q1		P		q2
9	4	5	6	1	2	3
		c		b		c
		l1		l2		l3
	q	P		q1
	2	1	2

0	5	6		3	4
		b	c	c

a			l1		l2		l3

Рис. 1. Окончание

Методические указания к решению задачи № 1

Для построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов используется "поэтажная" схема, которая располагается под схемой заданной балки.

При построении "поэтажной" схемы необходимо выделить основные балки, для этого мысленно удаляют шарниры, соединяющие балки. Те балки, которые самостоятельно способны нести нагрузку (защемленные или имеющие две земные опоры), будут основными, или главными. Второстепенные, или вспомогательные, балки имеют только одну земную опору или не имеют опор вообще (пример рис. 2).

Заданная схема многопролетной балки							Заданная схема многопролетной балки

"Поэтажная" схема многопролетной балки	"Поэтажная" схема многопролетной балки

	основная балка	вспомогательные балки
		основные балки

Рис. 2. Пример образования «поэтажных» схем в многопролетных балках

7

После построения "поэтажной" схемы заданную балку рассматривают как ряд простых балок. Для того чтобы провести расчет, необходимо в местах расчленения балки (шарнирах) приложить силы взаимодействия между двумя смежными балками. Эти силы должны быть равны между собой и противоположно направлены.

Расчет на подвижную нагрузку производится при помощи линий влияний (л. в.). Линии влияния опорных реакций балки на двух опорах с консолями являются основными (рис. 3), поэтому вид и исходные ординаты л. в. опорных реакций необходимо запомнить. Каждая из опорных л. в. показывает, что реакция опоры равна единице, когда груз Р = 1 стоит над этой опорой, и уменьшается по линейному закону до нуля, когда груз приближается к противоположной опоре.

1

	õ	P=1
A
		B

l

ëâ RÀ

1 ëâ RÂ

1

Рис. 3. Линии влияния опорных реакций

Все остальные л. в. усилий в сечениях сооружений строятся на базе основных (рис. 4). Ординаты л. в. в каком-либо сечении определяются из подобия треугольников. Правила, которые необходимо запомнить при построении л. в. в многопролетных балках:

-в земных опорах л. в. проходят через ноль (нулевая точка), а на консолях левые и правые ветви л. в. имеют продолжение;

-в шарнирах л. в. имеют перелом;

-если в пролетах балки встречаются подряд два шарнира, то ордината л. в. усилия во втором шарнире по ходу движения единичного груза от нижележащей балки равна нулю;

-движение груза по балкам, лежащим ниже искомой, не рассматривается, так как нагрузка, приложенная к ним, не вызывает усилий в верхних этажах.

8

l1			l	l2
D	A	C		B
d		a		b

ab l

a ëâ Ìñ

b/l

ëâ QC	1
	a/l
ëâ ÌD	d
ëâ QD	1
ëâ QA(ëåâ)	1
ëâ QA(ïðàâ)	1

1

b

1

	ëâ ÌB
2
l

ëâ QB(ïðàâ)

1

ëâ QB(ëåâ)

Рис. 4. Примеры построения линий влияния поперечных сил и изгибающих моментов в различных сечениях двухопорной балки

Ордината л. в. показывает, чему равно усилие при действии в этой точке Р = 1. При действии на сооружение системы сосредоточенных сил, моментов сил и распределенных нагрузок на нескольких участках усилие S в некотором сечении сооружения производится по формуле

n	m	z
S = ∑Pi yi + ∑q j ωj + ∑Мk tgαk ,			(1)
i=1	j=1	k=1

где Р – сосредоточенная сила, действующая на сооружение, у – ордината л. в. усилия под сосредоточенной нагрузкой, q – распределенная нагрузка, ω – площадь, образованная той частью л. в., под которой находится распределенная нагрузка, М – момент сил, tgα – тангенс угла наклона л. в. к базовой прямой.

9

Нагрузки, направленные сверху вниз считаются положительными. Момент сил считается положительным, если он направлен по ходу часовой стрелки. Для тангенса угла наклона принимается следующее правило: если направление оси балки к л. в. на участке действия сосредоточенного момента совпадает с направлением момента, то получаем знак "минус", если не совпадает, то знак "плюс".

Пример решения задачи № 1

Схема балки представлена на рис. 5, а.

Расчленяем балку по шарнирам Е, F, G и составляем "поэтажную" схему, в которой балки АЕ (с жесткой заделкой) и GCD (на двух шарнирных опорах) являются основными, а второстепенные балки – ЕВF (имеет одну земную опору) и FG (без земных опор) (рис. 5, б).

Ð2 =8 êÍ		0,5		q=4 êÍ/ì			m=4 êÍì	Ð1 =6 êÍ
A	E	1	B						2
à)			F		G	C		2	D
	1
2 ì	1 ì	1	1	2	1		3 ì	1	1
	E		F		G	C		D
A		B
á)

Рис. 5. Расчетная схема многопролетной балки и ее «поэтажная» схема

Аналитический расчет внутренних усилий начинаем с второстепенной балки FG. Расчетная схема балки FG, загруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 6), хорошо известна из курса «Сопротивления материалов», поэтому не приводим примера расчета опорных реакций и значений внутренних усилий в сечениях.

RF = RG = ql2 = 422 = 4 кН.

10

RF RG

2

4

Q

4

M

2

Рис. 6. Расчет второстепенной балки FG

Балка GCD.

Расчетная схема балки и эпюры внутренних усилий показаны на рис. 7. К нагрузкам, действующих на эту балку, добавили давление от второстепенной

балки RG.

Реакции в опорах определяются из уравнений моментов сил относительно левой и правой опоры.

∑МD = 0; RG 5 + q 1 4,5 − RC 4 − М − P1 1 = 0.

Из уравнения определяем RС = 7 кН.

∑МC = 0; RG 1+q 1 0,5 −М + RD 4 −P1 5 = 0.

Из полученного уравнения определяем RD = 7 кН. Произведем проверку равновесия балки:

∑Y = 0; RC + RD − q 1 − RG − P1 = 0.

Равенство нулю всех вертикальных сил, приложенных к балке, доказывает, что реакции в опорах и сила в шарнире рассчитаны верно.

Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов основной балки

(рис. 7).

		q=4 êÍ/ì		RÑ =7 êÍ	RD =7 êÍ
				Ì=4 êÍì		Ð1 =6 êÍ
		G		C		D
	RG	=4 êÍ
			1	3 ì	1	1
				Q		6

4 1

8	M	9	6
6		5

Рис. 7. Расчетная схема основной балки

Балка EBF.

К нагрузкам, действующих на эту балку, добавили давление от второстепенной балки RF.

11

		Ð2 =8 êÍ		R =10 êÍ
	RE	=2 êÍ
			B	F
		E
		1 ì	1	RF =4 êÍ
				1
		2	Q	4
				6
		M		4

2

Рис. 8. Расчетная схема второстепенной балки

Определение реакций в опорах из уравнений моментов сил.

∑МE =0; P2 1−RB 2 + RF 3 =0.

Следовательно RВ = 10 кН.

∑МB = 0; P2 1−RE 2 −RF 4 = 0.

RЕ = 2 кН.

Проверка выполнения условия равновесия второстепенной балки:

∑Y = 0; RE + RB − RF − P2 = 0.

Равенство нулю всех вертикальных сил, приложенных к балке, доказывает, что реакции в опорах и сила в шарнире рассчитаны верно.

Эпюры внутренних усилий представлены на рис. 8.

Балка AЕ.

Балка является основной и воспринимает нагрузку от второстепенной бал-

ки EBF.

A	E
	RE =2 êÍ
	2
2	Q
4		Консольная с жестким защемле-
	M	нием балка хорошо известна из курса
		«Сопротивления материалов. Расчет-
		ная схема балки и эпюры внутренних
Рис. 9. Расчетная схема основной балки		усилий показаны на рис. 9.

Общие эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для заданной балки показаны на рис. 101.

Значения поперечной силы и изгибающего момента в заданных сечениях балки составляют:

Всечении 1−1: М1-1 = −1 кН м, Q1-1 = −6 кН.

Всечении 2−2, расположенном на бесконечно малом расстоянии слева от

опоры D: М2-2 = −6 кН м, Q2-2 = −1 кН. Реакция в жесткой заделке RА = 2 кН.

12

RA =2 êÍ		RB =10 êÍ				RC =7 êÍ	RD =7 êÍ
Ð2 =8 êÍ		1		q=4 êÍ/ì				Ð1 =6 êÍ
						Ì=4 êÍì
A	E		B				2
		1	F		G	C	2	D
2 ì	1 ì	1	1	2	1	3 ì	1	1
	2		4			Эпюра Q		6
								1
			6	4		8	9
			Эпюра М			6	5	6
4			4
		1
		2		2

Рис. 10. Эпюры внутренних усилий в многопролетной балке

Линию влияния момента в сечении 1−1 строим как для однопролетной балки (рис. 4, л. в. МС), откладывая под сечением 1−1 ординату, равную 0,375, определяемую формулой (a b)/l, где а = 1,5 м. b = 0,5 м, l = 2 м (рис. 11, а). Правую и левую ветки л. в. соединяем с нулем на опорах Е и В. Правая ветка л. в. имеет продолжение на консоли ВF, на шарнире F происходит перелом л. в. и продолжение на верхнюю вспомогательную балку в нуль в шарнире G. На балках АЕ и GCD все ординаты л. в. будут равны нулю, т. к. при перемещении груза по этим балкам изгибающего момента в сечении 1−1 не возникает.

Линию влияния поперечной силы в сечении 1−1 строим как для однопролетной балки (рис. 4, л. в. QC), откладывая под сечением 1−1 ординаты, равные −0,75 и + 0,25, определяемые формулами a/l и −b/l, где а = 1,5 м. b = 0,5 м, l = 2 м (рис. 11, б). Правую и левую ветки л. в. соединяем с нулем на опорах Е и В. Правая ветка л. в. имеет продолжение на консоли ВF, на шарнире F происходит перелом л. в. и продолжение на верхнюю вспомогательную балку в нуль в шарнире G. На балках АЕ и GCD все ординаты л. в. будут равны нулю, т. к. при перемещении груза по этим балкам поперечной силы в сечении 1−1 не возникает.

Ординаты л. в. момента и поперечной силы под опорой F, а также ординаты л. в. под сосредоточенной силой Р2 определяем из подобия треугольников.

y1 =	0,375 1	= 0,25 ,	y2	=	0,75 1		= 0,5.
	1,5				1,5

Значение изгибающего момента в сечении 1−1:

13

M1−1 = P2 y1 +q ω1		−	1				= −1 кН м.
	=8 0,25 +4		2	2 0,75
Значение поперечной силы в сечении 1−1:
Q1−1 = P2 y2 +q ω2			−	1	2		= −6 кН.
	=8 (−0,5) +4			2		0,5

Значения внутренних усилий в сечении 1−1 балки, рассчитанных по линиям влияния совпадают с аналитическим расчетом.

à)

á)

â)

ã)

ä)

Ð2 =8 êÍ			0,5		q=4 êÍ/ì		Ì=4 êÍì	Ð1 =6 êÍ
A	E		1	B					2
		1		F		G	C	2	D
2 ì		1 ì	1	1	2	1	3 ì	1	1
	E			F		G	C	D
A			B
		1,5			ω1
		0,375		0,5			ëâ Ì1-1
		ó1		0,75
		ó			ω2		ëâ Q1-1
		2	0,25
		0,75		0,5			ëâ M2-2
					ω3		ëâ Q2-2		ó3
						0,25			1
	1	ó5			ω4		α		ó4
						ëâ R			0,25
						A
		0,5						1

0,5

Рис. 11. Линии влияния усилий в заданных сечениях балки

Построение л. в. усилий в сечении 2−2, расположенном на бесконечно близком расстоянии слева от опоры D.

14