6.Плазменная частота [8,9]

Здесь уместно рассмотреть вопрос о плазменной частоте.

Рассмотрим реакцию свободного электронного газа на действие внешнего электрического поля. Динамическая реакция электронного газа проявляется в типичном для металлов отражении света и в возбуждении плазмонов – форме коллективного движения электронного газа.

Известно, что электрическая индукция D связана с напряженностью электрического поля Е соотношением, которое мы запишем в скалярной форме :

(6.1)

Поляризация Р есть дипольный электрический момент единицы объема. В общем случае следует считать, что Р включает в себя смещение и свободных и связанных зарядов. Пока что будем учитывать только свободные электроны.

В отсутствие столкновений уравнение движения свободного электрона в электрическом поле имеет вид :

(6.2)

Пусть на тонкий слой металла толщины х падает плоская световая волна :

Пусть , тогда, т.е. изменением фазы волны на толщине х можно пренебречь и считать, что

Тогда электроны под действием поля волны совершают периодические колебания по закону

В уравнении (6.2) и из этого уравнения получаем

Дипольный момент при смещении одного электрона равен , а поляризация Р, как дипольный момент единицы объема, будет равна

(6.3)

С другой стороны, из (6.1) имеем :

(6.4)

Сравнивая (6.3) и (6.4) получаем формулу для диэлектрической проницаемости :

(6.5)

Оптические свойства среды, в данном случае – металла, определяются диэлектрической проницаемостью и ее зависимостью от частоты. Плазменная частота, которая характеризует коллективные колебания электронного газа в металле, часто вводится так [8]:

(6.6)

И (6.5) переписываем так :

(6.7)

Зависимость этой функции от частоты изображена нарис.9 [8].

Нас интересуют металлы, оптические свойства которых определяются, главным образом, свободными электронами. Диэлектрическая проницаемость металла является комплексной величиной :

(6.8)

Откуда получаем связь между проницаемостями и оптическими постоянными металла :

Рис.9

, (6.9)

Полученная формула (6.7) не содержит мнимого слагаемого, поэтому в рассматриваемом простейшем приближении, когда колебания электронов рассматриваются как свободные, получаем

(6.10)

а мнимая часть проницаемости получается равной нулю, т.е. :

(6.11)

Конечно такой результат не может соответствовать действительности и связан просто с тем, что мы использовали слишком упрощенную модель свободных электронов. Однако, этот результат все же полезен для понимания физического смысла плазменной частоты при ее определении по ф.(6.6). Из зависимости (6.7), график которой представлен на рис.9, видно, что плазменная частота разграничивает две области частот, где поведение металла должно быть существенно разным. Действительно, при а прии в соответствии с (6.11) можно считать, что,. Известно, что при падении света по нормали на границу поглощающей среды, коэффициент отражения от этой границы равен :

(6.12)

и при только что сформулированных условиях получаем , что соответствует сильному отражению света металлами. С другой стороны, для частотиз (6.11) следует, , что соответствует прозрачности металла. Таким образом, плазменная частота разграничивает область сильного отражения и область прозрачности металла. Оценки показывают, что плазменная частота имеет значение примерно , что соответствует области вакуумного ультрафиолета, т.е. прозрачность металла, в рассматриваемом нами приближении свободных электронов, для электромагнитного излучения находится далеко за пределами видимого диапазона спектра, а в видимом диапазоне металлы сильно отражают свет, что является хорошо известным характерным признаком металла (металлический блеск). Это свойство присуще в первую очередь щелочным металлам () и благородным металлам ().

Теперь уточним задачу по вычислению диэлектрической проницаемости металла. Только что мы считали, что при колебаниях под действием световой волны электроны в металле не испытывают какого-либо сопротивления своим колебательным движениям. На самом деле это не так. Электроны испытывают рассеяние из-за столкновений друг с другом, с фононами, с дефектами кристаллической решетки, примесями. Поэтому при рассмотрении колебаний электронов в уравнение колебаний следует ввести величину, которую называют частотой рассеяния электронов (не путать с частотой света). Тогда уравнение запишется так :

(6.13)

Решая это уравнение по той же схеме, которую мы только что использовали, получим :

, ,,

откуда следует :

,

далее записываем :

разделяя действительную и мнимую части, получим :

,

и окончательно имеем :

; (6.14)

Заметим, что частоты рассеяния электронов в металлах имеют значения . В то же время, частота света в видимом и УФ диапазонах составляет величину. Таким образом,и в (6.14)можно не учитывать.

В (6.14) уже и эти формулы должны давать достоверный физический результат. Однако заметим, что в металлах на оптические свойства оказывают влияние не только свободные, но и связанные электроны, которые определяют наличие энергетических зон и переходов между ними. В разных металлах край междузонных переходов наблюдается на различных частотах, которые называют пороговыми. Наиболее высокие пороговые частоты, находящиеся в УФ и даже ВУФ области, имеют щелочные металлы (Li, Na, K, Rb, Cs) . Формулы (6.14) не учитывают влияние на оптические свойства междузонных переходов и поэтому пригодны для описания оптических свойств в видимом диапазоне спектра, лишь для тех щелочных металлов, для которых в видимом диапазоне .

В случае благородных металлов (Ag, Au, Cu) пороговые частоты междузонных переходов значительно меньше, чем у щелочных металлов. Для Ag близка к границе УФ с видимым диапазоном. ДляAu и Cu эти частоты попадают в видимый диапазон и этим объясняется желтизна Au, Cu по сравнению с серебром. Междузонные переходы дают вклад в действительну часть диэлектрической проницаемости . Этот вклад учитывается величиной, которую нужно написать вместо единицы в формуле (6.14) для. Для щелочных металлов из-за высокой пороговой частоты можно считать, что. С учетом всего сказанного выше, перепишем формулы (6.14) так :

, (6.15)

Как и раньше (рис.9), границе между областями сильного отражения и относительной прозрачности должно соответствовать значение . Из первой формулы (6.15) при этом получаем :

(6.16)

У разных металлов плазменные частоты различны. Если определять плазменную частоту по ф.(6.6), то это различие будет определяться только отношением и оказывается малым. Поэтому правильнее называть плазменной частотой величину, которая зависит оти таким образом учитывает роль не только свободных, но и связанных электронов.