Методические указания к решению задачи № 6

Для расчета неразрезанной балки используем уравнение трех моментов, вывод которого рассматривается в учебниках.

		ωn an
M n−1ln +2M n (ln +ln+1 )+M n+1ln+1				ωn+1bn+1
	= −6		+		,	(17)
		ln
				ln+1

где Mn-1, Mn, Mn+1 – опорные моменты, ln, ln+1 – длины пролетов, ωn, ωn+1 – площади эпюр изгибающих моментов, an, bn+1 – абсциссы центров тяжести эпюр

моментов как геометрических фигур (рис. 51).

Mn	Mn+1
Mn-1

ln

ln+1

ωn	ωn+1	bn+1
an

Рис. 51. Фрагмент основной системы многопролетной балки

В табл. 10 приводятся сведения о геометрических характеристиках фигур (площадь, абсциссы центров тяжести), форму которых могут иметь эпюры изгибающих моментов в однопролетных балках.

Таблица 10

Геометрические характеристики плоских фигур

Схема балки и вид эпюры изги-

h

F

Z1

Z2

бающих моментов

m1

1

2

3

4

5

m

2

l

h1

= m1

(h

+ h )

h1

+ 2h2

h2

+ 2h1

l

l

l

h2

h = m

1

2

3(h1 + h2 )

3(h1 + h2 )

h1

2

2

2

Z1

Z2

a

P

b

l

P a b

l h

a +l

b +l

h

l

2

3

3

Z1

Z2

58

Продолжение табл. 10

1		2	3	4	5
q
l		ql2	2	l	l
h		8	3 l h	2	2
Z1	Z2
m
l			hl	1 l	2 l
h		m
			2	3	3
Z1	Z2
Пример решения задачи № 6
q1	P	q2	Расчетная схема балки пред-
0	1	2	ставлена на рис. 52.
			Р = 4 кН, q1 = 2 кН/м,
	a
l 1	l 2	c	q2 = 4 кН/м, l1 = 8 м, l2 = 6 м,

а = 2 м, с = 2 м.

Рис. 52. Расчетная схема балки

Решение. Балка является дважды статически неопределимой. Из заданной системы переходим в основную путем врезания шарниров в заделку и в промежуточную опору (рис. 53). Жесткую заделку заменим пролетом l0 = 0 (J = ∞). Консоль заменяем моментом на опоре 2, величина которого M 3 = −qc 2 / 2 = −8

кН м. Построим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок для каждого пролета, рассматривая их как простые двухопорные балки. Отмечаем абсциссы центров тяжести эпюр (а1 = 4, b2 = 10/6).

Следует составить два уравнения моментов.

Для составления уравнения 3-х моментов для опоры 0 имеем:

Мn-1 = 0, ωn = 0, ln = l0 = 0, an = 0, Mn = M1, ωn+1 = ω1 = 23 16 8 = 2563 ,

bn+1 = 4 м, ln+1 = l1 = 8 м, Mn+1 = M2.

Согласно (17) уравнение трех моментов для опоры 0 примет вид

2M1 (0 +8)+ M 2	8 = −6	256		4	или 16M1 +8M 2 = −256 .
		3		8
					59

Для составления уравнения 3-х моментов для опоры 1 имеем: Мn-1 = М1,

ωn = ω1 =	256	, ln = 8 м, an = 4 м, Mn = M2, ωn+1		= ω2	=	1		16	6 =16 , bn+1 = 10/3
	3					2		3
м, ln+1 = l2 = 6 м, Mn+1 = M3 = − 8.
		M1	M2						M3
		0	1					2
		l0	l1		l2	ω2
			ω1

		16
	16 b	3
a		a	b
1	1	2	2

Рис. 53. Основная схема неразрезной балки

Согласно (17) уравнение трех моментов для опоры 1 примет вид

	M1 8 + 2M 2 (6 +8)−8 6		256		4			10
		= −6				+16				или 8M1 +28M2 = −261,3 .
			3		8			3 6

Решаем систему из двух уравнений и определяем опорные моменты.

16M1 +8M 2 = −256,

8M1 +28M 2 = −261,3.

М1 = − 13,2 кН м, М2 = − 5,6 кН м.

На основании полученных результатов строим огибающую опорных моментов (рис. 54, а). Отрицательные значения М1 и М2 означают, что моменты деформируют балку с растяжением верхних волокон, поэтому огибающая моментов отложена выше базовой линии.

Производим суммирование ординат эпюры опорных моментов и ординат эпюры, построенной для каждого пролета отдельно (рис. 53 и 54, б). Результатом сложения эпюр будет окончательная эпюра изгибающих моментов для неразрезной балки (рис. 54, в).

Определяем величины поперечных сил для каждого участка балки.

Qпр =	M пр −Мл	−	q	c	=	0	+8	−	4	2	= 0.
			2
I	c		2				2		2

Qл =	M пр −Мл	+	q	c	=	0 +8	+	4 2	=8 кН.
			2
I	c		2			2		2
									60

QII

=

M пр − Мл

=

−8 −(−1,07)

=1,73

кН.

l2 −a

4

Q

=

M пр −Мл

=

−1,07

−(−5,5)

= 2,27

кН.

III

a

2

QIVпр

=

M пр − Мл

−

q l

−

5,6 −(−13,2)

−

2

8

= −7,05

кН.

l1

1 1 =

8

2

2

Qл

=

M пр −М

л

+

q l

=

−5,6 −(−13,2)

+

2

8

=8,95 кН.

1 1

IV

l1

2

8

2

R

q1

=2 êÍ/ì

R1

P=4 êÍ R

q2 =4 êÍ/ì

0

2

0

a=2

1

2

l 1 =8 ì

l 2 =6

c=2

à)

13,2

9,4

5,6

8

6,4

á)

16/3

l1 /2

16

IV

III

II

I

â)

13,2

5,6

8

Ìîê

1,07

6,6

z0 =4,475

8

ã)

8,95

2,27

Q

7,05

1,73

Рис. 54. Построение эпюр внутренних усилий в неразрезной балке

Реакции внешних связей составят:

R0 = 8,95 кН, R1 = 7,05 + 2,27 = 9,32 кН, R2 = 1,73 + 8 = 9,73 кН.

Проводим статическую проверку:

∑y = R0 −q1l1 + R1 − P + R2 − q2 c = 0.

8,95 – 2 8 + 9,32 – 4 + 9,73 – 4 2 = 0.

61

Кроме статической проверки необходимо провести кинематическую про-

верку – перемещения основной и заданной системы от совместного действия

неизвестных и нагрузки по направлению любого неизвестного должны быть

равны нулю. Это условие имеет запись ∑∫MEJок M dx = 0.

Произведем перемножение окончательной эпюры моментов (Мок) с сум-

марной единичной эпюрой ( M ) (рис. 55), используя таблицу 8 выражений ин-

теграла Мора ∫M i M p dx для различных сочетаний эпюр. Предварительно про-

изведем расслоение эпюры моментов на IV участке.

∑∫

M

M

dx =

2

1 8 16

−

1

(13,2 +5,6) 8

−

1 5,6(1 2 +2 / 3) +1,07(2 2 / 3 +1)

ок

3

EJ

2

EJ

6

EJ

2 −

EJ

− 1 (2 / 3) 4 (2 1,07 +8) =

85,333 −

85,517 = −

0,184 .

6

EJ

EJ

EJ

EJ

Относительная погрешность

ε =

A − B

100% =

0,184

100 =

0,22%.

min{A, B}

85,333

8

2

4

13,2

5,6

1,07

8

Ìîê

6,6

16

Расслоение эпюры

на IV участке

13,2

5,6

1

2/3

M

Рис. 55. Расчетная схема моментов для кинематической проверки балки

ЗАДАЧА № 7. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ (ДЕФОРМАЦИЙ)

Задание. Для рамы с выбранными по шифру из табл. 11 размерами и нагрузкой по расчетной схеме (рис. 56) требуется:

1)определить число независимых линейных и угловых перемещений.

2)выбрать основную систему метода перемещений.

62

3)раскрыть статическую неопределимость.

4)построить эпюры М, Q, N.

2) выполнить статическую и кинематическую проверку рамы. Жесткости стоек и ригелей рамы берутся одинаковыми.

Таблица 11

Числовые данные к задаче № 7

	Первая цифра шифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	l, м	4	5	6	3	7	8	9	10	12	2
	Вторая цифра шифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	h, м	3	4	5	9	6	7	8	2	12	10
	Р1, кН	4	0	0	5	0	0	6	0	0	7
	Р2, кН	0	4	0	0	5	0	0	6	0	0
	Р3, кН	0	0	6	0	0	5	0	0	4	0
	Третья цифра шифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	(номер схемы)
						2
	q, кН/м	2	4	6	4		6	4	2	4	6

	1		2
	l/2	l/2	P1	P2
	P1		P2
			l/2	l/2	q
	P		P3
q
		3			h
		h	h/2
	h/2
	l	l	l	l	l

3

P1

l/2

l

P3

h/4

				4
							P2
q	h/2				h	q	l/2
		P2
				P1
	h/2		l/2	l/2		P3
		l		l	h/2	h	l

Рис. 56. Расчетные схемы к задаче № 7 63

5				6
l/2	l/2			P1				P2
P1				P2
				l/2			l/2
P3						P3
h								h
					q
h/2							h/2
			q
l			l	l	l			l
7				8
l/2	l/2			P2	l/2	l/2		P2
P1					P
					1
	q	h/2		P3	h	h/2
P3					q
h
h/2			l	h/2
l					l		l
9				0
l/2		l/2		P2	P1
P
1					l/2
							h/2
h/2	P3			h		P3
						l/2
h/2			q					P2
					q
l				l	l		l
				Рис. 56. Окончание

64