ЗАДАЧА № 5. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ

Задание. Для статически неопределимой рамы с выбранной по шифру из таблицы 7 размерами и нагрузкой (рис. 42) требуется:

1)построить эпюры M, Q, N.

2)выполнить статическую и кинематическую проверку рамы.

Таблица 7

Числовые данные к задаче № 5

	Первая цифра шифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	Р1, кН	4	0	0	6	0	0	8	0	0	4
	Р2, кН	0	6	0	0	4	0	0	2	0	0
	Р3, кН	0	0	8	0	0	2	0	0	4	0
	l, м	8	12	10	14	12	8	10	14	8	10
	Вторая цифра шифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	q1, кН/м	0	0	4	0	0	2	0	0	1	0
	q2, кН/м	2	0	0	1	0	0	4	0	0	1
	q3, кН/м	0	1	0	0	4	0	0	2	0	0
	h, м	10	8	6	12	8	10	6	12	10	8
	Третья цифра шифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	(номер схемы)
	J2 : J1	1 : 2	2 : 3	1 : 3	1 : 3	2 : 3	2 : 1	3 : 2	3 : 4	1 : 2	1 : 3

Методические указания решению задачи № 5

Для расчета рамы методом сил следует предварительно найти степень статической неопределимости (ССН) и выбрать основную систему (ОС), которая получается путем удаления «лишних» связей.

Основную систему нужно стараться выбирать симметричную или применять группировку неизвестных, что приводит к упрощению расчетов.

Действие лишних связей заменяют неизвестными усилиями Хi,. Для их определения составляются канонические уравнения метода сил

	δ11 X1 +δ12 X 2 +δ13 X 3 +... +δ1n X n +∆1P = 0,
	δ21 X1 +δ22 X 2 +δ23 X 3 +... +δ2n X n +∆2P = 0,	(8)
	....................................................................
	δn1 X1 +δn2 X 2 +δn3 X 3 +... +δnn X n +∆nP = 0.

где Х1, Х2,…, Хn – неизвестные усилия, ∆1Р,…, ∆nР – перемещения в направлении неизвестных Х1, Х2,…, Хn, вызванные действием внешней нагрузки, δ11, … ,δnn − перемещения в направлении неизвестных Х1, Х2,…, Хn, вызванные действием единичной нагрузки.

45

1

2

l/2

l/2

q1

h/4

q2

h/2

l/4

l/4

P2

q1

P1

q3

J1

P

P3

J2

J1

1

J2

J2

q2

J1

h/4

q3

J

h/2

l/4

1

P3

P

J2

J2

2

l

l/2

l/2

3

4

l/8

h/4

q

P2

q

q3

P1

J1

1

1

l/4

h/2

P

J2

q2

J

J

J1

3

q2

1

1

J2

J2

h

J

q

q3

h/2

2

1

l/8

P2

l/2

l/2

l/2

l/4

l/4

l/4

5

6

q2

P1

l/4

q

P

l/4

1

2

J

P3

J

J1

J1

J

2

1

J2

h/2

J

P

1

h/4

P2

q

1

2

3

q2

q1

P3

h/2

J2

q3

h/2

h/4

h/2

J2

l/2

l/2

l/2

l/2

h/2 h/2 h/4

P3

P1

q3

J2	h/2
	h/2

Рис. 42. Расчетные схемы к задаче № 5

46

7							8
		q2				P3	q1
		J1		h/4		J1	J
						l/4	2
									q3
		P1				J		J
						1		1
			J2
h
							P3
					q3
		q1				l/4	h/2
					P
					2
	J				J1		l/2
	1	l/2			l/2
9							0
		q3			P2	l/4
	J1					J1
			J2	h/2			P	q1
							1
		q2		P3		h		J1
							l/4
P1					q1
l/4
J1	l/2			J1	l/2		l/2

P2 l/4

J2

J1	h/2
	q2
P1
	h/2

l/2

l/4

J2

P2

q3

J1 P3 q2

l/2 J2

h/2 h/2

Рис. 42. Окончание

Коэффициенты при неизвестных и свободные (грузовые) члены канонических уравнений метода сил определяются по формулам

l

i2 dx

l

j dx

l

M p dx

M

M

M

M i

δii = ∑∫

,

δij = ∑∫

i

, δip = ∑∫

,

(9)

EJ

EJ

EJ

n 0

n 0

n 0

где М i , M j , M p – изгибающие моменты, возникающие в ОС соответственно

от сил Хi = 1, Хj = 1 и заданной нагрузки.

После определения δii и δij проводят проверку правильности их вычисления по формуле

δii +2δij +δjj = ∑∫l			s2 dx
		M		,	(10)
		EJ
n 0

где Ms – суммарная единичная эпюра (M s M s = M s2 ).

47

После определения свободных (грузовых членов) также производится проверка их вычисления по формуле

∑∆ip =∑∫l			s M p	dx.
		M			(11)
0 0			EJ

Убедившись в правильности определения коэффициентов и свободных членов, составляем каноническое уравнение и определяем истинные значения неизвестных метода сил Х1, Х2, …, Хn.

Для построения эпюр M, Q и N необходимо определить реакции опор в ОС с учетом найденных Хn и заданной нагрузки, затем рассчитать основную систему как статически определимую и далее рассматривать в отдельности каждый стержень с определением M, Q и N.

Второй способ построения эпюр M, Q и N основан на принципе независимости действия сил. Окончательная эпюра изгибающих моментов строится как

алгебраическая сумма исправленных единичных эпюр M i X i с грузовой эпюрой Мр. Окончательная эпюра изгибающих моментов:

M ок = M 1 X1 + M 2 X 2 + M 3 X 3 +... + M n X n + M p .

Построив Мок следует убедиться, что все узлы рамы уравновешены, т.е. в каждом жестком узле рамы сумма моментов должны быть равна нулю.

Обязательно следует провести кинематическую проверку по формуле

∑∫	M ок M s
	EJ	dx = 0.	(12)

Положительный результат кинематической проверки является достаточным условием правильности построения окончательной эпюры моментов.

Относительная погрешность определяется по формуле

	ε =		A − B				100% ≤ 2%,	(13)
		min{A, B}

где А – сумма слагаемых с положительным знаком, В – сумма по абсолютной величине слагаемых с отрицательным знаком, min {А, В} – наименьшее значение по абсолютной величине из двух сумм А и В.

Затем по эпюре Мок строим эпюру поперечных сил Q, рассматривая каждый стержень в отдельности.

Поперечные силы на участке рамы длиной l определяются по формулам:

Q

пр

=

М пр − М лев

−

ql

,

Q

лев

=

М пр − М лев

+

ql

,

(14)

l

2

l

2

где Мпр – величина изгибающего момента справа на участке, Млев – величина изгибающего момента слева, q – интенсивность распределенной нагрузки.

Если распределенной нагрузки на ригеле или стойке нет, то поперечная сила постоянна и определяется по формуле

48

				Q = М пр − М лев .							(15)
					l
По эпюре Q строим эпюру N, рассматривая каждый узел в отдельности,
начиная с узла, в котором сходятся не более двух стержней.
По эпюрам поперечных и продольных сил определяются реакции в опорах
внешних связей, которые являлись необходимыми связями в основной системе.
После определения всех реакций в связях проводят статическую проверку
рамы по формулам ∑x = 0;			∑y = 0,		∑M = 0.
Приведенные выше интегралы определяются по правилу Верещагина или
по справочным таблицам выражений интеграла Мора ∫M i M p dx для различ-
ных сочетаний эпюр (табл. 8).
										Таблица 8
Выражения интеграла Мора ∫M i M p dx для различных сочетаний эпюр
	Эпюра M i									h0	h2
Эпюра M p		h					h	h1
										l/2
	h		1			1		1
			2 hhl			3 hhl		6 h(h1 + 2h2 ) l
h			1			1		1
			2 hhl			6 hhl		6 h(2h1 + h2 ) l
	h	1 (h + h )hl			1 (h + 2h )hl			1	[h1 (2h1 + h2 )+
h	2	2	1	2	6	1	2	6
								+ h2 (2h2 + h1 )] l
1
h			1 hhl		1				16 [(1 +β)h1 +
						(1 +α)hhl
αl	βl		2		6			+ (1 + α)h2 ] hl
h1	h2	1 (h		−h )hl	1 (2h2 −h1 )h l			16 [h2 (2h2 + h1 )−
		2	2	1	6			− h1 (2h1 + h2 )] l
	h		1 hhl			1 hhl		1		h(h1 +3h	2 ) l
			3			4		12		h(3h1 + h	2 ) l
h			1 hhl			1	hhl	1
			3			12		12
h			2			1		1
			3 hhl			3 hhl		3 h(h1 + h2 ) l
	h		2 hhl			5	hhl	1	h(3h1 +5h2 ) l
			3			12		12
h			2 hhl			1 hhl		1	h(5h1 +3h2 ) l
			3			4		12
					49