклад в шум,что и отражено множителем 2 в выражении (9.26). Для определенности мы рассмотрим электронный вклад,

(e)	= −P0 = −e2RCTC	Ω0		(9.27)
P12			.
		2π

Вклад обусловленный дырками может быть рассмотрен вполне аналогично.

Для того,чтобы дать физическую интерпретацию величины P(12e) мы введем некоторые вероятности,которые определяются как ре зультат усреднения по большому количеству периодов T, то есть повторяющихся рав - ноправных циклов.Во-первых,мы вводим одночастичную веро ятность Nα, которая определяет вероятность электрону попасть в контакт ( резервуар ) α = 1, 2 в течение периода T. Можно сказать , что это вероятность“зарегистрировать” электрон в контакте α. Учитывая , что РИЧ эмитирует только один электрон в течение периода,мы получаем для рассматрив аемой структуры,рис. 9.1, следующее :

4Фактически производится усреднение по большому количеству периодов T,для того,чтобы получить периодический во времени ток, Iα(t), α = 1 , 2.

272

9.2.Квантование дробового шума

N1 = RC , N2 = TC .

(9.28)

Во-вторых,мы вводим двухчастичную вероятность Nαβ, которая определя - ется как вероятность зарегистрировать одну частицу в контакте α и другую частицу в контакте β в течение одного периода T. 5 Поскольку в рассматриваемом случае эмитируется только один электрон за период, то очевидно , что

N12 = 0 .

(9.29)

И,наконец,мы вводим(кросс-)коррелятор,

δN12 = N12 − N1N2 .

(9.30)

Из выражений( 9.28) - (9.30) находим ,

δN12 = −RCTC .

(9.31)

Сравнивая это выражение с( 9.27) мы получаем соотношение ,

	P12	=	e2Ω0	δN12 .	(9.32)
			2π

связывающее между собой спектральную плотность кросскорреляционной функции токов на нулевой частоте P12 и коррелятор δN12, характеризующий статистику прохождения частиц через систему. Ниже мы покажем,что это соотношение остается в силе и тогда, когда имеются двухчастичные процессы, N12 =% 0, для чего необходимо присутствие , как минимум,двух источников частиц.

5Подчеркнем,что в этом определении не фиксируется должны ли ч астицы достичь контактов одновременно или нет.

273

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

UL(t) UR(t)

TL TR

Рис. 9.2.Схематическое изображение одноканального рассе ивателя,включающего два киральных одномерных кольца.Периодические во вре мени потенциалы UL(t) = UL(t + T) и UR(t) = UR(t + T) действуют на соответствующие кольца. Штриховые линии изображает квантовые точечные контакты с коэффициентами прохождения TL и TR. Стрелки показывают направление движения электронов

9.3.Двухчастичный источник

Два РИЧ,присоединенные к одному проводнику,рис. 9.2, могут вы - полнять роль двухчастичного источника.В зависимости от сд вига фаз между потенциалами UL(t) и UR(t), действующими на каждый из РИЧ , такой источник может эмитировать пары электронов(соответствен но,пары ды- рок),электрон-дырочные пары,либо одиночные частицы,эле ктроны и дырки. [44] Изменяя разность фаз между указанными потенциалами , можно из - менять моменты времени,когда частицы испускаются единичн ыми источниками,и тем самым переходить от одного режима эмиссии к дру гому.Для того,чтобы показать это,начнем с вычисления амплитуды рас сеяния.

9.3.1.Амплитуда рассеяния

Если оба РИЧ расположены на небольшом расстоянии LLR ≈ 0 друг от друга,то элементы матрицы рассеяния Флоке для всей струк туры могут быть вычислены так,

274

9.3.Двухчастичный источник

	∞
SF(2)(En, E) =	!	(9.33)
	SR,F (En, Em)SL,F (Em, E) ,

m=−∞

где Sj,F (En, E) – элемент матрицы рассеяния Флоке для РИЧ j = L, R. Вводя амплитуду Sin(2)(t, E), чьи коэффициенты Фурье определяют элементы матрицы рассеяния Флоке,

T	dt
SF(2)(En, E) = ˆ
		einΩ0tSin(2)(t, E) ,	(9.34)
	T
0

и,используя выражение( 8.21) для амплитуды рассеяния РИЧ , получим

	∞		∞
	!p		!
Sin(2)	(t, E) =	eipkLRSR(p)	(t) eirkLL SL(r)(t − pτ) ,	(9.35)
	=0		r=0

где Lj – длина кольца РИЧ j = L, R.

9.3.2.Адиабатическое приближение
В пределе низких частот ,Ω0 → 0, имеем ,
Sj,F (En, E) = Sj,n(E) +	!Ω0n ∂Sj,n(E)			+ O +Ω02, ,	(9.36)
	2		∂E

где Sj,n(E) – коэффициент Фурье квазистационарной амплитуды рассеяния одиночного РИЧ.Для системы двух РИЧ аналогичное разложени е записы - вается следующим образом,

(2)	(En, E) = Sn(2)(E) +	!Ω0n ∂Sn(2)(E)				+ !Ω0An(E) + O +Ω02, ,	(9.37)
SF
		2		∂E

где Sn(2) – коэффициент Фурье квазистационарной амплитуды рассеяния всей системы,

275

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

S(2)(t, E) = SR(t, E)SL(t, E) .

(9.38)

Для амплитуды Sin(2)(t, E), смотри (9.34),адиабатическое разложение записывается так,

	Sin(2)(t, E) = S(2)(t, E) +	i!		∂2S(2)(t, E)		+ !Ω0 A(t, E) .	(9.39)
		2 ∂t∂E

Для нахождения аномальной амплитуды рассеяния A(t, E) мы подставим выражение( 9.36) в выражение (9.33) и после обратного преобразова - ния Фурье,получим

Sin(2)(t, E) = SR(t, E) SL(t, E) + i!

i!

∂2SR

+

6SL

+ SR

2

∂t∂E

Сравнивая( 9.39) и (9.40),находим

i! ∂SL ∂SR

∂SL

!Ω0 A(t, E) =

6

−

2

∂t ∂E

∂E

∂SL ∂SR

∂t ∂E

∂2SL 7 .

∂t∂E

∂SR 7 .

∂t

(9.40)

(9.41)

Обратим внимание на то,что при инверсии направления движен ия величина A(t, E) изменяет знак.

9.3.2.1.Зависящий от времени ток

Вычисления,аналогичные приведенным в разделе 4.1.3, дают такое выражение для тока с учетом членов Ω20:

276

9.3.Двухчастичный источник

0

-

.

-

.

-

.

e

∞

∂f

88 S(2)

∂

S(2)

∂S(2)

I(2)(t) =

ˆ

dE

−

0

+ 2!Ω08

A

2π

∂E

∂t

∂t

∂

-

!

S(2) ∂S(2)

− i!Ω0 S(2)A .9.

+

∂

(9.42)

∂t

2

∂E

∂t

Используя( 9.38) и (9.41) находим ,

∞

dE -−

∂f

<

=

0

I(2)(t) = e2

ˆ

0

. J(2,1)(t, E) + J(2,2)(t, E)

.

(9.43a)

∂E

J(2,1)(t, E) = νL(t, E)

dUL(t)

+ νR(t, E)

dUR(t)

,

(9.43b)

dt

dt

h ∂

dUL

dUR

dUL

J(2,2)(t, E) = −

<νL2

+ νR2

+ 2νL νR

=,

(9.43c)

2

∂t

dt

dt

dt

где νj(t, E) – квазистационарная плотность состояний для источника j =

L, R.

9.3.3.Средний квадрат тока

Для того,чтобы различить режимы эмиссии необходимо проана лизировать сколько и каких импульсов тока генерирует система двух РИЧ.Это можно сделать,например,анализируя непосредственно зави симость I(t).

Более простой и практичный способ[ 44] заключается в том , чтобы изме - рять средний квадрата тока,

0 1		T	dt	)	*
		0
I2	=	ˆ	T	I(2)(t)	,	(9.44)

277

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

что может быть выполнено с помощью усреднения экспериментальных данных за длительный период времени.

Вычисляя в главном порядке по Ω0, следует ограничиться только сла - гаемым J(2,1) в выражении (9.43),что соответствует первому слагаемому в правой части выражения( 9.42).Для последующего анализа удобно выра-

зить средний квадрат тока через Фурье коэффициенты S0(2),q квазистационарной матрицы рассеяния.По аналогии с( 8.17) получим ,

2

e2Ω02

!

2

@

(2)

@

@

(2)

@

2

∞

@

2

@

@

@

0I 1 =

4π2

q=1 q

6 Sq

+

S−q

7 .

(9.45)

@

@

@

@

При вычисления коэффициентов Фурье,

T	dt
Sq(2) = ˆ
		eiqΩ0tSL(t) SR(t) ,	(9.46)
	T
0

поступим также,как мы поступили при вычислении выражения( 9.24).Для амплитуд рассеяния Sj(t) мы используем выражение( 9.8),в котором ниж-

ними индексами L и R отметим величины θrj, %τj и t(07j ), относящиеся к источ - нику j = L , R. Предположим , что каждый источник эмитирует один элек - трон и одну дырку в течение периода.Тогда функции Sj(t) при 0 < t < T

имеют по одному полюсу, t(pj−) = t(0−j )

t(+)pj = t(+)0j − i%τj, в нижней полу - Поэтому,находим

	*	SL,q
SR )tpL(−)

+ i%τj, в верхней и по одному полюсу , плоскостях комплексной переменнойt.

)*

+SL t(pR−) SR,q , q > 0 ,

	Sq(2) =			SR )tpL(+)*	SL,q + SL )tpR(+)*		(	)	(9.47)
							7
							SR,q , q < 0 .
Величины	Sj,q	приведены в выражении(				9.24),в котором θr, %τ и t0			заме-

нены на θrj, %τj и t(07j ), соответственно .

278

9.3.Двухчастичный источник

Квадрат коэффициента Фурье равен,

@Sq(2)

@2

=

@SR )tpL(χ)

*@2 |SL,q|2

+

@SL )tpR(χ)

*@2

|SR,q|2 + ξq(χ) ,

@

@

@

@

@

@

(9.48)

@

(χ@)

=

@

@(χ)

@

(χ)

*

@

= ,

ξq

2:

<SR )tpL

* SL,q SL

)tpR

SR,q

где χ = − для q > 0 и χ = + для q < 0.

Последующие вычисления существенно зависят от режима эмиссии, то есть от того эмитируются ли частицы двумя РИЧ одновременно,или в различные моменты времени.Для характеристики режима эмис сии введем следующие разности времен эмиссии,

(χ,χ!)	(χ)	(χ!)	,	(9.49)
tL,R	= t0L	− t0R

где χ = 7 и χ) = 7 в зависимости от того , какая частица , электрон или дырка,эмитируется соответствующим РИЧ.Режимы эмиссии от личаются

соотношением между t(L,Rχ,χ!) и длительностью импульсов тока %τL, %τR.

9.3.3.1.Режим эмиссии отдельных частиц

Предположим,что все частицы эмитируются в различные момен ты времени,

@	tL,R(χ,χ!)	@	( %τL, %τR .	(9.50)
@		@
@		@

В таком случае в момент времени , когда один источник испускает частицу, амплитуда рассеяния другого источника постоянна,

)*

Sj	t(χ¯)	= eiθrj ,	(9.51)
	0j

где ¯. Из выражения (9.48) находим : j =% j

279

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

(2)

2

2 2 2

q

Ω

$

2

2

q

Ω

$

=

(χ)

,

@S0,q

@

= 4 Ω0 <%τL e−

| |

0

τL

+ %τR e−

| |

0

τR

+ ξq

@

@

(9.52)

@

(χ@)

2

q

Ω

($

+$

)

cos )qΩ0

(χ,χ)

ξq

= 8 Ω0 %τL%τR e−| |

0

τL

τR

tL,R * .

Далее подставим это выражение в( 9.45) и просуммируем по q. При этом удобно ввести следующие величины,

!q

−

1

∞

e−2Ω0$τj

A1,j

=

e−2qΩ0

$τj =

1 e−2Ω0$τj

=

2Ω0%τj

+ O(1) ,

(9.53)

=1

!q

−

A2

=

∞

e−qΩ0

$τΣ cos(qΩ0

t) =

(−1)

cos(Ω0

t) − e−Ω0

$τΣ

=1

2

cos(Ω0

t)

cosh(Ω0%τΣ)

t($τ

1

(9.54)

=

−

2

+ O(Ω0%τΣ) ,

∞

−

!q

A3

=

e−qΩ0$τΣ sin(qΩ0

t) =

(−1)

sin(Ω0 t)

=1

2

cos(Ω0

t)

cosh(Ω0%τΣ)

t=($τ

1

ctg -

Ω0 t

. + O(Ω0%τΣ) .

(9.55)

2

2

где %τΣ = %τL + %τR и

t =

t(χ,χ). Тогда , суммы , получающиеся в выраже -

L,R

нии( 9.45),могут быть получены из вышеприведенных величин путем дву - кратного дифференцирования по %τj. Очевидно , что при выполнении усло -

вия t(Lχ.R,χ) ( %τj, что согласуется с (9.50),в главном порядке по Ω0%τj - 1 можно пренебречь вкладом слагаемого ξq(χ) в (9.52).Поэтому,используем

∞		1			∂2A1,j	1
!q	$τj
		= 4Ω2			∂%2	≈ 4Ω3%3 ,
q2e−2qΩ0
=1		0			τj	0		τj

280

9.3.Двухчастичный источник

и получаем из (9.45)

	e2	1		1
T 0I21 =		-		+		. .	(9.56)
	π		%τL		%τR

Сравнивая полученное выражение с аналогичным результатом для единичного источника( 9.14),делаем вывод,что,если частицы испускаются в различные моменты времени,то вклады обоих источников в средний квадрат тока 0I21 аддитивны.Заметим,что в силу соотношения( 8.20) это же утверждение верно и относительно величины генерируемого потока теп - ла.

9.3.3.2.Режим поглощения эмитированных частиц

Пусть один из источников эмитирует электрон(дырку)в тот же момент времени,когда второй источник эмитирует дырку(электрон) . Естественно ожидать,что структура целиком не генерирует поток частиц( генерируемый ток равен нулю),поскольку частица,эмитированная левым ис точником на рис. 9.2, фактически , поглощается правым источником

Итак,мы полагаем,что выполняются такие условия

@

@(+,−)

@tL,R

@

@(−,−)

@tL,R

@		@		@
@,		@	tL,R(−,+)@		"
@		@		@
@	,	@	(+,+)@		(
@		@	tL,R	@
@		@		@

%τL, %τR ,

(9.57)

%τL, %τR .

В этом случае величина ξq(χ) в (9.48) также не влияет на результат суммиро -

вания в( 9.45),поскольку она зависит от разности t(1χ,2,χ), которая по усло - вию( 9.57) превышает %τj. Дополнительные величины , которые необходимы для вычисления квадрата Фурье коэффициента( 9.48),такие

(

−

)

= e

iθrL

tL,R(+,−)+i($τL−$τR)

(+)

iθrL

tL,R(−,+)−i($τL−$τR)

S

t

(+,−)

−i($τL+$τR)

, S

t

= e

(−,+)

+i($τL+$τR)

,

L ) pR

*

tL,R

L ) pR

*

tL,R

281

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

( )

iθrR

tL,R(−,+)+i($τL−$τR)

(+)

*

iθrR

tL,R(+,−)−i($τL−$τR)

SR )tpL−

*

= e

tL,R(−,+)+i($τL+$τR)

,

SR )tpL

= e

tL,R(+,−)−i($τL+$τR)

.

После возведения в квадрат получим

@

@

2

@

@

2

=

= γ )

tL,R(+,−)*

,

@SL )tpR(−)*@

@SR )tpL(+)*@

@

@

2

@

@

2

tL,R(−,+)*

@

@

@

@

=

= γ )

,

@SL )tpR(+)*@

@SR )tpL(−)*@

@

@

@

@

где

	γ( t) =	(	t)2 + ( %τL − %τR)2	.	(9.58)
		(
			t)2 + ( %τL + %τR)2

Замечательно,что γ( t) не зависит от q. Следовательно , все фотон - индуцированные вероятности уменьшены в одинаковое число раз %( t). Та - ким образом,без дальнейших вычислений можно записать отве т,используя выражение( 9.56),в таком виде,

	e2	1		1		<	)	*
T0I21 =	2π	-	%τL	+	%τR	. γ		tL,R(−,+)

)	t(+,−)	*=
+ γ		. (9.59)
	L,R

В случае одинаковых источников ,%τL = %τR, испускающих частицы

синхронно, t(L,R−,+) = t(+L,R,−) = 0, средний квадрат тока равен нулю . По - этому,можно сказать,что в этом случае правый источник погл ощает все,

что было испущено левым источником.

9.3.3.3.Режим двухчастичной эмиссии

Положим,что два электрона и/или две дырки испускаются исто чниками в близкие моменты времени,

282

9.3.Двухчастичный источник

@		@		@		@	" %τL, %τR
@	tL,R(−,−)@,			@	tL,R(+,+)@
@		@		@	(+,	@
@	( ,+)@		,	@		)@	( %τL, %τR
@	tL,R−	@		@	tL,R−	@
@		@		@		@

,

(9.60)

.

В соответствие с принципом запрета Паули две одинаковые частицы не могут находиться в одинаковом состоянии.Следовательно,вто рая частица

должна иметь энергию большую,чем первая.Точнее сказать,п	ара элек-
тронов(пара дырок)имеет энергию больше,чем сумма энергий	двух неза-
висимо эмитированных электронов(дырок).Поэтому,теплов ой поток IE в

рассматриваемом режиме увеличивается,а вместе с ним,в сил у выражения (8.20),увеличивается и средний квадрат тока.Покажем это непоср едственными вычислениями.

Для вычисления коэффициентов Фурье,входящих в( 9.45),заметим,что при выполнении условий( 9.60) оба полюса функции S(2)(t) = SL(t)SR(t) в одной полу - плоскости комплексной переменнойt приближаются друг к другу,что существенно изменяет вычисления.Так величины A2 (9.54) и A3 (9.55),которыми мы ранее пренебрегали,становятся одного порядка с величиной A1,j (9.53).Следовательно,становится существенным

вклад величины ξq(χ) в (9.48).При выполнении условий( 9.60) произведение Ω0 t(L,Rχ,χ) - 1, поэтому , мы получаем :

A2 =

Ω0(%τL + %τR)

+ O(1) ,

(9.61a)

Ω0

t(χ,χ)

*

2

+ Ω02(%τL + %τR)2

)

L,R

(α,α)

A3 =

Ω0

tL,R

+ O(1) .

(9.61b)

)Ω0

tL,R(χ,χ)*2

+ Ω02 (%τL + %τR)2

Для вычислений нам понадобятся значения следующих величин,

(

)

*

iθrL

tL,R(−,−)−i($τL+$τR)

(+)

iθrL

tL,R(+,+)+i($τL+$τR)

S

t

−

= e

(−,−)

+i($τL−$τR)

, S

t

= e

(+,+)

−i($τL−$τR)

,

L ) pR

tL,R

L ) pR

*

tL,R

283

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

(

)

iθrR

tL,R(−,−)+i($τL+$τR)

(+)

iθrR

tL,R(+,+)−i($τL+$τR)

S

t

−

= e

(−,−)

, S

t

*

= e

(+,+)

,

R ) pL *

tL,R

+i($τL−$τR)

R )2pL

tL,R −i($τL−$τR)

(

)

*

(

−

)

*

i(θrR

θrL)

(

tL,R(−,−))

−($τL+$τR)2+2i

tL,R(−,−)($τL+$τR)

SR

t

−

S

t

= e

−

(

2

,

) pL

L ) pR

tL,R(+,+))2

tL,R(−,−)) +($τL−$τR)2

(+)

(+)

i(θrR

θrL)

(

−($τL+$τR)2−2i

tL,R(+,+)($τL+$τR)

SR

t

*

S

t

= e

−

(

2

,

) pL

L ) pR *

tL,R(−,−)) +($τL−$τR)2

и квадраты некоторых величин ,

@

@

2

@

@

2

= )

t(−,−) 2 + ( %τL + %τR)2

SL

tpR(−)

=

SR

tpL(−)

L,R

)

*2

−

,

(9.62)

(

,

@

)

@

@

)

@

)

*

@

*@

@

*@

tL,R− −

+ ( %τL

%τR)2

2

2

t(+,+) 2 + ( %

+ %

τR

)2

@

@

@

@

L,R

τL

SL

tpR(+)

=

SR

tpL(+)

= )

(+,+)

*2

−

.

(9.63)

@

)

@

@

)

@

)

*

@

*@

@

*@

tL,R

+ ( %τL

%τR)2

В выражении (9.45) необходимо вычислить следующую сумму :

∞

@

@

2

!

q2

= Φ1 + Φ2 ,

(9.64a)

q=1

@Sq(2)@

где

@

@

@

@

2

∞

<|SL,q|2 + |SR,q|2

= =

@

2

!

@

Φ1 =

@SL )tpR(−)*@

q=1 q2

@SL )tpR(−)*@

@

@

)

(−,−) 2

@

@

(9.64b)

∂2A1,j

+ ( %τL + %τR)

2

tL,R

1

1

1

×j=L,R %τ2j

=

*

6

+

7

,

∂%τ2j

)

t(−,−) 2

+ ( %τL

−

%τR)2 Ω0

%τL

%τR

!

L,R

*

284

9.3.Двухчастичный источник

и

"

"

(

)

( )

(

)

* SR,q=

∞

∞

Φ2 = q=1 q2ξq−

= 2 q=1 q2:<SR )tpL−

* SL,q SL )tpR−

=

8Ω02$τL$τR

6

( tL,R(−,−))2

−($τL+$τR)2

∂2A2

−

2

tL,R(−,−)($τL+$τR) ∂2A3

7

,

( tL,R(−,−))2

+($τL−$τR)2

Ω02

∂$τ2L

Ω02

∂$τ2L

(9.64c)

Из( 9.61) находим ,

∂A2

=

( tL,R(χ,χ))2

−($τL+$τR)2

,

∂A3

=

−2

tL,R(χ,χ)($τL+$τR)

,

2

+($τL+$τR)2*

2

∂$τL

Ω0)( tL,R(χ,χ))2

+($τL+$τR)2*

∂$τL

Ω0)(

tL,R(χ,χ))2

∂2A2

−

2($τL+$τR)

3(

tL,R(χ,χ))2

−$τ2Σ

∂2A3

−2

tL,R(χ,χ)

(

tL,R(χ,χ))2

3$τ2

Σ

=

Ω0)(

)

3

*

,

=

)

−

3

*

,

∂$2

(χ,χ)

)

2

∂$2

(χ,χ)

2

τL

tL,R

+$τ2Σ*

τL

Ω0)( tL,R

) +$τ2Σ*

Подставляя полученные выражения в( 9.64c),находим

Φ2 =

8%τL%τRΠ

,

-)

2

2

3

где

Ω0

tL,R(−,−)*

+ ( %τL − %τR)2.-)

tL,R(−,−)* + %τ2Σ.

Π = −2%τΣ8-)

2

tL,R(−,−)*

2

tL,R(−,−)*

− %τ2Σ.-3 )

− %τ2Σ.

2

−2 )

2

-)

tL,R(−,−)*

2

Σ.9

= −2%τΣ

-) tL,R(−,−)*

2

Σ. .

tL,R(−,−)*

− 3%τ2

+ %τ2

После несложных упрощений,найдем

285

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

Φ2 =		-)	tL,R(−,−)*2	−16%τL%τR(%τL + %τR)		+ ( %τL + %τR)2.	.
	Ω0			+ ( %τL − %τR)2.-)	tL,R(−,−)*2

(9.65)

Далее,подставим выражения( 9.64b) и (9.65) в выражение (9.64a) и полу - чим

q

S,q

=

($τL+$τR)6

)

2

*

2

2

∞

2

(2) 2

( tL,R(−,−))2

+($τL+$τR)2

−16$τ2L$τ2R7

"

@

@

)

*)

*

q=1

@

@

Ω0$τL$τR (

tL,R(−,−)) +($τL−$τR)2 (

tL,R(−,−)) +($τL+$τR)2

Ω0$τL$τR

(

tL,R ) +$τΣ

0

)

* <

−

)

*=

$τΣ

@

(−@,−)

2

2

(

tL,R

)

+$τΣ+4$τL$τR

1

1

1

( ,

)

=

)

)

(−,−) 2 2

*

=

+

2

γ

tL,R− −

,

Ω

$τL

$τR

*

9.58).Оставшаяся сумма

∞

2

@

(2)

@

2

где γ( t) определена в выражении( ,(

)

(+,+)

q=1 q

@S−q

@

дает такой же результат,но с

− −

замененной на

t1,2 .

Итак , выраже -

t1,2

"

@

@

ние( 9.45) приводит к такому значению для среднего квадрата тока ,

	e2	1		1			<	)	*
T0I21 =		-		+		.		4 − γ	tL,R(−,−)
	2π		%τL		%τR

)	*=
− γ	tL,R(+,+) .	(9.66)

В случае одинаковых источников ,%τL = %τR, работающих синхронно ,

t(L,R−,−) = t(+L,R,+) = 0, средний квадрат тока и , соответственно , генерируе - мый поток тепла в два раза больше,чем в режиме эмиссии отдель ных частиц,сравни с( 9.56).

Объединяя выражение( 9.59) с выражением (9.66),

286

9.3.Двухчастичный источник

T0I21 =		e2	-	1	1		.62 + γ )		tL,R(−,+)* + γ )	tL,R(+,−)*
					+
		2π		%τL		%τR
	−γ )			tL,R(−,−)* − γ )				tL,R(+,+)* 7.		(9.67)

получим выражение,описывающее все рассмотренные режимы. [44] На - помним,что мы вычисляем величины в главном порядке по Ω0%τj - 1. По - правки возникают,во-первых,от вклада в ток J(2,2) в (9.43) более высокого порядка по Ω0 и от приближений , которые мы сделали , вычисляя коэффи - циенты Фурье в( 9.46).

9.3.4.Дробовой шум двухчастичного источника

Пусть линейный киральный проводник с двухчастичным источником соединен с другим линейным киральным проводником посредством центрального КТК с коэффициентом прохождения TC, рис .9.3. Рассмотрим как дробовой шум,обусловленный расщеплением потока части ц на цен - тральном КТК,влияет на кросс-коррелятор токов для различн ых режимов эмиссии.

По аналогии со случаем единичного РИЧ,смотри( 9.19),имеем:

!

@

@

2

@

@

2

∞

@

@

@

@

P12 = −P0

q=1 q

6

@

Sq(2)

@

+

@

S−(2)q

@

7 .

(9.68a)

Учтем,что S(2) = SLSR и получим ,

@

!

@

@

2

@

2

∞

@

@

@

@

P12 = −P0

q=1 q

6 (SLSR)q

@

+

@

(SLSR)−q

@

7 .

(9.68b)

@

Вычисляя это выражение,мы поступим аналогично тому,что мы

делали в

разделе 9.3.3.

287

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

UL(t) UR(t)

TC

I1(t)

I2(t)

Рис. 9.3.Два регулируемых источника частиц соединены с общ им одномерным киральным проводником,который посредством центрального квантового точечного контакта с коэффициентом прохождения TC соединен с другим одномерным киральным проводником.Стрелки указывают направление дви жения электронов. Осциллирующие потенциалы UL(t) и UR(t), индуцированные соответственными затворами,совместно генерируют ток I(t), который расщепляется на два тока ,I1(t) и I2(t), текущих в контакты

9.3.4.1.Режим эмиссии отдельных частиц

Если все частицы испускаются в различные моменты времени,с мотри (9.50),тогда мы можем пренебречь вкладом величины ξq(χ) в (9.52).Используя следующую сумму(в главном порядке по Ω0%τj - 1),

∞
!q			−1		∂A1,j		1
qe−2qΩ0	$τj =					≈		,
=1			2Ω0 ∂%τj				4Ω02%τ2j
(смотри( 9.53) для A1,j) мы получим ,
	P12	= −4 P0 ,						(9.69)

Эта величина состоит из независимых вкладов четырех частиц (двух электронов и двух дырок)эмитированных обоими источниками в теч ение одного периода T = 2π/Ω0.

288

9.3.Двухчастичный источник

9.3.4.2.Режим поглощения эмитированных частиц

При выполнении условий( 9.57) все фотон - индуцированный вероятно - сти уменьшены в одинаковое число раз,смотри( 9.58).Поэтому,вместо выражения( 9.69) мы получаем следующее ,

P12 = −2 P0

<γ ) tL,R(−,+)*

)	*=
+ γ	t(+,−) .	(9.70)
	L,R

Если электрон и дырка эмитированы одновременно,то как крос с-

коррелятор токов P12 (9.70),так и средний квадрат тока	I2 (9.59) умень -
режиме эми ссии
шены.Однако их отношение остается таким же как и вI	J

отдельных частиц.

9.3.4.3.Режим двухчастичной эмиссии

Ниже мы покажем,что дробовой шум не изменяется в том случае, когда два электрона(две дырки)эмитированы одновременно,см отри( 9.60). Это означает,что пара частиц рассеивается на центральном К ТК как две независимые частицы,несмотря на повышенную энергию.Поэт ому,частицы,составляющие пару,нескоррелированы.

Для того,чтобы вычислить выражение( 9.68) мы используем выраже - ния( 9.48), (9.61), (9.62) и вычислим следующую сумму ,

∞	@	@	2
!			= F1 + F2 ,	(9.71a)
q=1 q	@Sq(2)	@
	@	@

где

289

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

		@	@	2	∞	<|SL,q|2 + |SR,q|2=		@	@	2
					!
F1	=	@SL )tpR(−)	*@		q=1 q		= −2Ω0	@SL )tpR(−)	*@
		@	@					@	@	(9.71b)

		∂A1,j			(−,−) 2		+ ( %τL + %τR)	2
×	%τ2j		= 2	)	tL,R	*			,
		∂%			( , )	2	−
=L,R		τj	)		− −	*		2
j!					tL,R		+ ( %τL %τR)

и

F2 = ∞ qξq(−) = 8 Ω2%τL%τR
=1		0
	*	)	*	"
)
q"	( )		( )	∞		(−,−)
×:8SR	tpL−	SL	tpR−	ei(θrL−θrR) q=1 qe−qΩ0	$τΣ eiqΩ0	tL,R

7 (9.71c)

.

)* ) *

Используя произведение SR

t(−)

S

t(−) , приведенное перед (9.62),по-

лучим

pL

L

pR

"

)

*

−

8

8Ω2$

τL

$

τR

( ,

)

∞

( ,

)

0

−

−

%τΣ q=1 qe−

qΩ0$τΣ

−

−

F2 =

( tL,R(−,−))2

+($τL

$τR)2

− 2

tL,R

sin

qΩ0 tL,R

-)

( ,

)

*

2

.

"

)

( ,

*

9.

∞

)

+

tL,R− −

− %τ2Σ

q=1 qe−qΩ0$τΣ cos

qΩ0 tL,R− −

Затем перепишем его,используя выражения( 9.54) и (9.55):

8Ω02$τL$τR

6

2 tL,R(−,−)$τΣ ∂A3

(

tL,R(−,−))2

−$τ2Σ ∂A2

F2 =

−

7 .

( tL,R(−,−))2

+($τL−$τR)2

Ω0

∂$τL

Ω0

∂$τL

Для рассматриваемого

режима

значения

производных

∂A2/∂%τL и

∂A3/∂%τL приведены после( 9.64).Используя эти значения,находим

290

9.4.Мезоскопический электронный коллайдер

F2 =

)

*

2

=

−

2

.

(−8$τL$τR)6(2 tL,R(−,−)$τΣ)2

+ (

tL,R(−,−))2

−$τ2Σ

7

8$τL$τR

<( tL,R(−,−))2

+($τL−$τR)2

=)(

tL,R(−,−))2

+$τ2Σ*

(

tL,R(−,−)) +($τL−$τR)2

2

Затем,подставляя вышеприведенное выражение и выражение( 9.71b) в (9.71a),получаем:

∞

@

(2)

@

2

2(

tL,R(−,−))2

+2($τL+$τR)2−8$τL$τR

( tL,R(−,−))2

+($τL−$τR)2

"

= 2

= 2 .

q

@

Sq

@

=

(−,−) 2

(−,−) 2

q=1

@

@

( tL,R ) +($τL−$τR)2

( tL,R ) +($τL−$τR)2

Точно

такой

же

результат получается

для

отрицательных

гармоник,

"q∞=1 q

@

@

= 2. Итак , выражение (9.68) дает ,PLR = −4P0, что полно -

@S−(2)q

@2

@

@

стью совпадает с результатом( 9.69) для режима , когда частицы эмитиро - ваны в различные моменты времени.

Заметим,что выражение( 9.70) дает ответ , справедливый для всех рас - сматриваемых режимов.

9.4.Мезоскопический электронный коллайдер

Рассмотрим устройство,схема которого представлена на рис . 9.4, где два РИЧ расположены по разные стороны от центрального КТК.Ч астицы,эмитированные различными источниками,являются не ско ррелированными и,поэтому,вносят аддитивный вклад в дробовой шум.Одн ако,если источники эмитируют электроны(дырки)одновременно,то гда частицы столкнутся в центральном КТК и,в силу принципа Паули,будут рассеяны в различные проводники , то есть частицы будут рассеиватьсяскоррелировано.Если,например,один электрон отразиться от КТК и буде т двигаться по направлению в контакту 1, то второй электрон тоже отразится от КТК , но будет двигаться по направлению к контакту 2. И наоборот , если первый электрон протуннелирует сквозь КТК,то и второй электрон та кже протуннелирует сквозь КТК.Следовательно,при синхронной эмисси и электронов

291

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

	UL(t)
I1(t)	TC	I2(t)

UR(t)

Рис. 9.4.Два источника частиц соединены с одномерными кира льными проводниками,которые соединены между собой посредством централ ьного квантового точечного контакта с коэффициентом прохождения TC. Стрелки показывают на - правление движения электронов.Потенциалы UL(t) и UR(t), индуцированные со - ответственными затворами,генерируют токи I1(t) и I2(t), текущие в контакты

(дырок)система целиком(включающая два источника и центра льный КТК) представляет собой двухчастичный источник,эмитирующий ч астицы в направлении контактов 1 и 2.

Таким образом,изменяя разность фаз между потенциалами UL(t) и UR(t) и тем самым , изменяя моменты времени , когда эмитируются частицы,можно изменять статистику частиц,эмитируемых в течени е одного пе - риода,с классической(статистически независимые частицы ) на квантовую (фермионную)

292

9.4.Мезоскопический электронный коллайдер

9.4.1.Эффект подавление дробового шума

ˆ

Квазистационарная матрица рассеяния ˜ для мезоскопического

S0(t)

устройства,представленного на рис. 9.4, есть

	ˆ	eikF L11 SL(t)rC eikF L12 SR(t)tC
				,	(9.72)
	S˜0(t) =
		eikF L21 SL(t)tC	eikF L22 SR(t)rC

где Sj(t) – квазистационарная амплитуда рассеяния для источника j = L, R. Остальные величины теже , что и в выражении (9.18).Используя эта матрицу рассеяния,получим из выражения( 9.17) следующее ,

	∞	<|(SLSR)q|2 + |(SLSR)−q|2	= .
	!			(9.73)
P12 = −P0	q=1 q

Сравнивая полученное выражение с( 9.68b),видим,что разница состоит лишь в замене SL → SL. Как следует из выражения (9.8),замена амплитуды рассеяния на комплексно сопряженную с математической точки зрения соответствует перемещению полюса из одной полу-плоскости в другую , а с физической точки зрения соответствует изменению типа эмитируемой частицы,то есть соответствует замене электрон →дырка и наоборот.Следовательно,мы можем непосредственно использовать результаты раздела 9.3.4,

если заменим t(L,R−,−) → t(+L,R,−) и т . п .

Так,если оба источника эмитируют частицы в различные момен ты времени,смотри( 9.69),то

P12 = −4P0 ,

(9.74)

что обусловлено независимым вкладом четырех частиц,эмити рованных в течение периода.Если же оба источника эмитируют синхронно электрон и дырку,то это не сказывается на величине дробового шума,сра вни с разделом 9.3.4.3. Электрон и дырка имеют различные энергии 6 и,поэтому,

6Электрон имеет энергию больше,чем энергия Ферми,а дырка име ет энергию меньше,чем µ0. Последнее не противоречит тому факту,что вклад дырки в тепловой поток положителен,смотри( 9.15).Поскольку тепловая энергия определена как дополнительная энергия,получаемая ре зервуаром при фиксированном химическом потенциале.Для того,чтобы сохранить химпотенциал неизменным, после того как дырка попала в резервуар, необходимо в резервуар добавить один равновесный электрон,т о есть , электрон с энергиейµ0.

293

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

не подвержены принципу запрета Паули,что позволяет им расс еиваться в центральном КТК независимо друг от друга.Напротив,если дв а электро -

на(две дырки),эмитируются синхронно, tL,R(−,−)	= t0(−L) − t0(−R) " %τL, %τR
( tL,R(+,+) = t0(+)L − t0(+)R " %τL, %τR),то дробовой шум уменьшается, [ 121]
P12 = P12(e) + P12(h) ,	(9.75a)

где электронный P(e) и дырочный P(h) вклады есть

12

*

12

(e)

)

( ,

0L

0R

τΣ

)

1

4%τL%τR

P12

=

−

2P0%τ

tL,R− −

=

−

2P0

)

−

2

*

t(−)

t(−)

+ %2

)

*

−

(h)

0L

0R

τΣ

P12

=

−

2P0%τ

tL,R

=

−

2P0

−

t(+)

t(+)

+ %2

1

)

−

*

2

,

.

(9.75b)

(9.75c)

Мы представили шум в виде суммы электронного и дырочного вкладов,поскольку эти вклады независимы(аддитивны).

Когда разности t(L,Rχ,χ) превышают длительность импульсов тока,то, как мы уже неоднократно говорили,оба источника вносят адди тивный вклад в шум,рис. 9.5, нижняя сплошная ( зеленая ) кривая . В этом случае выражение( 9.75) переходит в выражение (9.74).Если же эмитированный электроны сталкиваются(то есть,их волновые пакеты перекр ываются)в

центральном КТК, t(L−.R,−) %τL + %τR и/или t(+L.R,+) %τL + %τR, то возни - кают корреляции между электронами и/или дырками и,как следствие этого,

дробовой шум уменьшается.В случае полного перекрытия волн овых паке-

тов, t(χ,χ)	= 0 и %τL = %τR, дробовой шум уменьшается до нуля ,
L,R
	P(e)	= 0 ,	t(−)	= t(−) ,	(9.76a)
	12		0L	0R
	P(h)	= 0 ,	t(+)	= t(+) .	(9.76b)
	12		0L	0R

На рис. 9.5 пунктирная(красная)кривая показывает кросскоррелятор токов,генерируемых двумя идентичными источни ками,в

294

			9.4.Мезоскопический электронный коллайдер
)	0
0
(P
12	−2
P
	−4
	−6
	0.0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2
				eUL,1 (	)

Рис. 9.5.Зависимость дробового шума P12 (9.73) от амплитуды UL,1 потенциала UL(t) = UL,0 + UL,1 cos(Ω0t + ϕL) действующего на левый источник частиц, смотри рис. 9.4. Верхняя сплошная ( черная ) кривая соответствует случаю ,огдак правый источник стационарен и не эмитирует частицы.Нижняя сплошная(зеленая)кривая соответствует случаю,когда на правый источник действует потенциал

UR(t) = UR,0 + UR,1 cos(Ω0t + ϕR) сдвинутый по фазе на пол-периода, ϕR = π, от - носительно потенциала UL(t). Пунктирная ( красная ) линия соответствует случаю ,

когда на правый источник действует потенциал UR(t) синхронно с потенциалом UL(t), ϕR = 0. Остальные параметры такие :eUL,0 = eUR,0 = 0.25 R ( L = R), eUR,1 = 0.5 R, ϕL = 0, TL = TR = 0.1

зависимости от амплитуды UL,1 потенциала UL(t), действующего на левый источник в схеме рис. 9.4. Если UL,1 =% UR,1, то источники эмитируют части - цы в различные моменты времени и их вклад в дробовой шум аддитивный. Однако,когда eUL,1 приближается к eUR,1 = 0.5 R, тогда разность времен

эмиссии t(L,Rχ,χ) → 0, что приводит к подавлению дробового шума . Следует заметить,что в противоположность ситуации,рассм отренной

в разделе 9.3.4.2, где шум уменьшался вместе с током , в рассматривае - мом здесь случае уменьшение шума не сопровождается уменьшением тока, I1(t) %= 0, I2(t) %= 0. Поэтому , можно заключить , что частицы продолжают эмитироваться системой,но становятся скоррелированными . Так , учиты - вая закон сохранения для спектральной плотности шума на нулевой часто-

295

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

	"
те,	β=1,2 Pαβ = 0, мы получаем из выражения (9.76),что P11(x) = P22(x) = 0,

где x = e, h. Следовательно , потоки частиц , которые втекают в контакты, не флуктуируют.Регулярность в поступлении электронов(и д ырок)в контакты обусловлена двумя факторами.Во-первых,регулярным испусканием частиц источниками.И.во-вторых,принципом запрета Паули , вследствие которого два электрона(две дырки)сталкиваясь в центральн ом КТК,рассеиваются с необходимостью в различные контакты.

Подчеркнем,что электроны(дырки),эмитированные различн ыми источниками,являются статистически независимыми и,поэтом у,различимыми.Однако,после столкновения в КТК уже невозможно определ ить какой из двух электронов был рассеян в какой из двух контактов.Поэ тому,электроны становятся не различимыми в квантово-статистическом смысле , что и проявляется как возникнувшие между ними корреляции .

Таким образом,исчезновение дробового шума[ 121] является индика -

тором того,что между электронами(дырками),после того как	они столк-
нулись в КТК,возникли корреляции,обусловленные статисти	кой Ферми.

Этот эффект аналогичен эффекту Хонг,Оу и Мандела(Hong, Ou, and Mandel) [139] в оптике Однако , для электронов вероятность обнаружить две частицы в разных контактах возрастает,тогда как для фотоно в она убывает

[139].

9.4.2.Вероятностная интерпретация

Для определенности мы ограничимся рассмотрением дробового шума , обусловленного рассеянием электронов.Напомним,что в теч ение периода T = 2π/Ω0 каждый источник эмитирует один электрон.В момент времени

t(0−L) электрон испускается левым,а в момент времени t(0−R) правым источником.Одночастичная вероятность Nα, то есть , вероятность обнаружить электрон в контакте α = 1, 2 в течение периода , не зависит от разности вре -

мен эмиссии t(L,R−,−) = t(0−L) −t(0−R). Напротив , двухчастичная вероятностьN12, то есть,вероятность обнаружить по-одному электрону в кажд ом контакте

в течение периода , существенным образом зависит от этой разности.Бо-

лее того,при t(L,R−,−) = 0 двухчастичная вероятность N12 превращается во введенную Глаубером(Glauber) [ 140] вероятность совместного детек-

296

9.4.Мезоскопический электронный коллайдер

тирования, которая означает вероятность одновременного детектирования двух частиц в двух различных местах.К нашем случае однов ременность подразумевает совпадение времен с точностью не хуже %τj - T.

9.4.2.1.Одночастичные вероятности

При t(L,R−,−) ( %τ = %τL = %τR электроны,эмитированные различными источниками,являются различимыми,поэтому,мы можем за писать,

N1 = N1(L) + N1(R) , N2 = N2(L) + N2(R) ,

(9.77)

где верхние индексы (L) и (R) обозначают источник.Одночастичные вероятности могут быть вычислены как квадрат модуля соответственных одночастичных амплитуд,описывающих процесс,в котором электр он эмитиру-

ется выбранным источником и достигает заданного контакта, Nα(j) = |Aαj|2. Из рис. 9.4 находим,

A1L = eikF L1L rC ,	A1R = eikF L1R tC ,
	(9.78)
A2L = eikF L2L tC ,	A2R = eikF L2R rC .

где Lαj = LαC + LCj – расстояние от источника j = L, R через центральный КТК C до контакта α = 1, 2 вдоль линейного кирального проводника, сравни с( 9.72).После возведения в квадрат,получаем

N1(L)	= RC ,	N1(R) = TC ,	(9.79a)
N2(L)	= TC ,	N2(R) = RC ,	(9.79b)
и,наконец,
	N1 = N2 = 1 .		(9.80)
Заметим,что при t(−,−)	= 0 мы не можем указать из какого источника
L,R

297

Если t(L,R−,−)

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

электрон попал в рассматриваемый контакт.В таком случае мы не можем использовать выражения( 9.77).Тем не менее очевидно,что в каждый контакт попадет всего один электрон и,поэтому,соотношения( 9.80) остаются в силе .

9.4.2.2.Двухчастичные вероятности для нескоррелированн ых частиц

( %τ = %τL = %τR, то электроны различимы [ мы мо - жем использовать( 9.77)],поэтому,двухчастичная вероятность может быть записана в таком виде,

N12 = N12(L) + N12(LR) + N12(RL) + N12(R) .				(9.81)
Учитывая,что электроны нескоррелированы,имеем
N12(LR) = N1(L)N2(R) ,	N12(RL)	= N1(R)N2(L) .		(9.82)
Кроме того,один электрон(испущенный одним источником)не				может быть
зарегистрирован в двух контактах,поэтому,
N12(L) = N12(R) = 0 .				(9.83)
Следовательно,с учетом выражений( 9.79) мы находим
N12 = N(LR) + N(RL) = R2			+ T 2 .	(9.84)
12	12	C	C

Заметим,что N12 < 1, поскольку в дополнение к рассматриваемым процес - сам,когда по-одному электрону попадают в оба контакта,име ются также процессы,когда два электрона попадают в один контакта.Так с вероятно - стью RC TC оба электрона попадут в первый контакта и с такой же вероятностью они могут попасть во второй контакт.Очевидно,что су мма вероятностей всех возможных исходов равна единице,как и должно бы ть.

298

9.4.Мезоскопический электронный коллайдер

Используя выражения( 9.80) и (9.84) мы получаем :δN12 = N12 − N1N2 = −2RCTC, что в силу соотношения (9.32) совместно с электронным

вкладом в кросс-коррелятор токов P(12e) = 0.5P12 = −2P0, смотри (9.74) для P12. Этот же результат можно получить и другим путем . Посколькуисточники являются нескоррелированными,то коррелятор δN12 = N12 − N1N2, можно записать как

δN12 = δN12(L) + δN12(R) ,

(9.85)

где корреляторы единичных источников δN12(j) = N12(j) − N1(j)N2(j) с учетом

(9.83) равны

δN12(L) = −N1(L)N2(L) , δN12(R) = −N1(R)N2(R) .

(9.86)

С учетом (9.79) находим δN12 = −2RCTC, что полностью согласуется с ре - зультатом,полученным выше.

9.4.2.3.Двухчастичные вероятности для скоррелированных частиц

Когда t(L,R−,−) = 0, то электроны сталкиваются в центральном КТК и рассеиваются скоррелировано в соответствие с фермионной статистикой. Поэтому,мы не можем использовать( 9.82).Вообще говоря,мы даже не можем ввести верхние индексы,поскольку не можем определит ь источник происхождения электрона,прибывшего в данный контакт.Как мы уже говорили,мы можем использовать соотношения( 9.80).Кроме того,поскольку в рассматриваемом режиме два электрона не могут попасть в один и тот же контакт,то

N12 = 1 .

(9.87)

Этот “квантовый” результат не зависит от параметров центрального КТК, в отличие от своего “классического” аналога( 9.84).Используя выражения (9.80) и (9.87),вычислим δN12 = 0, что совместимо с (9.76a),если воспользоваться соотношением( 9.32).

299

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

Результат представленный в( 9.87),может быть также получен,ис-

пользуя двухчастичную амплитуду, N12 = @@A(2)@@2, которая должна быть определена с учетом следующего.Вследствие столкновения в центральном КТК электроны становятся неразличимыми.Это происходи т потому ,

что процессы рассеяния,описываемые следующими амплитуда ми A(2)a = A1LA2R и A(2)b = −A2LA1R 7, неразличимы , поскольку соответствуют оди - наковым начальным и одинаковым конечным состояниям системы из двух

электронов.Поэтому,такие амплитуды должны складываться : A(2) = A(2)a +

A(2)b . Следовательно , двухчастичная амплитуда может быть представлена в виде определителя Слэтера,

A(2)	= det	@	A1L	@	(9.88)
		@		A1R @.
		@		@
		@		@
		@	A2L	@
		@		A2R @

Используя одночастичные амплитуды( 9.78) и учитывая , чтоL1L + L2R = L1R + L2L (в силу пересечения траекторий)и,что rC tC = −rCtC (в силу унитарности),мы получаем N12 = 1, что совпадает с (9.87).

Сравнивая( 9.87) и (9.80),можно увидеть,что N12 = N1N2. Такое со - отношение,казалось бы,говорит нам,что обнаружение элект рона в одном контакте никак не скоррелировано с обнаружением электрона в другом контакте.Однако это не так,поскольку,в действительно сти электроны прибывают в контакты одновременно,то есть скоррелировано . Это кажу - щееся противоречие обусловлено специфическим значением двухчастичной вероятности Nj = 1. Ниже мы рассмотрим электронное устройство , для которого Nj < 1. В этом случае как единичные электроны , так и пары скоррелированных электронов попадают в контакты и вносят вклад в дробовой шум.Мы покажем,что пары электронов являются положит ельно-

[141]			T	> 0.
скоррелированными,то есть соответствующий им коррелятор			δN(LR)
			12
7Знак минус обусловлен тем,что два электрона(фермиона)перес		тавлены в конечном состоянии.

300

9.5.Столкновение флуктуирующих электронных потоков

9.5.Столкновение флуктуирующих электронных потоков

На рис. 9.6 показана схема электронного устройства с двумя регулируемыми источниками частиц SL и SR, каждый из которых испускает один электрон и одну дырку в течение периода.После прохождения ч ерез квантовый точечный контакт L (R),изначально регулярный,то есть не флуктуирующий,поток,эмитированный источником SL (SR),расщепляется на два флуктуирующих потока.Поэтому,в течение выбранного перио да два,один или ни одного электрона 8 могут попасть в центральную часть устройства и,таким образом,внести вклад в кросс-коррелятор P12 токов I1(t) и I2(t), текущих в контакты 1 и 2, соответственно . Если времена эмиссии выбраны так,что электроны не сталкиваются в точечном контакте C, то только одно - частичные процессы вносят вклад в дробовой шум и,соответст венно,в P12 независимо от того сколько электронов,один или два,попали в централь - ную часть устройства.

Если же выбраны условия,позволяющие электронам,испущенн ым источниками SL и SR, столкнуться в C, то , наряду с одночастичными процес - сами,и двухчастичные процессы будут вносить вклад в кросскоррелятор P12. Причем двухчастичные процессы возникнут только тогда , когда электроны протуннелируют как через L, так и через R. При этом , после столк - новения в КТК C, пара электронов становится скоррелированной . Если же только один электрон,например через L, попал в центральную часть устройства,а второй электрон был отражен в R и ушел в контакт 4, то воз - никает одночастичный(отрицательный)вклад в P12, смотри выражение 9 (9.27).Как мы покажем ниже,для симметричного устройства, TL = TR, кросс-коррелятор обращается в нуль, P12 = 0, если электроны могут стал - киваться в C. Поэтому , двухчастичный вклад должен быть положительным , чтобы скомпенсировать отрицательный вклад от одночастичным процессов.

8Все нижесказанное в равной мере относиться и к дыркам.

9В этом выражении следует учесть , что вклад электрона в токI1(t) или I2(t) необходимо домножить на вероятность электрону попасть в центральную часть устройства.

301

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

I1(t)

α = 1

α = 3

SL

L

C

R

SR

α = 4

α = 2

I2(t)

Рис. 9.6.Схематическое изображение устройства,в котором флуктуирующие потоки частиц,возникающие в контактах L и R, могут сталкиваться в контак - те C

9.5.1.Эффект подавление кросс-коррелятора тока

ˆ

Элементы квазистационарной матрицы рассеяния ˜ , смотри

S0(t)

рис. 9.6, которые нам необходимы для вычисления P12, есть такие ,

˜	ikF L11	rLrC ,	˜		ikF L12				rRtC ,
S0,11(t) = e			S0,12(t) = e
									(9.89a)
˜	ikF L13		˜	ikF L14			SR(t)tRtC ,
S0,13(t) = e		SL(t)tLrC , S0,14(t) = e
˜	ikF L21	rLtC ,	˜	ikF L22				rRrC ,
S0,21(t) = e			S0,22(t) = e
									(9.89b)
˜	ikF L23		˜	ikF L24		SR(t)tRrC ,
S0,23(t) = e		SL(t)tLtC , S0,24(t) = e

302

9.5.Столкновение флуктуирующих электронных потоков

где нижние индексы L, R, и C коэффициентов отражения и прохождения обозначают соответствующие КТК.Подставим приведенные вы ражения в (9.17) и получим по аналогии с (9.75):

P12 = P(12e,1) + P(12e,2) + P(12h,1) + P(12h,2) ,

где

P(12e,1) = P(12h,1) = −P0 +TL2 + TR2 , ,

есть одночастичные электронный и дырочный вклады и

(e,2)	= 2P0TLTR	4%τL%τR		,
P12
		)t0(−L) − t0(−R)*2 + ( %τL + %τR)2
(h,2)	= 2P0TLTR	4%τL%τR			.
P12
		)t0(+)L − t0(+)R *	2
			+ ( %τL + %τR)2

(9.90a)

(9.90b)

(9.90c)

(9.90d)

есть соответственные двухчастичные вклады.

Зависимость величины P12 от амплитуды потенциала,действующего на источник SL, приведена на рис .9.7. При этом выражение (9.90a) соответ - ствует второму плато( P12 −P0) этого графика .

В классическом режиме , t(L,Rχ,χ) ( %τL, %τR, когда частицы остают -

ся статистически независимыми,двухчастичные процессы от сутствуют,по-
этому, P12(x,2) O )%τj/ tL,R(χ,χ)*2	≈ 0, где x = e, h. Тогда мы получаем ,
P12 = −2P0		>TL2 + TR2 ? ,	(9.91)

что обусловлено исключительно одночастичным вкладов.В кл ассическом режиме результат детектирования электронов в контактах 1 и 2 в течение

303

t(L,Rχ,χ)

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

)	0.0
0
(P
12	−0.5
P
	−1.0
	−1.5
	−2.0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2
	0.0
				eUL,1 (	)

Рис. 9.7.Зависимость кросс-коррелятора токов P12 для устройства,изображенного на рис. 9.6, от амплитуды UL,1 потенциала UL(t) = UL,0 + UL,1 cos (Ω0t + ϕL), действующего на левый источник . Параметры те же , что и для рис .9.5 кроме ϕL = ϕR и дополнительно TL = TR = 0.5

одного периода может быть следующим: (i)два электрона обна ружены в одном из контактов, (ii)по-одному электрону обнаружено в к аждом контакте, (iii)один электрон обнаружен в каком-либо из контак тов,и,наконец, (iv)ни одного электрона не обнаружено ни в одном из контакто в.

Напротив,в режиме,когда электроны могут столкнуться в КТК C, = 0, кросс - коррелятор уменьшен по сравнению со значением , при-

веденным в( 9.91).Предположим,что источники одинаковы,	%τL = %τR ≡
%τ , тогда определим из выражения (9.90a) следующее ,
P12 = −2P0 (TR − TL)2 .	(9.92)

Кросс-коррелятор токов обращается в нуль в симметричном случае, TL = TR. Подчеркнем , несмотря на то , чтоP12 = 0, токи , текущие в контакты1 и

2, флуктуируют , то есть δIα2		> 0, α = 1 , 2. Зануление кросс - коррелятора
вызвано не тем,что	потоки частиц,прибывающих в контакты яв ляются ре-
	I	J

304

9.5.Столкновение флуктуирующих электронных потоков

гулярными,а компенсацией отрицательного одночастичного и положитель - ного двухчастичного вкладов.Данный режим отличается от кл ассического режима,рассмотренного выше,двумя моментами: (i)два элек трона не могут быть зарегистрированы в одном контакте, (ii)если электрон ы зарегистри - рованы в контактах 1 и 2, то они зарегистрированы одновременно .

9.5.2.Вероятностная интерпретация

Как и ранее,сконцентрируемся на электронах.Дырки могут бы ть рассмотрены аналогичным образом.

9.5.2.1.Одночастичные вероятности

Одночастичные вероятности не зависят от того,могут или нет элек-

троны столкнуться в КТК C. Поэтому , мы предположим , что t(L,R−,−) ( %τL, %τR и используем выражение (9.77) со следующими одночастичными амплитудами:

A1L = eikF L1L tL rC ,	A1R = eikF L1R tR tC ,
		(9.93)
A2L = eikF L2L tL tC ,	A2R = eikF L2R tR rC .
Тогда находим,
N1(L) = TLRC ,	N1(R) = TRTC ,	(9.94a)
N2(L) = TLTC ,	N2(R) = TRRC ,	(9.94b)
и,следовательно,

N1 = TL + TC (TR − TL) ,

(9.95)

N2 = TR − TC (TR − TL) .

Очевидно,что N1 +N2 = TL +TR: сколько электронов окажутся в централь - ной части,столько электронов должны попасть в контакты 1 и 2.

305

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

9.5.2.2.Двухчастичные вероятности для нескоррелированн ых частиц

Если t(L,R−,−) ( %τL, %τR, то можно использовать результаты раздела 9.4.2.2. Подставляя выражения (9.94) в (9.82) и затем в (9.84),мы получаем следующее,

N12 = TLTR +RC2 + TC2 ,.

(9.96)

Это выражение отличается от( 9.84) множителем TRTL, который описыва - ет вероятность для двух электронов,эмитированных источни ками SL и SR, попасть в центральную часть и,тем самым,внести вклад в N12. Подчерк - нем,что как выражение( 9.84),так и выражение( 9.96) – это вероятность детектирования двух статистически независимых частиц.

Вычисляя кросс-коррелятор δN12 = N12 −N1N2 с использованием вы - ражений( 9.95) и (9.96),получим

δN12 = −RC TC +TL2 + TR2 ,,

(9.97)

что,в силу( 9.32),совместимо с одночастичным вкладом в кросскоррелятор токов( 9.90b).С другой стороны,выражение( 9.97) моет быть представлено как( 9.85) с

δN12(L) = −RCTCTL2 , δN12(R) = −RC TCTR2 ,

(9.98)

что лишний раз подчеркивает нескоррелированность частиц, эмитированных различными источниками.

9.5.2.3.Двухчастичные вероятности для скоррелированных частиц

В режиме , когда t(L,R−,−) = 0, если электроны зарегистрированы в кон - тактах 1 и 2, то такие электроны обязательно скоррелированы . Поэтому , вместо( 9.85) следует писать

δN12	= δN(L)	+ δN(R)	T	,	(9.99)
			+ δN(LR)
	12	12	12

306

9.5.Столкновение флуктуирующих электронных потоков

где одночастичные кросс-корреляторы N12(j), j = L, R приведены в( 9.98),а двухчастичный кросс-коррелятор есть

T

−

−

1

2

δN(LR) = N12

N(L)N(R)

N(R)N(L)

.

(9.100)

12

1

2

Двухчастичная вероятность N12

может быть вычислена как квадрат мо-

дуля двухчастичной амплитуды рассеяния, N12

=

(2)

2

(2)

(в слу-

A

, где A

чае неразличимых частиц)определена как детерминант@

Слэте@

ра( 9.88).Ис-

пользуя одночастичные амплитуды( 9.93),найдем

@

@

N12 = TLTR .

(9.101)

Это выражение не зависит от параметров центрального КТК,в о тличие от выражения( 9.96),что может быть использовано в эксперименте как подтверждение перехода от классического к квантовому режиму. Под последним мы понимаем появление корреляций,обусловленных принц ипом запрета Паули,между парами электронов,столкнувшихся в C. Подчеркнем так - же,что в квантовом режиме величина N12 есть вероятность совместного детектирования,введенная Глаубером[ 140].

Выражение( 9.101) может быть пояснено следующим образом : если и только если два электрона попадают в центральную часть устройства(один электрон из источника L и один электрон из источника R),то они,столкнувшись в КТК C, попадут в разные контакты . Поэтому , вероятность об - наружить один электрон в контакте 1 и еще один электрон в контакте 2 в течение одного периода равна вероятности того,что два элек трона попадут в центральную часть устройства .

Используя выражения( 9.101) и (9.94),вычислим двухчастичную корреляционную функцию( 9.100):

T	= 2TLTRRCTC .	(9.102)
δN(LR)
12
которая,во-первых,положительна и,во-вторых,в силу соот		ношения( 9.32)

307

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

совместима с двухчастичным вкладом в кросс-коррелятор токов( 9.90c) при

%τL = %τR и t(0−L) = t(0−R).

Выражения( 9.98) и (9.102) позволяют вычислить полный кросс - коррелятор( 9.99),обусловленный как одночастичными,так и двухчастичными процессами,

δN12 = −RC TC (TR − TL)2 .

(9.103)

Его значение совместно с электронным вкладом в кросс-коррелятор токов

P(12e) = P12/2 = −P0 (TR − TL)2, смотри P12 (9.92) и связь между N12 и P(12e)

(9.32).

9.6.Двухчастичный интерференционный эффект

Рассмотрим устройство(электронную цепь),включающее два РИЧ SL и SR и два интерферометра с магнитными потоками ΦL и ΦR, рис .9.8, и по - кажем,что электроны,испускаемые независимыми источника ми,могут демонстрировать двухчастичный интерференционный эффект. [122]

В отличие от предыдущих разделов , сейчас мы рассмотрим не адиабатический режим:мы учтем время,необходимое электрону(д ырке)для распространения вдоль ветвей электронной цепи,однако про цесс эмиссии по-прежнему рассматриваем,как происходящий адиабатичес ки.Если разность времен,необходимых частице для того,чтобы преодоле ть различные ветви U и D интерферометра,больше,чем %τj, то одночастичная интерфе - ренция подавлена и токи,текущие в контакты,не зависят от ма гнитных потоков,пронизывающих интерферометры.Однако,если параме тры цепи подобраны таким образом,что частицы,эмитируемые источника ми SL и SR, могут столкнуться на выходе любого интерферометра,то есть как в КТК L1, так и в КТК R2, тогда кросс - коррелятор токов оказывается зависящим от обоих магнитных потоков ΦL и ΦR. Этот эффект обусловлен двухчастичной интерференцией.

308

9.6.Двухчастичный интерференционный эффект

9.6.1.Модель и определения для используемых величин

Рассматриваемая цепь,рис. 9.8, имеет четыре контакта ( резервуара ),

поэтому,описывается 4 × 4 матрицей рассеяния SF,αβ (En, E) = Sin,αβ,n(E), α,β = 1, 2, 3, 4. Все контакты находятся в равновесии и характеризуются

одинаковыми функциями распределения Ферми, fi(E) = f0(E), i, с хими - ческим потенциалом µ0 и температурой T0. Каждый источник , какSL, так и SR, испускает один электрон и одну дырку в течение периода T = 2π/Ω0.

309

310

		SL
	α		C
	=
I
	1	U
1
)t(	L1		L2
		α = 3
		ΦL
		D

Рис
левый SL и правый SR,
. 9.8.	и два интерферометра Мах

Схематическое изображение электронной цепи

D

ΦR

α = 4	R2
R1
U	α
	=	2
	2
		I
		)t(
SR

ючающей два регулируемых источника частиц ΦL и ΦR,соответственно

ча источником регулируемым с цепи электронные Квантовые стиц .9

9.6.Двухчастичный интерференционный эффект

Вычислим спектральную плотность кросс-корреляционной функции на нулевой частоте P12 для токов I1 и I2, текущих в соответственные кон - такты.При kBT0 = 0 эта величина равна[смотри( 6.16)],

	e2		∞			µ0	∞	4
			!		−		!	!
P12 =	2h		q=−∞	sign(q)	ˆ		dE
				µ0		q!Ω0	n.m=−∞ γ,δ=1

(9.104)

×SF,1γ(En, E)SF,1δ(En, Eq)SF,2δ(Em.Eq)SF,2γ(Em, E) ,

где En = E + n!Ω0.

Выражая элементы матрицы рассеяния Флоке через Фурье коэффици-

енты матрицы рассеяния в смешанном представлении								ˆ
								Sin и выполняя сум -
мирование по n и m, получим
	e2		∞			µ0	4
					−
			!				!
P12 =	2h		sign(q)		ˆ		dE
			q=−∞	µ0 q!Ω0			γ,δ=1
× >Sin,1γ(E)Sin,				1δ(Eq)?q >Sin,2γ(E)Sin,				(9.105)
								2δ(Eq)?q .

Учтем,что в цепи,изображенной на рис. ( 9.8),нет путей,ведущих из контакта 4 в контакт 1 и из контакта 3 в контакт 2. Поэтому ,γ,δ = 1, 2 и окончательно находим,

			e2	∞			µ0
	P12	=			sign(q)	ˆ		dE Aq + Bq + Cq + Dq	,	(9.106a)
				!
					µ0	−	q!Ω0	{	}
			2h q=−∞

где

	>Sin,11(E)Sin,	11(Eq)?q >Sin,21(E)Sin,
Aq =			21(Eq)?q	,	(9.106b)

311

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

Bq	=	>Sin,11(E)Sin,12(Eq)?q >Sin,21(E)Sin,22(Eq)?q			,	(9.106c)
Cq	=	>Sin,12(E)Sin,	11(Eq)?q >Sin,22(E)Sin,	21(Eq)?q	,	(9.106d)
Dq	=	>Sin,12(E)Sin,12(Eq)?q >Sin,22(E)Sin,22(Eq)?q .				(9.106e)

Заметим,в силу интегрирования по энергии вEq. ( 9.106a),только величины с q =% 0 оказываются существенными.Кроме того,те части P12, которые пропорциональны Aq и Dq, являются действительными , а часть , пропорцио - нальная Bq, комплексно сопряжена части , пропорциональнойCq. Это мож - но показать сделав замены Eq → E (под знаком интегрирования по энергии) и q → −q (под знаком суммирования по q).

Приведем соотношения между Фурье коэффициентами,которые мы будем часто использовать,

{X(t)}q eiqΩ0τ =	{X(t − τ)}q ,
	(9.107)
{X(t)}q {Y (t)}q =	{X(t − τ)}q {Y (t − τ)}q .

Введем также величины,необходимые для вычисления элемент ов матрицы рассеяния.Мы предположим,что кинематическая фаза ϕL(E), при - обретаемая электроном с энергией E при движении вдоль траектории L с длиной LL, линейно зависит от энергии ,

ϕL(E) = ϕL + (E − µ0) τL/! ,

(9.108)

где ϕL = kF LL, а τL – время движения вдоль траектории L, которое не за - висит от энергии E. Траекторию будем обозначать трехзначным символом , L ≡ XY Z, в котором первый знак X показывает номер конечного контакта,второй знак Y показывает ветвь соответствующего интерферометра

312

9.6.Двухчастичный интерференционный эффект

и,наконец,третий знак Z показывает источник частиц.Например,частица,эмитированная источником SL, прошедшая по ветке U (правого)интерферометра и достигнувшая контакта 2, двигалась по траектории 2UL. Мы обозначаем ветки интерферометров как U или D, если , двигаясь вдоль нее , частица обходит магнитный поток против часовой стрелки или по часовой

стрелке,соответственно,смотри рис.	9.8.
Введем время τj, характеризующее несбалансированность интерфе -
рометра j = L, R и время задержки	τLR,
τL = τ1Uj − τ1Dj , τR = τ2Uj − τ2Dj ,		τLR = ταY L − ταY R , (9.109)
где α = 1, 2, Y = U, D и j = L, R. Величина		τLR характеризует асиммет-

рию в расположении источников частиц SL и SR относительно центрального КТК C. Используя введенные величины , представим разности времен,которые нам понадобятся ниже,в таком виде,

τ1UL − τ1DR = τL + τLR ,	τ1UR − τ1DL = τL − τLR ,
	(9.110)
τ2UL − τ2DR = τR + τLR ,	τ2UR − τ2DL = τR − τLR .

Для удобства записи мы представим магнитный поток Φj как сумму

Φj = ΦjU + ΦjD

(9.111)

потоков,ассоциированных с U и D ветвями интерферометра j = L , R. Каждый интерферометр имеет два квантовых точечных контакта,рас-

щепляющих поток частиц на два потока.Эти КТК обозначены на р ис. (9.8) как j1 и j2, j = L, R. Без потери общности мы выберем матрицы рассеяния для этих КТК в таком виде,

313

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

	5				i5
Sˆjα =		Rjα					Tjα			,	(9.112)
	5				5
	i		Tjα			Rjα

где α = 1, 2. Для центрального квантового точечного контакта C, соединя - ющего две части цепи,мы будем использовать такую же матрицу рассеяния, но с индексом C вместо jα. Подчеркнем , что параметры всех КТК не зависят от времени.

Мы полагаем,что для каждого из источников,как SL, так и SR, выпол - нено условие адиабатичности[смотри( 8.57)],

Ω0τj - 1 ,

(9.113)

где τj – время одного оборота в киральном кольце источника j = L , R. По - этому,характеризуя источники,мы будем использовать кваз истационарные амплитуды рассеяния SL(t, E) и SR(t, E), соответственно . Как мы знаем , в главном адиабатическом приближении Sj(t, E) ≈ Sj(t, En). Поэтому , при

вычислении величины P12 (9.106) мы используем Sj(t, E) ≈ Sj(t, µ0) ≡ Sj(t). Амплитуды Sj(t) определяются выражением( 9.8),в котором вели-

чины θr, %τ и t(07) заменены на величины θrj, %τj и t(07j ), соответственно .

В режиме , который мы рассматриваем ниже , время τj, характеризую - щее несбалансированность интерферометра,превышает длит ельность волнового пакета %τj, но меньше , чем периодT, с которым источники эмитиру - ют электроны(дырки),

T ( τL, τR ( %τL, %τR .

(9.114)

В таком режиме одночастичная интерференция , обусловленная прохожде - нием частицы по двум ветвям любого из интерферометров,отсу тствует.Поэтому,та часть P12, которая обусловлена одночастичными процессами , не зависит ни от магнитного потока ΦL, ни от магнитного потока ΦR. В то же время,при выполнении следующего условия,

314

9.6.Двухчастичный интерференционный эффект

τL ± τR = 0 ,

(9.115)

появляется двухчастичный вклад в P12, который зависит от ΦL ± ΦR.

9.6.2.Элементы матрицы рассеяния

При вычислении элементов матрицы рассеяния мы учтем наличие двух путей,по которым может двигаться электрон из источника в ко нтакта,и, соответственно,двух амплитуд,описывающих такое движени е.Так,например,

SF,11(En, E) = SF,1U1(En, E) + SF,1D1(En, E) ,

					ΦLU
	SF,1U1(En, E) =	5RC RL1RL2 ei2π				eiϕ1UL(En)SL,n ,
					Φ0

5

= RC RL1RL2

5

SF,1D1(En, E) = − RCTL1TL2

5

= − RCTL1TL2

ei2π	ΦLU
	Φ0		eiϕ1UL(E)einΩ0τ1UL SL,n ,
e−i2π		ΦLD		eiϕ1DL(En)SL,n ,
		Φ0
e−i2π		ΦLD		eiϕ1DL(E)einΩ0τ1DL SL,n .
		Φ0

где зависимость фазы от энергии определена в выражении( 9.108). После обратного преобразования Фурье получаем,

6

5

ΦLU

Sin,11(t, E) =

RC

RL1RL2 ei2π

eiϕ1UL(E)SL(t − τ1UL, E)

Φ0

5

(9.116a)

ΦLD

eiϕ1DL(E)SL(t − τ1DL, E)7,

−5TL1TL2 e−i2π

Φ0

315

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

Аналогично вычисляются остальные элементы матрицы рассеяния,которые входят в выражение( 9.106):

Sin,

11(t, Eq) = 6

e−i2π

ΦLU

e−iϕ1UL(E)e−iqΩ0τ1UL SL(t − τ1UL, E)

RL1RL2

Φ0

5

(9.116b)

5

5

−

TL1TL2

ei2π

ΦLD

e−iϕ1DL(E)e−iqΩ0τ1DL SL(t − τ1DL, E)7

RC ,

Φ0

5

5

ΦLU

6

RL1RL2 ei2π

Sin,12(t, E) =

i TC

Φ0

eiϕ1UR(E)SR(t − τ1UR, E)

				−	5
						TL1TL2
Sin,		6	5				e−i2π
	12(t, Eq) =			RL1RL2

			(9.116c)
e−i2π		ΦLD	eiϕ1DR(E)SR(t − τ1DR, E)7,
		Φ0
ΦLU	e−iϕ1UR(E)e−iqΩ0τ1UR SR(t − τ1UR, E)
Φ0

e−iϕ1DR(E)e−iqΩ0τ1DR SR(t − τ1DR, E)7

)

(9.116d)

5

ei2π

ΦLD

5

*

−

TL1TL2

−i TC ,

Φ0

ΦRU

6

5

RR1RR2 ei2π

Sin,21(t, E) =

i TC

Φ0

eiϕ2UL(E)SL(t − τ2UL, E)

5

(9.116e)

5

ΦRD

− TR1TR e−i2π

Φ0

eiϕ2DL(E)SL(t − τ2DL, E)7,

21(t, Eq) = 6

ΦRU

5

RR1RR2 e−i2π

Sin,

Φ0

e−iϕ2UL(E)e−iqΩ0τ2UL SL(t − τ2UL, E)

(9.116f)

−5TR1TR2 ei2π ΦΦRD0 e−iϕ2DL(E)e−iqΩ0τ2DL SL(t − τ2DL, E)7)−i5TC*,

316

9.6.Двухчастичный интерференционный эффект

ΦRU

5

6

5

RR1RR2 ei2π

Sin,22(t, E)

=

RC

Φ0

eiϕ2UR(E)SR(t − τ2UR, E)

(9.116g)

ΦRD

eiϕ2DR(E)SR(t − τ2DR, E)7,

−5TR1TR2 e−i2π

Φ0

6

5

ΦRU

RR1RR2 ei2π

Sin,22(t, Eq) =

Φ0

eiϕ2UR(E)eiqΩ0τ2UR SR(t − τ2UR, E)

5

τ2DR SR(t − τ2DR, E)7

5

(9.116h)

ΦRD

− TR1TR2 e−i2π

eiϕ2DR(E)eiqΩ0

RC .

Φ0

Используя приведенные выражения,вычислим кросс-корреля тор токов P12 и проанализируем его зависимость от магнитных потоков ΦL и ΦR.

9.6.3.Кросс-коррелятор тока

Для удобства рассмотрим отдельно величины Aq, Bq. Cq, и Dq в выра -

жении( 9.106a).

9.6.3.1.Частичные вклады

Вначале мы вычислим Aq и Dq и,связанные с ними вклады в P(12A), P(12D). Подставляя( 9.116) в (9.106b),найдем для q %= 0:

						4
						!i		5			(9.117)
Aq = RCTCζLζR							Ai,q ,	ζj = Rj1Rj2Tj1Tj2 , j = L, R ,
						=1
где
	Φ +Φ		R
A1,q = ei2π		L		eiE! ( τL+ τR) {SL(t − τL)SL(t)}q {SL(t + τR)SL(t)}q ,
		Φ0
		Φ +Φ
A2,q = e−i2π		L	R		e−iE!	( τL+ τR){SL(t+ τL)SL(t)}q {SL(t− τR)SL(t)}q ,
		Φ0

317

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

A3,q

A4,q

	Φ −Φ		R
i2π		L		e		iE! ( τL− τR)		{SL(t −
		Φ0
= e
		Φ −Φ
= e−i2π		L	R		e−iE!		( τL− τR){SL(t+
		Φ0

τL)SL(t)}q {SL(t − τR)SL(t)}q ,

τL)SL(t)}q {SL(t+ τR)SL(t)}q ,

Заметим,что суммы A1,q + A2,−q и A3,q + A4,−q будут действительными величинами,только после интегрирования по энергии в( 9.106a).Требуемые коэффициенты Фурье равны:

			eiqΩ0t0(−L) e±iqΩ0	τL + eiqΩ0t0(+)L ,	q > 0 ,
{SL(t 7	τL)S0L(t)}q = −sL,q		8 eiqΩ0t0(+)L e±iqΩ0	τL + eiqΩ0t0(−L) ,	q < 0 ,
	τR)S0L(t)}q = −sL,q		e−iqΩ0t0(−L) e±iqΩ0	τR + e−iqΩ0t0(+)L ,	q > 0 ,
{SL(t ±		8 e−iqΩ0t0(+)L e±iqΩ0		τR + e−iqΩ0t0(−L) ,	q < 0 ,

где sL,q = 2 Ω0%τLe−|q|Ω0$τL. И соответствующие произведения коэффициен - тов Фурье записываются так:

{SL(t − τL)S0L(t)}q {SL(t + τR)S0L(t)}q = s2L,q

1 + eiqΩ0(	τL+	τR) + eiqΩ0(t0(−L)
×81 + eiqΩ0(	τL+	τR) + eiqΩ0(t0(−L)

{SL(t +

−t0(+)L +	τL) + e−iqΩ0(t0(−L)−t0(+)L − τR) ,	q > 0 ,
−t0(+)L +	τR) + e−iqΩ0(t0(−L)−t0(+)L − τL) ,	q < 0 ,
τL)S0L(t)}q {SL(t − τR)S0L(t)}q		= sL,q2

1	+ e−iqΩ0(	τL+	τR) + eiqΩ0(t0(−L)−t0(+)L −	τL) + e−iqΩ0(t0(−L)−t0(+)L +	τR) ,	q > 0 ,
×81	+ e−iqΩ0(	τL+	τR) + eiqΩ0(t0(−L)−t0(+)L −	τR) + e−iqΩ0(t0(−L)−t0(+)L +	τL) ,	q < 0 ,

318

9.6.Двухчастичный интерференционный эффект

			{SL(t − τL)S0L(t)}q {SL(t −	τR)S0L(t)}q = sL,q2
1	+ eiqΩ0(		τL− τR) + eiqΩ0(t0(−L)−t0(+)L + τL) + e−iqΩ0(t0(−L)−t0(+)L + τR) , q > 0 ,
×81	+ eiqΩ0(		τL− τR) + eiqΩ0(t0(−L)−t0(+)L − τR) + e−iqΩ0(t0(−L)−t0(+)L − τL) , q < 0 ,
			{SL(t + τL)S0L(t)}q {SL(t +	τR)S0L(t)}q = sL,q2
1+ e−iqΩ0		(	τL− τR) + eiqΩ0(t0(−L)−t0(+)L − τL) + e−iqΩ0(t0(−L)−t0(+)L − τR), q > 0,
×81+ e−iqΩ0		(	τL− τR) + eiqΩ0(t0(−L)−t0(+)L + τR) + e−iqΩ0(t0(−L)−t0(+)L + τL), q < 0.

Учитывая выражения( 9.54) и (9.55) и принимая во внимание наличие интегрирования по энергии в( 9.106a),можно сделать вывод,что величина Aq (после суммирования по q) приводит к заметному вкладу в кросс - коррелятор токов только в том случае,если она не осциллируе т как функция энергии.Это условие выполняется,если выполнено соотноше ние( 9.115). Тогда получаем,

P(A)	= 4P ζ ζ	cos	2π	ΦL ± ΦR	.	(9.118)
12	0 L R	-		Φ0 .

Величина Dq приводит к такому же результату, P(12D) тельно,

P(A+D)	= P(A)	+ P(D)	= 8P ζ ζ	cos	2π	ΦL ± ΦR
12	12	12	0 L R	-		Φ0

= P(12A), следова -

.

. (9.119)

Далее вычислим Bq. Используя (9.116) вычислим произведение ампли - туд рассеяния,входящих в( 9.106c):

					τ	6
Sin,11(E)Sin,	12(Eq) = −i √TCRC ei			E	LR
					!

RL1RL2 e−iqΩ0τ1UR SL(t − τ1UL) SR(t − τ1UR) +

+TL1TL2 e−iqΩ0τ1DR SL(t − τ1DL) SR(t − τ1DR)

319

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

	−ζL ei	E	τL	e	i2π	ΦL	e−iqΩ0τ1DR SL(t − τ1UL) SR(t − τ1DR)
						Φ0
		!

7

−ζ e−iE τL e−i2π ΦL e−iqΩ0τ1 S (t − τ ) S (t − τ ) ,

L ! Φ0 UR L 1DL R 1UR

					τ	6
Sin,21(E)Sin,	22(Eq) = i √TCRC ei			E	LR
					!

RR1RR2 e−iqΩ0τ2UR SL(t − τ2UL) SR(t − τ2UR)

+TR1TR2 e−iqΩ0τ2DR SL(t − τ2DL) SR(t − τ2DR)

E τR

i2π

ΦR

e−iqΩ0τ2DR SL(t − τ2UL) SR(t − τ2DR)

−ζR ei

!

e

Φ0

E

τ

e−i2π

ΦR

e−iqΩ0τ2UR SL(t − τ1DL) SR(t − τ1UR)7.

−ζR e−i

R

Φ0

!

Коэффициенты Фурье равны:

>

?

τ

6

Sin,11(E)Sin,

12(Eq)

q = −i √TCRC ei

E

LR

!

R R

+ T

L1

T

L2} {

S

(t

−

τ

LR

) S (t)

}q

{

L1 L2

L

R

ζ ei

E

τL

e

i2π

ΦL

{

S

(t

−

τ

−

τ

) S

(t)

}q

Φ0

!

L

LR

−

L

L

R

−ζL e−i

E

τ

L

e−i2π

ΦL

{SL(t + τL

− τLR) SR(t)}q 7,

Φ0

!

>Sin,21(E)Sin,

22(Eq)?q = −i

√TCRC

e−i

!LR

6

E τ

) S

(t)

R R

+ T

R1

T

R2} {

S

(t

−

τ

LR

{

R1 R2

L

R

}q

320

9.6.Двухчастичный интерференционный эффект

ζ e−i

E

τ

R

e−i2π

ΦR

{

S

(t

−

τ

R −

τ

) S

(t)

Φ0

!

L

LR

− R

R

}q

−ζR ei

E

τ

R

ei2π

ΦR

{SL(t + τR − τLR) SR(t)}q 7.

Φ0

!

Затем,величина Bq (9.106c) может быть представлена в следующем виде ,

Bq = −RCTC

8B0,q

+ ζLζR 4 Bi,q +

6

Bi,q

9

,

(9.120)

!

!i

i=1

=5

где

B0,q = TM(L,ZI0)TM(R,ZI0)

@

@

2

,

@{SL(t − τLR) SR(t)}q@

Φ +Φ

R

@

@

i2π

L

iE! ( τL+ τR)

Φ0

B1,q = e

e

{SL(t − τL − τLR)SR(t)}q

×{SL(t + τR − τLR)SR(t)}q ,

Φ +Φ

B2,q = e−i2π

L

R

e−iE! ( τL+ τR) {SL(t + τL − τLR)SR(t)}q

Φ0

×{SL(t − τR − τLR)SR(t)}q ,

Φ −Φ

R

i2π

L

iE! ( τL− τR)

Φ0

B3,q = e

e

{SL(t − τL − τLR)SR(t)}q

×{SL(t − τR − τLR)SR(t)}q ,

Φ −Φ

B4,q = e−i2π

L

R

e−iE! ( τL− τR) {SL(t + τL − τLR)SR(t)}q

Φ0

×{SL(t + τR − τLR)SR(t)}q ,

321

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

6

B5,q = −TM(L,ZI0)ζR {SL(t − τLR)SR(t)}q

E

τ

e−i2π

ΦR

× {SL(t − τR − τLR) SR(t)}q

e−i

R

Φ0

!

E

τ

ei2π

ΦR

{SL(t + τR − τLR) SR(t)}q 7,

+ei

R

Φ0

!

B6,q = −TM(R,ZI0)ζL {SL(t − τLR)SR(t)}q 6

i

E

τ

L

i2π

ΦL

Φ0

!

e

e

{SL(t − τL − τLR) SR(t)}q

7.

E

τ

L

e−i2π

ΦL

+e−i

Φ0

{SL(t + τL − τLR) SR(t)}q

!

Здесь TM(j,ZI0) = Rj1Rj2 + Tj1Tj2. Эту величину можно назвать классической вероятностью прохождения через интерферометр j = L , R. При этом вели - чины TM(j,ZI0) и ζj [смотри( 9.117)]определяют квантово-механическую веро-

ятность прохождения TM(j)ZI(E) = TM(j,ZI0) − 2ζj cos (2πΦL/Φ0 + E τj/!) для электронов с энергией E через интерферометр j со стороны центрального

КТК C к контакту 1 для j = L или к контакту 2 для j = R.

Прежде всего из( 9.120) видно , что слагаемоеB0,q приводит к вкладу,аналогичному тому,который рассматривается в разделе 9.4.1. Отличие состоит только в дополнительном множителе TML,ZI0 TMR,ZI0 , обусловленном присутствием интерферометров,и в дополнительной временн ой задержке tL,R, учитывающей в неадиабатическом режиме асимметричное расположение источников относительно КТК C. Другие слагаемые в (9.120) вносят вклад в P12 только в том случае,если они не осциллируют с энергией E. Так некоторые из слагаемых B1,q – B4,q вносят вклад,если τL = ± τR. В то время как слагаемые B5,q и B6,q (оба или только один из них)вносят вклад в случае симметричных интерферометров, τL = 0 и/или τR = 0. Кроме то - го,все слагаемые оказываются существенными в адиабатичес ком режиме. Поэтому,при выполнении условий( 9.114) и (9.115) существенными явля -

322

9.6.Двухчастичный интерференционный эффект

ются вклады,обусловленные слагаемыми B0,q и некоторыми из B1,q - B4,q, которые удобно объединить следующим образом:

B±,q	= ei2π ΦLΦ0ΦR @{SL(t − τL − τLR)SR							(t)}q@2
			±		@			@
										(9.121)
	+ e−i2π		ΦL±ΦR@				@	@	@	2
				Φ0
							@{SL(t + τL − τLR)SR(t)}q		@ .
							@		@

Знак “+” или “−” выбирается в зависимости от того,какой знак( “+” или “−”) выбран в (9.115).Так для цепи,приведенной на рис. 9.8, величины

τL = τR < 0. Поэтому , в (9.115) должен быть выбран знак “−”. Учитывая,что вклады в P[12], обусловленные Bq и Cq, являются ком -

плексно сопряженными,можно сразу записать,

		= 2TM(L,ZI0)TM(R,ZI0)	@	τLR) SR		@	2	(9.122a)
	B0,q + C0,q				(t)}q		,
			@{SL(t −			@
			@			@

B	±,q	+ C	±,q	= 2 cos	2π	ΦL ± ΦR				(9.122b)
				-		Φ0	@2	.6		(t)}q	@2 7.
@{SL(t − τL − τLR)SR(t)}q								+	@{SL(t + τL − τLR)SR
@							@		@		@
@							@		@		@

Сперва вычислим вклад P(12B+C,0), обусловленный B0,q и C0,q. С выраже - нием( 9.122a) интегрирование в (9.106) становится тривиальным . Суммируя затем по q, аналогично тому , как мы делали в разделе9.4.1, находим

6 ) * ) * 7

P(12B+C,0) = −2P0TM(L,ZI0)TM(R,ZI0) % t(L,R−,−) + τLR + % t(+L,R,+) + τLR ,

(9.123)

где %( t) определена в( 9.58).

Аналогично вычисляется вклад,обусловленный B±,q и C±,q:

323

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

P(12B+C,Φ) = −2P0ζLζR cos

% )	tL,R(−,−) −
+% )	tL,R(−,−) +

-		Φ0	.6
2π	ΦL ± ΦR					(9.124)
τL +		τLR* + % )		tL,R(+,+) −	τL +	τLR*
τL +		τLR* + % )		tL,R(+,+) +	τL +	τLR*7.

9.6.3.2.Суммарное выражение и его анализ

Используя выражения( 9.119), (9.123) и (9.124),находим P12 =

P(12A+D) + P(12B+C,0) + P(12B+C,Φ):

P12 =	−2P0TM(L,ZI0)TM(R,ZI0)6% )						tL,R(−,−) + τLR* + % )
	0	L R			-	Φ0	.6
+	2P	ζ ζ		cos	2π	ΦL ± ΦR		4
	−% )		tL,R(−,−) −			τL +	τLR*	− % )	tL,R(−,−) +
	−% )		tL,R(+,+) −			τL +	τLR*	− % )	tL,R(+,+) +

*7

t(+L,R,+) + τLR

(9.125a)

*

τL + τLR

*7

τL + τLR .

Обратим внимание на то,что уменьшение(по абсолютной велич ине)не зависящего от магнитных потоков вклада в кросс-коррелятор и появление вклада,зависящего от магнитных потоков,происходит при вы полнении разных условий,а именно,когда аргумент соответствующей функ ции % обращается в нуль.

В том случае , когда частицы , эмитированные источникамиSL и SR, проходят по цепи без столкновений между собой,кросс-корре лятор равен

P12 = −4P0TM(L,ZI0)TM(RZI.0) ,

(9.126)

324

9.6.Двухчастичный интерференционный эффект

(сравни с( 9.74) в адиабатическом режиме без интерферометров ). Здесь множитель 4 отражает наличие четырех частиц(двух электронов и двух дырок),эмитированных обоими источниками в течение одного периода T. Множитель TM(j,ZI0) = Rj1Rj2 + Tj1Tj2, как мы уже говорили , есть классиче - ская вероятность электрону(дырке)пройти через интерферо метр j со стороны КТК C в контакт 1 для j = L и в контакт 2 для j = R. В неадиабатиче - ском режиме( 9.114) одночастичная интерференция отсутствует , поэтому , вероятность прохождения через интерферометр есть сумма вероятностей прохождения через его ветви.Так величина Rj1Rj2 определяет вероятность прохождения по ветви U, а величина Tj1Tj2 есть вероятность прохождения по ветви D, смотри рис .9.8.

При анализе влияния столкновений между электронами(дырка ми)на P12, мы положим , что источники эмитируют одинаковые волновый паке-

ты, %τL	= %τR.	Если два электрона сталкиваются в КТК C, t(−,−) +
		L,R
τLR = 0, то кросс - коррелятор токов уменьшается ( по абсолютной вели-
чине), P12 = −2P0TM(L,ZI0)TM(RZI.0). Если же и две дырки тоже сталкиваются в
КТК C,	t(+,+) +	τLR = 0, то кросс - коррелятор токов обращается в нуль ,
	L,R

P12 = 0. Мы уже обсуждали этот эффект в предыдущих разделах .

9.6.3.3.Зависящий от магнитного потока коррелятор

Интересный эффект возникает в том случае,если два электрон а ( или две дырки)могут столкнуться на выходе из интерферометров, то есть в КТК L1 (R2) для интерферометра L (R),смотри рис. 9.8. Причем , в силу усло - вия( 9.115),условия для столкновения одновременно выполнены для обо их интерферометров.Для определенности мы рассмотрим электр онный вклад

в P(12e) в кросс - коррелятор токов и предположим выполнение следующих условий,

tL,R(−,−) − τL + τLR = 0 ,

τL = τR .

(9.127)

Тогда мы вычислим

325

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

12	−		0	6 MZI MZI −	L R	-		Φ0	.7
P(e) =		2P		T (L,0)T (R.0)	ζ ζ	cos	2π	ΦL − ΦR	.	(9.128)

Откуда видно,что кросс-коррелятор токов зависит от магнит ных потоков, пронизывающих удаленные друг от друга интерферометры.Это т нелокаль - ный эффект обусловлен двухчастичными корреляциями,котор ые возникают между электронами одновременно пришедшими в контакты 1 и 2. Эти корреляции обусловлены потерей информации о том,какой из и сточников эмитировал электрон,попавший,например,в контакт 1. Как показано в ра - боте[ 122],указанные корреляции носят квантовый характер,посколь ку нарушают неравенства Белла[ 142]

Для того,чтобы прояснить природу этого эффекта и связать за вися-

щую от магнитного потока часть P(12e) с двухчастичной вероятностью N12, необходимо рассмотреть детально процесс прохождения двух электронов по цепи.

Пусть два электрона движутся по направлению,скажем,к инте рферометру L. Из условия (9.127) получаем ,τ1DC + τCL + t(0−L) = τ1UC + τCR + t(0−R). Это означает , что электрон , эмитированный источникомSL и прошед - ший вдоль ветви D левого интерферометра(обозначим эту траекторию как L1DL),столкнется с электроном,который был эмитирован источни ком SR, если он шел вдоль ветви U этого же интерферометра(обозначим эту траекторию как L1UR).Поэтому,после КТК L1 мы не можем указать из какого источника был эмитирован электрон,попавший в контакт 1. Анало - гичная ситуация возникает,если оба электрона(после КТК C) попадают в правый интерферометр.Опять в силу( 9.127) имеем ,τ2DC + τCL + t(0−L) =

τ2UC + τCR + t(0−R). Следовательно , электрон , эмитированный источникомSL и прошедший вдоль ветви D правого интерферометра(траектория L2DL),и электрон,эмитированный источником SR и прошедший вдоль ветви U этого же интерферометра(траектория L2UR),столкнутся в КТК R2 и после него станут неразличимыми.Следует подчеркнуть,что рассмотре нные столкновения не влияют на величину P12. Мы их рассмотрели с той целью , чтобы показать существование двух пар одночастичных траекторий L1DL, L1UR и

326

9.6.Двухчастичный интерференционный эффект

L2DL, L2UR, которые ответственны за потерю информации о происхождении частиц.

Из этих одночастичных траекторий можно составить двухчастичные траектории,соответствующие частицам,движущимся в разны х интерферо - метрах.Это такие траектории как L(2)a = L1DLL2UR и L(2)b = L2DLL1UR. Они соответствуют паре частиц,прибывающих в оба контакта 1 и 2. При

выполнении условия( 9.127) траектории L(2)a и L(2)b соответствуют двухчастичным процессам,которые невозможно различить,посколь ку они имеют одинаковые начальные и конечные состояния.При этом состоя ние характеризуются как местом,где находится частица,так и времене м,когда частица появляется в этом месте.Эти двухчастичные процессы о тветствен-

ны за появление зависящего от магнитного потока вклада в P(12e). Заметим , что имеется восемь двухчастичные траектории,двигаясь вдо ль которых пара электронов попадет в контакты 1 и 2. Однако только указанные выше две траектории ответственны за зависимость от магнитных потоков.Обозначим

соответствующий им вклад в двухчастичную вероятность как N12(2) = @@A(2)@@2. Поскольку амплитуда A(2) включает вклады от двух неразличимых(двухчастичных)амплитуд,то она записывается как детерминант Слэ тера,

A(2)	= det	@	A1DL	@	,	(9.129)
		@		A1UR @
		@		@
		@		@
		@	A2DL	@
		@		A2UR @

где соответствующие одночастичные амплитуды равны,

ΦLD

A1DL = −5RCTL2TL1 e− i2π

eikF L1DL ,

Φ0

ΦLU

A1UR = i5TCRL2RL1 ei2π

eikF L1UR ,

Φ0

ΦRD

A2DL = −i 5TCTR1TR2 e− i2π

eikF L2DL ,

Φ0

ΦRU

A2UR = 5RC RR1RR2 ei2π

eikF L2UR .

Φ0

327

9.Квантовые электронные цепи с регулируемым источником ча стиц

Вычисляя квадрат модуля амплитуды A(2), получаем

N(2)	= R2	TL1TL2RR1RR2 + T 2 RL1RL2TR1TR2
12	C					C
								(9.130)
	+2R T		ζ ζ	cos	2π	ΦL − ΦR	.
		C	C L R	-		Φ0 .

Обратим внимание на то,что полученное выражение содержит р азность магнитных потоков,поскольку мы выбрали τL = τR (9.127),смотри пояснение после выражения( 9.121).

Используя соотношение( 9.32),получаем,что зависящая от магнитного потока двухчастичная вероятность N12(2) (9.130) полностью объясняет наличие зависящего от магнитных потоков вклада в кросс-коррелятор токов P(12e) (9.128).

328