Filimonov_KONSPEKT_TMM

41

y K /	K
wj1	A
1

	x
f	f/
3	3

B

Рис. 2.19.

Условно положительной будем считать такую сборку, которая дает меньший из двух ϕ3 .

2.18. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ВХОДНЫХ И ВЫХОДНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Входное звено: ϕц = 2π , выходное звено: 2Н – ход выходного звена за

кинематический цикл.

ω1cp - средняя угловая скорость,

V cp - средняя скорость выходного звена,

Vpcp.x. - средняя скорость выходного звена на рабочем ходу.

V cp

+V cp

,

Vвыхср

=

px

xx

2

ϕц

t

ц

=

=

2 Н

ωср

V cp

V cp

ϕц

π V cp

ω cp =

=

(2.16)

1

2H

H

V [м/ с], н [м], ω1 [рад/ с].

Если в техническом задании вместо средней скорости за цикл Vцср , задана средняя скорость рабочего хода Vрср.х. , то выражение () примет вид:

	π V cp
ωcp =		px			(2.17)
1			1
	H 1	+
			k

42

3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ

3.1. ЗАДАЧИ КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Первая задача: определение положений звеньев механизма или точек на этих звеньях.

Положение звена определяется углом между положительным направлением оси абсцисс и линией звена, проходящей как ось между его шарнирами, или осью симметрии прямолинейной части звена.

Положение точки определяют в абсолютной системе координат с началом на оси кривошипа.

Для решения задачи должны быть известны все размеры механизма. Задача решается для заданной входной координаты.

Вторая задача: определение угловых скоростей звеньев и линейных скоростей точек на этих звеньях.

Для решения используются данные предыдущей задачи, а также законы движения входных звеньев:

ω1 = ω1 (ϕ),

ω1 = ω1 (t).

	3.2.
	Движение
прерывное		непрерывное
	по реверсивности
	в оба возможных направления
реверсивное		нереверсивное
	по характеру закона движения
- скорость постоянна	- скорость периодически	- изменение скорости на
(равномерное)	изменяется	периодическое
J	(установившееся)	(переходное)
	J	J
t	t	t

Выстой – кратковременная или длительная остановка входного звена. Мгновенная остановка на считается выстоем.

Периодическое движение – закономерное, непериодическое – незакономерное.

Следящее движение входного звена – движение около какого-либо заданного положения (реверсивное), отслеживающее (и может быть

43

регулирующее) какой-либо параметр системы. Следящее движение – сообразное с изменением этого параметра (воздуховод-задвижка).

Прим. Следящий гидропривод – отслеживает давление или расход гидросистемы. Конструктивно представляет собой реверсивное движение плунжера золотника, регулирующий поток жидкости.

Приводы:

-электрические,

-ДВС,

-гидродвигатели,

-паровая турбина,

-пневмодвигатели.

Наиболее сложные режимы обеспечивают гидро- и пневмодвигатели.

3.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Для решения задач кинематического анализа
аналитический					графический
Составляются		аналитические		Организован методом			планов.
уравнения или	системы		уравнений	Для первой задачи изображается план
описывающих положение звеньев или				кинематической схемы в			заданном
их движение.				масштабе, для второй и третьей
Уравнения	решаются		на ПК	строятся	планы	скоростей		и
(численно)		или	методом	ускорений,	которые	представляют
математического анализа.				собой спектры векторов, наглядно
				показывающих		распределение
				скоростей и ускорений в заданных
				положениях механизма.

3.3.1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Основным методом принят метод замкнутых векторных контуров, в котором кинематическая схема механизма (рычажного) заменяется совокупностью последовательно присоединенных векторов, образующих замкнутый контур. Векторная сумма равна нулю в любом положении механизма.

Проектируя векторное уравнение на оси координат получаем либо систему двух уравнений либо два независимые уравнения.

Рассмотрим данный метод на примере кривошипно-ползунного механизма. Изобразим в произвольном положении (рис. 3.1.).

44

	y
A	f	x
	1	e
Y
X0	O	Dy
		B
		Y0

Q

B /

X

Рис. 3.1.

YOX – глобальная система координат. xoy – абсолютная система координат.

θ – угол между глобальной осью Х и абсолютной осью х.

Все размеры в механизме заданы, определен вариант сборки и задана входная скорость и входное ускорение.

Определим кинематические характеристики выходных звеньев 2 и 3. Представим рычажный механизм в произвольном положении системой

замкнутого векторного контура. Определим положение звеньев в абсолютной системе координат.

Под эксцентриситетом будем понимать расстояние от кривошипа до оси симметрии направляющей.

∆y – положение между точкой В и осью симметрии направляющей. Изобразим в виде системы векторов (рис. 3.2.).

y	f	x
	1

e

Dy

Рис. 3.2.

lб – базовый вектор.

Мы перешли к замкнутому векторному, контуру, который замкнут в любом положении.

(3.1)

l1 +l2 +l3 +l4 = lб

Спроектируем уравнение (3.1) на оси абсолютных координат:

ось ох: l1

cosϕ1 +l2 cosϕ2

+l3 cosϕ3 +l4 cosϕ4

= xВ

(3.2)

ось оу: l1

sinϕ1 +l2 sinϕ2

+l3 sinϕ3 +l4 sinϕ4 = 0

45

ϕ3 = ±900 ; ϕ4 = ±900 ,

±в этих выражениях означает варианты положения точки В и знака эксцентриситета.

Перепишем с учетом этого (3.2)

	l1 cosϕ1 +l2 cosϕ2			= xВ						(3.3)
				(3)		(3)
	l1 sinϕ1 +l2 sinϕ2			+ sign(∆y)+ sign(e)					= 0
sign (y) – функция, которая может иметь три значения:
	+1
sign(y)=	(3)
	0 = sign(y) - кубический сигнум;
	−1
	(2)
sign(y)= +1 = sign(y) - квадратный сигнум.
	−1
m – число решений при одном аргументе:
m = 3n(3)	2n(2) ,
n – количество кубических и квадратных сигнумов.
Из выражения (3.3) получим φ2:
	ϕ2 = (−1)	k		l1 sinϕ1 + ∆y	*	+ e	*
									+πk	(3.4)
			arcsin −
				l2

При М = +1 → k = 0 ,

М = −1 → k =1 .

Анализируя (3.4) отметим количество возможных решений: mϕ2 = 3 2 2 1 =12 .

При одной и той же величине φ1 получим двенадцать решений φ2. Положение точки В в абсолютных координатах определим с помощью

первого уравнения в формуле (3.2):

хВ = l1 cosϕ1 +l2 cosϕ2

Так как mϕ2 =12 , то mxB =12 .

- Решим задачу по скоростям в этом механизме:

для этого выражение (3.3) продифференцируем по времени

(l1 cosϕ1 )/ = −l1 sinϕ1 ddtϕ1 = −l1 ω1 sinϕ1 .

d(dt3.3)→ −l1ω1 sinϕ1 −l2ω2 sinϕ2 =VВ l1ω1 cosϕ1 +l2ω2 cosϕ2 = 0

(3.5)

d(3.3): dt

(3.6)

Из второго уравнения (3.6) определяем ω2:

ω		= −ω	l1		cosϕ1
	2	1	l2		cos		ϕ2			(3.7)
					(m =		12)

mω2 =12 .

46

						VВ								ϕ1 +l2									ω2											(3.8)
									= − l1ω1 sin																	sinϕ2
																						(m =			12)
- Решим задачу по ускорениям:
mυВ =12
Выражение (3.6) продифференцируем по времени:
	d(3.6)	:
	dt
(−l1ω1 sinϕ1 )/						= −l1ε1 sinϕ1 −l1ω1 cosϕ1 ω1 = −l1 ε1 sinϕ1 −l1 ω12 cosϕ1.
		−l ε			1	sinϕ		1	−l ω2 cosϕ					1	−l				ε		2	sinϕ			2	−l		ω2 cosϕ			2	= a	B
			1							1	1						2										2		2					(3.9)
		l ε		cosϕ				−l ω2			sinϕ		+l				ε			cosϕ					−l		ω2		sinϕ		= 0
			1				1					1				2		2						2						2
1									1	1																2		2
ω = sign(2)ω ,
1					1
ω12 = (±ω12 )				= ω12 ,

ε1 = sign(2)ε1.

Если sign(2)(ε1)=+1 – это означает, что направлено угловое ускорение в сторону возрастания угла φ1 (в сторону вращения кривошипа). Этот случай соответствует разгону машины, т.е. постоянному увеличению скорости выходных звеньев.

Если sign(1)(Е1)=-1, то это означает постоянное уменьшение скорости выходных звеньев. Такой режим движения можно разделить на два вида:

1)выбег машины – уменьшение выходных звеньев под действием приложенных сил.

2)торможение машины, кроме действия внешних сил приложенных действует тормозной момент.

Сточки зрения кинематики выбег и торможение одно и тоже.

Из (3.9) определим ε2 и аВ:

	ε		=	−		ε				l1				cosϕ1					+ω2	l1			sinϕ1					+ω2			l1			sinϕ1					(3.10)
		2					1				l	2		cosϕ		2			1	l	2		sinϕ			2			2		l	2		sinϕ		2
				(m =12)
																							(m=12)
mε2 = 24
a = −l				ε						sinϕ −l ω2 cosϕ −l														ε			sinϕ			−l					ω2 cosϕ				(3.11)
B			1		1								1		1		1			1		2			2				2				2		2			2
				(m=12)																						(m=12)

maB = 24 .

Получим кинематические характеристики в глобальных координатах:

X B = X 0 + xB cosθ0 −* e* sinθ0 (3.12) YB = Y0 + хB sinθ0 + e cosθ0

	VXB =VB cosθ0	(3.13)
	VYB =VB sinθ0
	аXB = аB cosθ0	(3.14)
	аYB = аB sinθ0

47

Продифференцировав выражение (3.13) получим выражение (3.12). Представленный метод замкнутых векторных контуров не позволяет

определить кинематические характеристики (положение, скорости и ускорения) для произвольной точки произвольного звена. В этом случае используется другой аналитический метод – метод преобразования координат.

3.3.2. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ

Метод основан на матричных преобразованиях.

Положение точки можно представить себе вместе с положением другой точки в абсолютных координатах и положением относительно нее в локальных координатах, жестко связанных с данным звеном.

Аналогично движение точки на жестком звене можно представить себе как движение с другой точкой на этом звене относительно нее.

Для произвольного звена (рис. 3.3.) произвольного механизма известно одно положение точки.

yi

y	А			f
yA			М
	A			i
	r	r M		В
		х
		А

Рис. 3.3.

φi – угол определяющий положение i-го звена.

rA = xA ,yA

Точка М имеет координаты (xi M ; yi M ).

x

xi

Врезультате решения определим положение, скорость и ускорение точки

Мв абсолютных и глобальных системах координат.

Определим положение точки М в абсолютных координатах, через положение точки А в абсолютных координатах вместе с положением известной точки А и относительно ее:

x

x

cosϕ

−sinϕ

x

r

М

=

M

=

A

+

i

i

iM

(3.15)

yM

yA

sinϕi

cosϕi

yiM

Определим положение точки М в глобальных координатах, для этого используем формулу преобразования координат.

X M = X 0

+ xM cosθ0 − ym sinθ0

(3.16)

YM = Y0

+ хM sinθ0

+ ym cosθ0

Продифференцируем выражение (3.15) по времени:

dr

d(3.15)

VAx

−sinϕi

−cosϕi

xiM

(3.17)

V M =

,

M

=

=

+ωi

dt

dt

VAy

cosϕi

−sinϕi

yiM

48

здесь VAx и VAy - проекции скорости точки А на оси абсцисс.

(cosϕi )/ = −sinϕi ddtϕi = −ωi sinϕi ,

где ωi выделено из каждого слагаемого матрицы, а значит, вынесено за знак матрицы.

VMX =VM x cosθ −VM y sinθ VMY =VM x sinθ +VM y cosθ

d(3.17)

aAч

−sinϕi

aM =

dV

M

=

=

+εi

cosϕi

dt

dt

aAн

+ωi2	−cosϕ		i	+sinϕ	i		x	iM
		−sinϕi		−cosϕi			yiM

−cosϕ		x			+
i			iM
−sinϕi		yiM

(3.18)

(3.19)

	aMX	= aM x cosθ −aM y sinθ	(3.20)
	aMY = aM x sinθ +aM y cosθ

Аналогично можно определить кинематические параметры произвольной точки и на всех последующих звеньях.

Условием для решения этой задачи, должно быть:

- известные кинематические параметры любой другой точки этого звена, лучше всего точки присоединения этого звена к предыдущему.

3.4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ МЕХАНИЗМОВ В ЛИНЕЙНЫХ И БЕЗРАЗМЕРНЫХ ВИДАХ

А y

1

2

w

1

О

j1

	х	3
		В

Рис. 3.4.

Положение звена представляет собой некоторую функцию от входной координаты: ϕi = Пi (ϕ1 ).

ω	2	=	dϕ2		dϕ1	=	dϕ2		dϕ1
			dt dϕ1				dϕ1		dt

							49
			ω2 =	dϕ	= Пi/ =	ω
				i		ω2	(3.21)
				dϕ
		dϕi	1			1
	Пi/ =		- аналог угловой		скорости звена или передаточная		функция
		dϕ
	1

угловой скорости этого звена.

Аналог представляет собой относительную (безразмерную) величину, которая показывает степень или интенсивность, величину преобразования движения.

Пi = Пi (ϕ1 ) - функция положения i-го звена.

а) 0 ≤ Пi ≤1 →ω2 ≤ ω1 - редукторные механизмы,

б) Пi >1 →ω2 > ω1 - мультипликаторные механизмы.

КПД редукторных механизмов больше КПД мультипликаторных механизмов (размер звеньев одинаковый).

Рычажные механизмы с ведущим кривошипом – редукторные. Кинематическая передаточная функция рычажного звена:

П/

(ϕ

)

=

ωi

=

1

=

1

i

1

ω

i

ω

(3.22)

1

1−i

1

ωi

Угловое ускорение

dП/

dω

i

dϕ

1

dω

i

dϕ

1

ω12 + Пi/

dω

= Пi//ω12 + Пi/ ε1

(3.23)

εi =

=

=

i

1

dt

dϕ1 dt

dϕ1

dt

dϕ1

Пi// =

d 2 П

dП/

ε

i

(3.24)

i

=

i

=

dϕ

2

dϕ

1

ω

2

1

1

Аналог углового ускорения –

величина безразмерная,

которая численно

показывает отношение εi –го звена к квадрату ω1.

Из (3.24) ε всегда состоит из двух составляющих, первая определяется

нормалью, а вторая касательной.

drG

dϕ

dr

V M =

1

M

=

M

ω

dϕ1

dϕ1

dt

1

drG

V

=VϕM =

(3.25)

M

M

dϕ

ω

1

1

Аналог линейной скорости точки М – величина линейная.

Аналог Vϕ M - вектор подобный линейной скорости, имеет такую же

скорость и выражается через входную скорость.

Введем величину ПМ/ -кинематическую передаточную функцию точки М:

ПМ/ =		VM				(3.26)
		VA

ПМ/ показывает меру преобразования движения в относительном

(безразмерном) виде.

=

d (V

ϕM ω1 )

dϕ1

=

ϕM

ω

a

=

dVM

dϕ1

dV

2

M

V

ϕ

M

ε

i

dt dϕ1

dϕ1

dt

dϕ1

1

a

= a

ω

2

ε

M

ϕM

+V

1

1

ϕM

M

a

=

d

2

r

=

dV

=

a

M

M

dϕ2

dϕ

ω2

ϕ М

1

1

1

50

(3.27)

(3.28)