Методические указания к решению задачи № 7

Метод, в котором за основные неизвестные принимаются угловые и линейные перемещения узлов системы и который позволяет их найти, называется методом перемещений.

Общее число неизвестных метода перемещений называют степенью кинематической неопределимости, она определяется как сумма неизвестных углов поворота nу и неизвестных независимых линейных перемещений nл:

n = nу + nл.

(18)

nу равно числу жестких узлов (узел, в котором жестко соединено не менее двух стержней), nл определяется по шарнирной схеме, которую получают путем введения шарниров в жесткие узлы и жесткие заделки по формуле:

nл = 2У −С −С0 ,

(19)

где У – число шарнирных узлов рамы, включая опорные, С – число стержней рамы, С0 – число опорных стержней.

Например, на рис. 57, а представлена статически неопределимая рама. Число жестких узлов nу = 2 (узлы С и D). Шарнирная схема рамы показана на

рис. 57, б. Число независимых линейных перемещений nл = 2 6 −5 −5 = 2. Таким образом, степень кинематической неопределимости рамы составит

n = nу + nл = 2 + 2 = 4.

Для того, чтобы предотвратить угловые перемещения рамы, в узлы С и D вводим дополнительные жесткие заделки, а для предотвращения линейных перемещений вводим дополнительные опорные стержни (рис. 57, в). Таким образом получаем основную систему метода перемещений.

В дополнительных закреплениях возникают реакции (Z1, Z2, Z3, Z4), которые и являются основными неизвестными метода перемещений.

а)			б)		в)	Z1
B	C	D	B	C	D Z		Z2
					3
					B	C	D
A	F	E	A	F	E
							E Z4
					A	F

Рис. 57. Статически неопределимая рама

65

Если заданная система n раз кинематически неопределима, то после наложения на нее n дополнительных связей, устраняющих возможные перемещения ее узлов и приложения к ним неизвестных перемещений Z1, Z2, Z3,…, Zn, система канонических уравнений метода перемещений для определения неизвестных будет представлена в виде:

	r11Z1 + r12 Z2 +... + r1n Zn + R1P = 0;
	r21Z1 + r22 Z2 +... + r2n Zn + R2P = 0;	(20)
	.....................................................
	rn1Z1 + rn2 Z2 +... + rnn Zn + RnP = 0

где rii (r11, r22, …, rnn) – реакция, возникающая в дополнительной связи i, где имеется перемещение Zi, от смещения этой же связи на единицу, rik (r12, r21, …, rn2) – реакция, возникающая в дополнительной связи i, где имеется перемещение Zi, от смещения связи k на единицу, RiP – реакция, возникающая в связи i от действия на основную систему нагрузки.

Основная система метода перемещений представляет собой совокупность независимых однопролетных статически неопределимых балок. Эти балки уже заранее рассчитаны на все виды воздействия (кинематическое, силовое и температурное).

Опорные реакции и моменты в статически неопределимых балках, используемых в контрольной работе для расчета рам методом перемещений приведены в табл. 12 (только от силового и кинематического воздействия).

Таблица 12

Реакции и моменты в статически неопределимых балках для расчета рам методом перемещений

	Номер	Схема
	балки
	1	2

ϕ	=
A
	1

1

B

A	l
A	∆=1	B
2
	l

Эпюра моментов и опорные реакции

3

	R =R =	3EJ		M = 3EJ
			l 2	A	l
	A B
MA	R				R
	A				B
A					B
	R = R = 3EJ				R
MA		A	B	l 3
					B
	A		M =	3EJ	B
	RA		A	l 2

66

Продолжение табл. 12

1

2

MA =Plv(1-v 2)/2

3

vuPl

A

P

B

MA

RB

3

ul

vl

RA

vl

l

RA =Pv(3-v 2)/2

R =Pu 2(3-u)/2

B

l/2

P

RA

MA = 3Pl

RA =

11P

RB =

5P

RB

MA

16

16

16

4

B

B

A

l

A

5Pl

32

q

MA

MA

= ql 2

ql 2

8

8

B

5

B

A

A

l

R = 3ql

R = 5ql

A

8

B

8

ϕ

R =R = 6EJ

RB

A =1

MA

A

B

2

l

6

A

MB

B

A

B

RA

M = 4EJ

MB = 2EJ

l

A

l

l

∆=1

MA

RA =RB = 12EJ

RB

l 3

B

7

A

B

A

l

RA

MA =MB =

6EJ

MB

l

2

l/2

P

R =R = P

M =M = Pl

A

B

2

A

B

8

MA

MB

8

B

A

B

A

l

RA

Pl

RB

8

67