Глава5.

Генерирование переменного тока

В отличие от постоянного тока , для существования которого необходимо выполнение специальных условий,переменный ток генерир уется всякий раз,когда,под действием периодического во времени воздей ствия,изменяются рассеивающие свойства образца.Как мы увидим ниже,н есколько физических процессов ответственны за возникновение переменного тока. Прежде всего,это перераспределение налетающих электроно в между вы - ходными каналами рассеяния,что трактуется как генерирова ние тока динамическим рассеивателем.Переменный ток может возникать та кже вследствие возможно имеющего место периодического во времени изменения заряда локализованного на рассеивателе.И,наконец,напря жения между электронными резервуарами,также приводит к появлению ток а.Подчеркнем,что даже постоянное напряжение приводит к появлению пе ременного тока вследствие того,что проводимость динамического расс еивателя изменяется со временем.

5.1.Адиабатический переменный ток

Вычислим зависящий от времени ток Iα(t), выражение (3.39),протекающий через динамическим рассеивателем в адиабатическом режиме, 2 = !Ω0/δE → 0. Для этого преобразуем выражение (3.37b) для Фурье гармоник тока следующим образом.Во-первых,в слагаемом,к оторое имеет множитель fβ(En), сделаем такие замены ,En → E и n → −n. Затем , используем разложение( 3.50) и вычислим произведение элементов матри - цы рассеяния Флоке,

SF,αβ (En, E) SF,αβ (El+n, E) = Sαβ

,nSαβ,l+n + !Ω0 6

n ∂Sαβ

,n

Sαβ,l+n

2 ∂E

(n + l) ∂Sαβ,n+l

+

,

+ ,

+

2

∂E

Sαβ

,n + Sαβ

,nAαβ,l+n + Aαβ

,nSαβ,n+l

7 + O 22 .

167

5.Генерирование переменного тока

Далее,выполним суммирование по n,

∞

!

@

@

n=−∞ SF,αβ (En, E) SF,αβ (El+n, E) = )

@

Sαβ

@

2*l

+

!

∂2S

∂2S

l

, + ,

i

αβ

αβ

+

2

L−

∂t∂E

Sαβ +

∂t∂E

Sαβ

M + !Ω0

SαβAαβ +AαβSαβ l +O 22 ,

где в правой части выражения нижний индекс l обозначает Фурье гармонику соответствующей величины.После этого получим следующе е выражение для тока в линейном приближении по частоте возмущения Ω0 в виде суммы трех вкладов,

Iα (t) = Iα(V ) (t) + Iα(Q) (t) + Iα(gen) (t) .

Первое слагаемое,

		∞	Nr	>	?
	e	0	!
Iα(V ) (t) =	h	ˆ dE	β=1	|Sαβ(t, E)|2 fβ (E) − fα (E) ,

(5.1)

(5.2)

отлично от нуля,если химические потенциалы(и/или темпера туры)резервуаров различны.Из условия унитарности( 3.47) следует , что величина

Iα(V )(t) удовлетворяет такому же закону сохранения,

!Nr

Iα(V ) (t) = 0 ,

(5.3)

α = 1

что и постоянный ток,смотри( 1.48).Тот факт,что Iα(V )(t) удовлетворяет закону сохранения( 5.3) оправдывает выделение этой части из полного тока Iα(t) и позволяет связать источник возникновения этой части тока с нали - чием разности потенциалов(температур)между электронным и резервуара - ми.

168

5.1.Адиабатический переменный ток

Второе слагаемое в выражении( 5.1),

			∞		Nr
	∂		0		!	dNαβ(t, E)
Iα(Q) (t) = −e			ˆ	dE	fβ (E)			,	(5.4)
	∂t					dE
					β=1

есть часть тока,обусловленная изменением со временем заря да Q(t) рассеивателя.В этом выражении мы ввели квазистационарную частичную плотность состояний,

dNαβ(t.E)

i

6Sαβ(t, E)

∂S

(t, E)

∂Sαβ(t, E)

Sαβ(t, E)7

=

αβ

−

, (5.5)

dE

4π

∂E

∂E

которая выражается через элементы квазистационарной матрицы рассея-

ния ˆ таким же образом,как и частичная плотность состояний стаци -

S(t, E)

онарного образца выражается через его матрицу рассеяния,с мотри[ 34].

Складывая токи Iα(Q) во всех проводниках,получим закон сохранения заряда в следующем виде,

Nr
!	∂Q (t)
Iα(Q) (t) +		= 0 ,	(5.6)
α=1	∂t

где заряд,локализованный на рассеивателе,равен:

∞		Nr Nr
0		! !	dNαβ (E, t)
Q (t) = e ˆ	dE	fβ (E)	dE	.	(5.7)
		α=1 β=1

Строго говоря в уравнение( 5.6) должен входить полный ток Iα. Однако , как следует из( 5.3) и (5.10),ни Iα(V )(t), ни Iα(gen)(t) не вносят вклад в рассматри-

ваемое уравнение.Это позволяет трактовать величину Iα(Q)(t) как ток,обусловленный изменением заряда рассеивателя.

Как мы видим составляющие тока Iα(V ) и Iα(Q) могут быть объяснены на основе характеристик(проводимость и плотность состоян ий),которые

169

5.Генерирование переменного тока

присущи стационарному рассеивателю.Для описания же треть ей составляющая тока,

∞		Nr
0		!	dIαβ (t, E)
Iα(gen) (t) = ˆ	dE	fβ (E)	dE	,	(5.8)
		β=1

являющейся током,генерируемый динамическим рассеивател ем в проводнике α, необходимо ввести характеристику , отсутствующую в стационарном случае,а именно, [ 32]

dIαβ		e	A	B	1		>	?
dE	=	h	-2!Ω0Re SαβAαβ	+	2	P	Sαβ , Sαβ		.,	(5.9)

которая называется частичная спектральная плотность тока. Эта величина показывает,какой поток генерируется динамическ им рассеивателем по направлению из резервуара β в резервуар α.

Генерируемый ток Iα(gen)(t) удовлетворяет закону сохранения,

!Nr

Iα(gen) (t) = 0 ,

(5.10)

α=1

непосредственно вытекающему из следующего свойства частичной спектральной плотности тока,

	!
	Nr	dIαβ(t, E)	= 0 ,	(5.11)
	α=1	dE

которое говорит,что здесь нет никаких внутренних источник ов заряда (смотри раздел 4.2) : рассеиватель берет ток dIαβ(E)/dE, втекающий из проводника β, и ( фермиевская функция распределенияfβ(E) в выражении (5.8) показывает при каких энергиях имеются фактические потоки частиц)и перераспределяет его между остальными контактами α %= β, смотри раздел

4.2.

170

5.1.Адиабатический переменный ток

Для доказательства тождества( 5.11) воспользуемся диагональным элементом матричного выражения( 3.52),

	Nr	>	?	<Sˆ†, Sˆ=ββ ,
	!
4!Ω0	α=1 Re	SαβAαβ	= P		(5.12)

и получим ,

2h

Nr

dIαβ

=

4!Ω0

Nr

Re Sαβ

Aαβ

+

Nr

P Sαβ , Sαβ

?

!

!

>

?

!

>

e α=1

dE

α=1

α=1

=

P <Sˆ†, Sˆ=ββ − P

<Sˆ†, Sˆ=ββ

= 0 .

Если величину dIαβ/dE просуммировать по всем входящим каналам рассеяния(индекс β),то получим спектральную плотность тока,генерируемого в проводнике α,

dIα

!

e

!

>

?

!

>

?

Nr

dIαβ

Nr

Nr

dE =

e

e

+ β=1 P Sαβ , Sαβ

β=1

dE

= 2h 4!Ω0 β=1 Re Sαβ

Aαβ

=

)P <Sˆ , Sˆ†=αα + P <Sˆ , Sˆ†=αα* =

P <Sˆ , Sˆ†=αα ,

2h

h

что совпадает с( 4.20).

Наличие генерируемого

тока Iα(gen)(t)

существенно

связано с

ано-

мальной матрицей

ˆ

A(t, E), нарушающей симметрию динамического рас -

сеяния относительно инверсии направления движения,сравн и (3.57) и

(3.58).Заметим,что для точечного рассеивателя					ˆ	ˆ
					A = 0, смотри (3.85),и
>	?	Iα	= 0
P Sαβ, Sαβ		= 0, что проверяется непосредственно с использованием вы -
ражения( 3.84),следовательно, (gen)				. Поэтому , в отсутствие напряже -

ния,когда Iα(V ) = 0, ток динамического точечного рассеивателя обусловлен

171

5.Генерирование переменного тока

только изменением во времени его заряда, Iα(t) = Iα(Q)(t). Для произволь - ного же динамического рассеивателя,контакты которого име ют одинаковые

потенциалы и температуры, fα(E) = f0(E), α, ток Iα(t) = Iα(Q)(t) + Iα(gen)(t) может быть записан в таком виде,

ie Iα(t) = − 2π

0	-		.	LSˆ(t, E)
∞		(E)
ˆ	dE −	∂f0
		∂E

M

ˆ†

∂S (t, E)

∂t

, (5.13)

αα

что является обобщенной записью формулы Бьюттикер–Томас–Претр

(Buttiker¨ –Thomas–Pretre)ˆ [34].

5.2.Ток при наличии внешнего переменного напряжения

Вычислим ток,протекающий через динамический мезоскопиче ский рассеиватель в том случае,когда к резервуарам приложено пе риодическое

напряжение Vαβ(t) = Vαβ(t + T) ≡ Vα(t) − Vβ(t). Особенность этого случая состоит в том,что периодические токи,возникающие под дейс твием напря-

жения Vαβ(t) интерферируют с токами Iα(gen)(t), генерируемыми самим рас - сеивателем,что приводит к появлению дополнительного,так называемого

интерференционного, вклада в ток .

Итак,пусть к резервуарам приложены потенциалы,изменяющи еся с той же частотой,что и параметры рассеивателя,

Vα (t) = Vα cos (Ω0t + φα) , α = 1, . . . , Nr .

(5.14)

Мы будем придерживаться того подхода к транспортным явлениям в фазово-когерентных системах[ 86, 87],согласно которому периодический во времени потенциал Vα(t) электронного резервуара,рассматривается как пространственно однородный и учитывается в фазе волновой функции электрона.При этом химический потенциал µα, входящий в функцию рас - пределения fα(E), остается постоянным и не зависит от Vα(t).

172

5.2.Ток при наличии внешнего переменного напряжения

При наличии однородного в пространстве потенциала Vα(t), уравнение Шредингера,

	i!	∂Ψα	= H0,αΨα + eVα (t) Ψα ,	(5.15)
		∂t

может быть проинтегрировано по времени.При этом волновая ф ункция электрона может быть записана в следующем виде,смотри разд ел 3.1.3,

−i!−1	t
	−∞ dt!eVα(t!)	,	(5.16)
Ψα = Ψ0,α e	´

где Ψ0,α есть решение уравнения( 5.15) с Vα(t) = 0. Такое решение , соответ - ствующее энергии E, имеет вид ,

Ψ0E,α = e−iE! t ψE,α (0r) .

(5.17)

Для потенциала Vα(t), задаваемого выражением (5.14) с eVα > 0, волновая функция( 5.16),соответствующая энергии E, равна ,

	E	!		e−inφαJn -	eVα	.e−inΩ0t ,
		∞
ΨE,α = e−i	! tψ¯E,α (0r) n=		−∞		!Ω0

где мы использовали следующий ряд Фурье,

	∞
	!
e−iX sin(Ω0t+φα) =	Jn (X) e−in(Ω0t+φα) ,
	n=−∞

(5.18)

(5.19)

и включили константу ,C = eieVα/(!Ω0) sin(Ω0t!+φα)|t!=−∞, из выражения (5.16) в

¯
функцию ψE,α (0r) = CψE,α (0r).
Волновая функция ΨE,α имеет вид функции Флоке,смотри(		3.22) и
(3.27).Особенностью является то,что координатная часть	¯	зависит
	ψE,α

только от энергии Флоке E и не зависит от номера n. Поэтому , волновая функция Флоке нормирована таким же образом как и стационарная волновая функция ψE,α :

173

5.Генерирование переменного тока

ˆ	d3r |ΨE,α|2 = ˆ	d3r |ψE,α|2 .	(5.20)
Действительно,используя следующее свойство функций Бесс еля,
	∞
	!		(5.21)
	Jn(X) Jn+q(X) = δq0 ,

n=−∞

получим из( 5.18),

|ΨE,α|2 = |ψE,α|2 !∞ !∞ e−i(n−m)φα e−i(n−m)Ω0tJn (X) Jm (X)

n=−∞ m=−∞

= |ψE,α|2 !∞ eiqφα eiqΩ0t !∞ Jn (X) Jn+q (X) = |ψE,α|2 . q=−∞ n=−∞

Здесь мы обозначили X = eVα/(!Ω0), m = n + q и дополнительно учли , что |C|2 = 1. Таким образом , в состоянии , описываемом волновой функцией Флоке ΨE,α, также как и в стационарном состоянии , описываемом волновой функцией ψE,α, может находиться не более одного электрона .

Измеряя энергию электрона в состоянии ΨE,α, можно получить любое из значений En = E + n!Ω0 с вероятностью Jn2(eVα/!Ω0). Однако средняя энергия E[ΨE,α] равна энергии E соответствующего стационарного состояния Ψ0E,α,

∞	∞	∞	,
!	!	! +
E [ΨE,α] =	EnJn2 = E	Jn2 + !Ω0 n Jn2	− J−2 n = E .
n=−∞	n=−∞	n=1

Поэтому,функция распределения,определяющая заполнение состояний ΨE,α, будет функцией распределения Ферми , аргументом которой вляется энергия Флоке E.

174

= e−iEt/!

5.2.Ток при наличии внешнего переменного напряжения

5.2.1.Операторы вторичного квантования для первичных и рассеяных электронов

Введем операторы рождения ˆ)† и уничтожения ˆ) для элек- a α (E) a α (E)

тронов в Флоке-состояниях ΨE,α. Эти операторы удовлетворяют анти - коммутационным соотношениям( 1.30).Среднее от произведения этих операторов выражается через функцию распределения Ферми,кот орая,как мы показали,зависит только от энергии Флоке,

Caˆ)α† (E) aˆ)β (E))D = δαβ δ (E − E)) fα (E) .

(5.22)

Строго говоря задачу рассеяния необходимо формулировать для состояний ΨE,α, налетающих на рассеиватель . Однако , при выполнении усло - вия( 3.29) и , если амплитуда осцилляций потенциала мала´ ,

eVα - E ,

(5.23)

то рассеяние компонент волновой функции ΨE,α, соответствующих различ - ным энергиям En, будет происходить независимо друг от друга . Поэтому , следуя подходу,предложенному в работе[ 87],мы,как и прежде,будем рассматривать рассеяние электронов в состояниях с фиксированной энергией.

Мы будем считать,что потенциал Vα(t) действуют только на резервуар α и отсутствует в проводнике α, соединяющем этот резервуар с рассе - ивателем.Тогда в проводнике электроны описываются волнов ой функцией с фиксированной энергией.Для налетающих электронов в пр оводнике α это Ψ(αin) ψα(in), где ψα(in) приведена в( 1.33).Следует сказать,что в резервуаре существует множество Флоке-состояний ΨE!,α, которые имеют компоненты с энергией E. Для таких состояний энергия Флоке E) должна отличаться от рассматриваемой энергии E на целое число квантов !Ω0. Например,если E) = E + n!Ω0, то компонента такого Флоке - состояния с энергией E−) n будет иметь энергию E, поскольку ,

E−) n = E) − n!Ω0 = E + n!Ω0 − n!Ω0 = E .

175

5.Генерирование переменного тока

Все такие Флоке-состояния будут вносить вклад в состояние Ψ(αin) в про - воднике.Поэтому,операторы aˆ†α (E)/aˆα (E) рождающие/уничтожающие

электрон в проводнике α в состоянии Ψ(αin), будут выражаться через опе - раторы aˆ†α (En)/aˆα (Em) рождающие/уничтожающие электрон в резервуаре α, следующим образом ,

	!			e−imφα Jm -			eVα		.aˆ)α (E − m!Ω0) ,
aˆα (E) =	∞
	m=						!Ω0
			−∞							(5.24)
	!
						eVα				†
	∞			inφα
aˆα† (E) =	n=	−∞		e	Jn -	!Ω0		.aˆ)		α (E − n!Ω0) .

В эти соотношения не входят координатные части соответствующих волновых функций,которые,как мы всегда предполагаем,одинак овы в месте соединения резервуара с проводником(условие адиабатичес кого соединения).

Операторы aˆ) – это операторы для электронов в резервуарах.Такие операторы по-определению удовлетворяют анти-коммутационным соотношениям( 1.30).Покажем,что и операторы для частиц в проводниках, aˆоператоры( 5.24),тоже удовлетворяют анти-коммутационным соотношениям( 1.30).С учетом соотношения( 5.21) получим :

>

aˆ†α (E) , aˆβ

!∞

= δαβ

l=−∞

?

! !

eVα

eVβ

∞

∞

(E)) = n=

−∞

m=

eiφαn e−iφβmJn -

!Ω0

.Jm

-

!Ω0

.

−∞

×

<aˆ)α† (E − n!Ω0) , aˆ)β (E) − m!Ω0)=

!

eVα

eVα

∞

eiφαlδ (E − E) − l!Ω0) n=

−∞

Jn -

!Ω0

.Jn−l -

!Ω0

. =

176

	5.2.Ток при наличии внешнего переменного напряжения
	∞
	!
= δαβ	eiφαlδ (E − E) − l!Ω0) δl0 = δαβδ (E − E)) ,
	l=−∞
где мы сделали замену переменных l = n − m.
Вычислим функцию распределения						˜	для элек-
тронов в проводнике:				-		fα (E) = Iaˆα† (E) aˆα (E)J
	!				eVα	.fα (E − n!Ω0) .
	∞
	f˜α (E) = n=	−∞	Jn2		!Ω0		(5.25)

Видим,что это неравновесная функция распределения.Нерав новесное распределение по энергии возникает в силу того,что при переход е электрона из резервуара в проводник изменяются условия:исчезает осц иллирующий потенциал.В тоже время отсутствуют релаксационные процес сы,которые могли бы способствовать переходу электронной системы в равновесное состояние.

Несмотря на неравновесность электронов,движущимися из ре зервуара к рассеивателю,ток Iα(in), который они переносят , не зависит от характе -

ристик осциллирующего потенциала,амплитуды Vα и частоты Ω0. Ток Iα(in) не зависит от времени и совпадает по величине с равновесным током:

∞

∞

∞

eVα

e

e

Iα(in) = −

ˆ

dE f˜α (E) = −

ˆ

!

Jn2 -

.fα (E − n!Ω0)

h

h

dE n=

−∞

!Ω0

0

0

(5.26)

∞

∞

∞

eVα

e

e

= −

ˆ

!

Jn2

-

. = −

ˆ

h

dE fα (E) n=

!Ω0

h

dE fα (E) .

0

−∞

0

В приведенном выражении в начале второй строки мы выполнили сдвиг E → E + n!Ω0 под знаком интегрирования по энергии и,как всегда,учли, что только вклад частиц с энергией E µ существенен для тока.Поэтому, мы пренебрегли изменением нижнего предела интегрирования, E 0, при указанном сдвиге.

177

5.Генерирование переменного тока

Далее выразим операторы рождения/уничтожения ˆ /ˆ† для электро- bα bα

нов,рассеянных в проводник	α, через операторы aˆ)β/aˆ)β† электронов в ре-
зервуарах.Связь операторов	ˆ
	bα с операторами aˆβ для электронов,налетаю-

щих на рассеиватель,дается выражениями( 3.32).Используя соотношения (5.24),окончательно получим:

! ! !

-

eVδ

.aˆ)δ (E−p!) ,

Nr

∞

∞

!

!

ˆbα (E) = δ=1 n!=

−∞

p!=

SF,αδ (E, En!) e−i(n

+p

)φδ Jn!+p!

!Ω0

−∞

(5.27)

! !

!

eVγ

†

Nr

∞ ∞

i(n+p)φγ

ˆbα† (E) = γ=1 n=

−∞

p=

−∞

SF,

αγ (E, En) e

Jn+p

-

!Ω0

.aˆ)

γ

(E−p).

Эти операторы,как и должно быть для фермиевских операторов , удовле - творяют анти-коммутационным соотношениям.Покажем это:

<ˆbα† (E) , ˆbβ (E))=	Nr Nr			∞		∞	∞ ∞
	!!			! ! ! !
	= γ=1 δ=1 n=−∞ p=−∞ n!=−∞ p!=−∞ ei(n+p)φγ e−i(n!+p!)φδ
		eVγ			-	eVδ
×Jn+p -			.Jn!+p!				. SF,αγ (E, En) SF,βδ (E), En) !)
		!Ω0				!Ω0

<ˆ)† ˆ) ) ) =

× a γ (E − p!Ω0) , a δ (E − p !Ω0) .

Принимая во внимание,что

<ˆ)† ˆ)† ) ) = ) )

a γ (E − p!Ω0) , a δ (E − p !Ω0) = δγδ δ (E − E + (p − p) !Ω0) ,

поступим следующим образом.Используем δγδ и выполним суммирование по δ. Далее , учтем наличие дельта - функции Дирака для энергии иместов E)

178

5.2.Ток при наличии внешнего переменного напряжения

будем писать E) = E + (p) − p) !Ω0 ≡ Ep!−p. Вместо p) введем m = p) − p,

вместо n) введем k = n−n) −m и,наконец,вместо				p введем q = n+p. После
этого получим:
<ˆbα† (E) , ˆbβ (E))=	Nr	∞		∞	∞
	! !			! !
	= γ=1 m=−∞ δ (E − E) + m!Ω0)n=−∞ k=−∞SF,αγ (E, En)
		!		Jq -	eVγ			eVγ
		∞
	×eikφγ SF,βγ (Em, En−k) q=				!Ω0	.Jq+k	-	!Ω0	..
			−∞

Используя свойство( 5.21) функций Бесселя , упростим вышеприведенное выражение:

<ˆbα† (E) , ˆbβ (E))= =	Nr	∞
	! !
	γ=1 m=−∞ δ (E − E) + m!Ω0)

!∞

×SF,αγ (E , En) SF,βγ (Em , En) .

n=−∞

Наконец,учтем условие унитарности( 3.28b) матрицы рассеяния Флоке и получим искомое условие анти-коммутативности для операторов рассеянных частиц:

<

=

ˆ†

ˆ

)

)

) δαβ .

(5.28)

bα (E) , bβ (E

) = δ (E − E

Приведем

для

справок выражение

для

функции распределения

fα(out) (E) = Cˆbα† (E) ˆbα (E)D

рассеяных частиц: [32]

fα(out) (E)

=

Nr

∞

∞

Sαγ (E, En) Sαγ (E, En!) ei(n−n!)φγ

! ! !

γ=1 n=−∞ n!=−∞

(5.29)

!

Jn+p -

eVγ

eVγ

∞

×p=

.Jn!+p -

. fγ (E − p!Ω0).

−∞

!Ω0

!Ω0

179

5.Генерирование переменного тока

Отметим,что приведенное выражение является действительн ым,несмотря не присутствие комплекснозначных множителей.Для того,чт обы показать это необходимо вычислить комплексно сопряженное выражение и сделать в нем несущественную замену n ↔ n). После этого видно , что комплексно сопряженное выражение совпадает с исходным выражением.

5.2.2.Переменный ток

Подставим( 5.24) и (5.27) в (3.34) и с учетом (3.33a) получим выра -

жение для оператора тока ˆ . Далее , выполним квантово - статистическое

Iα(t)

усреднение по равновесному состоянию резервуаров с учетом (5.22) и по -

C D

лучим следующее выражение для тока ˆ :

Iα(t) = Iα(t)

!∞

Iα (t) = e−ilΩ0t Iα,l , (5.30a)

l=−∞

		∞			Nr	∞		∞	!
	e
Iα,l =		ˆ dE 8			! ! !				ei(n−n −l)φγ Sαγ (E, En) Sαγ (El, En!+l)
	h					!		=−∞
0					γ=1 n=−∞ n						(5.30b)
		∞				eVγ
										eVγ
!				Jn+p -			.Jn!+l+p -				. fγ (E − p!Ω0) − δl0fα (E)9.
	×p=		−∞			!Ω0				!Ω0

Преобразуем это выражение так,чтобы оно содержало разност ь функций распределения Ферми.Для этого используем выражения( 3.28), (5.21) и по - лучим для гармоники тока:

180

5.2.Ток при наличии внешнего переменного напряжения

∞

Nr

∞

fγ (E p!Ω0) fα (E)

∞

∞

ei(n−n!−l)φγ

Iα,l = e ˆ dE

! !

! !

h 0

γ=1 p=−∞ {

−

−

} n=−∞ n!=−∞

(5.31)

(E, En) Sαγ (El, En!+l) Jn+p -

eVγ

eVγ

×Sαγ

.Jn!+l+p -

..

!Ω0

!Ω0

Полученное выражение удобно для использования в адиабатическом режиме,когда можно выполнить разложение по степеням частоты Ω0.

5.2.3.Постоянный ток

Более компактное выражение может быть получено для постоянной составляющей тока, l = 0. Прежде всего запишем элементы матрицы

рассеяния Флоке через Фурье коэффициенты матрицы ˆ , смотри

Sout(E, t)

(3.59b):

Sαγ (E, En!) = Sout,αγ,−n! (E) , Sαγ (E, En) = Sout,αγ,−n (E) .

Далее,используя ряд( 5.19),выразим функции Бесселя через Фурье коэффициенты экспоненциальной функции,зависящей от осциллир ующих потенциалов Vγ(t) резервуаров:

Jn!+p -		. = e		e	t	!
	eVγ		i(n!+p)φγ		−i!−1 −∞ dt!eVγ(t!)
	!Ω0				´		,
						n	+p

Отметим,что нижняя граница при интегрировании по t) не существенна,поскольку она не влияет на значение соответствующего коэффициента Фурье. Подставляя полученные выражения в( 5.31) и выполняя суммирование по n и n) с использованием следующих свойств коэффициентов Фурье ,

181

5.Генерирование переменного тока

∞						∞
!						!		) (B )		= (A B )	, (5.32)
A	−n	!B	p+n	! = (AB)	p	(A	−n		−p−n
n!=−∞						n=−∞				−p

окончательно получим следующее выражение для постоянного тока,который течет в проводнике α: [36]

		∞	dE		Nr	∞	fβ (E p!Ω0) fα (E)
Iα,0 = e ˆ					!
						!
	h					{		−	−		}
0					γ=1 p=−∞						(5.33)
×@					t				@	2
@									p@
				−i!−1 −∞ dt!eVγ(t!)					(E, t) @ .
		@ e			´		Sout,αγ
		@							@
@									@
@									@

Как видим,наличие осциллирующих потенциалов в резервуара х может быть учтено путем введения дополнительного фазового множителя в элементах матрицы рассеяния.Учитывая же,что,как следует из в ыражения (4.13),фаза матрицы рассеяния определяет генерируемый ток,мож но предположить,что осциллирующие потенциалы резервуаров будут модифицировать генерируемый ток.

5.2.4.Постоянный ток в адиабатическом приближении

Для того,чтобы прояснить влияние потенциалов Vβ(t) на постоянный ток Iα,0 рассмотрим адиабатический предел, 2 - 1, и ограничимся линей - ным по амплитудам осциллирующих потенциалов случаем,

|eVβ| - !Ω0 - δE , β ,

(5.34)

где величина δE определена после выражения( 3.49).Будем также считать выполненными условия( 4.1).

182

5.2.Ток при наличии внешнего переменного напряжения

Разложим разность функций распределения Ферми в выражении (5.33) в ряд по степеням частоты ,

f0 (E − p!Ω0) − f0 (E) ≈ -−	∂f0	.p!Ω0		p2 (!Ω	)2 ∂2f0
			+	0				.	(5.35)
	∂E			2			∂E2

Несмотря на то,что нас интересует линейный по Ω0 ток,в приведенном разложении мы удерживаем квадратичные члены.Они необходимы, поскольку наличие фазовых множителей,зависящих от потенциалов ре зервуаров Vγ(t)), приводит к появлению множителя Ω−0 1.

Подставим разложение( 5.35) в выражение (5.33) и выполним сумми - рование по p. При этом учтем адиабатическое разложение (3.61b) для мат -

ˆ

рицы рассеяния Sout и удержим в ответе только члены линейные по Vγ(t) и

по Ω0. Для сокращения записи обозначим Υγ(t) = exp

6−

i

t

dt)eVγ (t))7.

−∞´

!

Итак,линейный по частоте член в( 5.35) приводит к следующему :

!

T

dt

∂

+

,

2

∞

Ω0p

@

(Υγ Sout,αγ)p

@

=

i! ˆ

Υγ Sout,

αγ

!

T Υγ Sout,αγ

T

@

@

n=−∞

@

6

@

−

0

∂t

0

dt

i

!

∂

2

Sαγ

∂2S

αγ

= ˆ

eVγ

(t) |Sαγ |2

−

L

Sαγ − Sαγ

M

T

2

∂t∂E

∂t∂E

A

B

7

T

dt

∂S

+

,

0

αγ

+ 2!Ω0 Re SαγAαγ

− i! ˆ

Sαγ

+ O

Ω02 .

T

∂t

А квадратичный по частоте член в (5.35) приводит к такому выражению ,

∞

T

dt ∂

∂

+

,

2

!

@

(Υγ Sout,αγ)p

@

= ˆ

T

(Υγ Sout,αγ)

Sout,

Ω02p2

Υγ

αγ =

@

@

n=−∞

@

@

0

∂t

∂t

183

5.Генерирование переменного тока

	i	T	dt			∂Sαγ			∂S	+	,
		0
									αγ
=		ˆ			6		Sαγ			7 + O	Ω02 , Vγ2 .
				eVγ (t)				− Sαγ
	!		T			∂t			∂t

Полученное выражение входит в ток( 5.33) с множителем ∂2f0/∂E2. Про - интегрируем это выражение по энергии по частям и получим,

∞

2

f0 (E)

∂Sαγ

∂S

∂

αγ

ˆ

dE

6

Sαγ − Sαγ

7

∂E2

∂t

∂t

0

×8

2

Sαγ

∂2S

∂Sαγ

∂

Sαγ − Sαγ

αγ

+

∂t∂E

∂t∂E

∂t

∞				∂f0 (E)
= ˆ		dE -−						.
						∂E
0
∂S			∂Sαγ			∂S
αγ						αγ
		−					9		,
∂E			∂E			∂t

где мы учли,что ∂f0/∂E|E=∞ = 0 и ∂f0/∂E|E=0 = 0. Заметим , что послед - нее равенство справедливо при температурах kBT - µ.

С учетом сделанных преобразований представим ток Iα,0 с точностью до членов линейных по Ω0 и по Vγ как сумму трех слагаемых: [32]

Iα,0 = Iα(pump,0

) + Iα(rect,0

) + Iα(int,0

) .

(5.36a)

Здесь ток Iα(pump,0 ), генерируемый динамическим рассеивателем в отсут - ствие осциллирующего во времени напряжения,определяется выражением (4.10).Следующее слагаемое,выпрямленный ток,

(rect)		e2	∞	dE -−	∂f0 (E)	.	T	dt	Nr
			0				0		!	(5.36b)
Iα,0	= h				∂E
			ˆ				ˆ	T γ=1 Vγ (t) |Sαγ (E, t)|2

появляется в результате выпрямления переменных токов,тек ущих под влиянием осциллирующих потенциалов Vγ(t), на рассеивателе , сопротивление которого изменяется со временем.Сосуществование выпрямл енного и генерированного токов рассматривалось теоретически[ 88, 61, 89, 90, 91] и изучалось экспериментально[ 73, 74].

184

5.2.Ток при наличии внешнего переменного напряжения

И,наконец,последнее слагаемое,интерференционный вклад ,

(int)

e2

∞

∂f0

T dt

Nr

0

0

!

Iα,0

=

dE -−∂E

.

h ˆ

ˆ

T γ=1 Vγ(t)

A

B

>

?

(5.36c)

1

×-2!Ω0Re Sαγ

Aαγ +

P Sαγ Sαγ ..

2

есть результат взаимного влияния(интерференции)токов,г енерируемых динамическим рассеивателем,и токов,вызванных переменны м напряжени - ем.Эта часть тока обладает особенностями как генерируемог о тока ( про - порциональна частоте Ω0),так и выпрямленного тока(пропорциональна потенциалам Vγ резервуаров).

С физической точки зрения выделение трех слагаемых в выражении (5.36a) оправдано тем , что каждое из слагаемых по - отдельности удовлетворяет закону сохранения постоянного тока( 4.11):

Nr
α!
Iα(x) = 0 , x = pump, rect, int .	(5.37)
= 1
Проанализируем условия,необходимые для существования ук	азанных

вкладов.Как мы показали ранее,см. ( 4.8),вклад Iα(pump,0 ) отсутствует,если квазистационарная матрица рассеяния симметрична относительно инверсии времени:

ˆ	ˆ	(5.38)
S(t, E) = S(−t, E) .

Покажем,что выпрямленный ток Iα(rect,0 ) зависит,фактически,только от разности потенциалов Vγα (t) = Vγ (t) − Vα (t) и исчезает , когда потенциа - лы всех резервуаров совпадают,

Vγ(t) = V (t) , γ .

(5.39)

185

5.Генерирование переменного тока

Для этого учтем унитарность матрицы рассеяния,см. ( 3.47),откуда следует,

что "Nr |Sαγ (t, E)|2 = 1. Кроме того из условия периодичности потенциа -

γ=1

лов следует,что ´0T dt Vα (t) = 0. Используя эти два условия , вычислим :

T	dt	!γ
0
ˆ	T	Vα (t) |Sαγ (t, E)|2 = 0 .
		=1

И,наконец,вычитая полученное тождество из выражения( 5.36b),получим искомое выражение,

	T	dt	!	<
Iα(rect) =	ˆ		Gαγ (t)		Vγ (t)	−	Vα (t) ,	(5.40)
		T
	0		γ=1				=

где элементы матрицы кондактанса для квазистационарного рассеивателя определены по аналогии со случаем стационарного рассеивателя,см. ( 1.54):

		∞	dE -−	∂f0 (E)	.|Sαγ (t, E)|2.
	Gαγ (t) = G0	ˆ				(5.41)
				∂E
		0

Последний,интерференционный вклад Iα(int,0 ) в ток имет ту особенность , что он присутствует даже при выполнении условия( 5.39).В этом случае выражение( 5.36c) принимает такой вид :

(int)

e2 ∞

∂f0

T

dt

<

=

0

Iα,0

=

0

dE -−∂E .

T V (t) P

Sˆ (t, E) , Sˆ† (t, E)

h ˆ

ˆ

αα . (5.42)

При переходе от( 5.36c) к (5.42) мы выполнили суммирование по γ с учетом следующего равенства

	Nr	>	?	<S,ˆ Sˆ†=αα .
	!
4!Ω0	γ=1 Re	SαγAαγ	= P		(5.43)

186

5.2.Ток при наличии внешнего переменного напряжения

Для получения этого тождества необходимо домножить матричное уравне-

ние( 3.52) слева на ˆ и справа на ˆ† и взять диагональный элемент преоб -

S S

разованного уравнения.

Интерференционный вклад( 5.42) в генерируемый ток может суще - ствовать даже тогда,когда выполнено условие( 5.38) и динамический рас - сеиватель сам по себе не генерирует ток, Iα(pump,0 ) = 0. При этом для того ,

чтобы Iα(int,0 ) =% 0, необходимо , чтобы потенциалV (t) был сдвинут по фазе относительно зависящих от времени параметров рассеивателя pi(t).

Таким образом,анализируя способности системы(а именно,р ассеиватель плюс резервуары)генерировать постоянный ток, Iα,0 %= 0, необходимо учитывать фазы всех изменяющихся во времени величин как параметров рассеивателя,так и(возможно присутствующих)осциллирую щих потенциалов резервуаров.

187