- •Лекция 4
- •1.5.Электромагнитные процессы в колебательном контуре с током
- •1. 5.1. Колебательный контур.
- •1.5.2. Уравнение колебательного контура
- •1.5.3. Свободные колебания в контуре
- •1.5.4. Свободные затухающие колебания в контуре
- •1.5.5. Вынужденные электрические колебания.
- •Напряжение на ёмкости отстаёт от силы тока на π/2.
- •1.5.6. Резонанс в последовательном контуре
- •1.5.7. Резонанс в параллельном контуре
- •1.5.8. Переменный ток
1.5.5. Вынужденные электрические колебания.
Чтобы вызватьвынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие.
Рис.1.5.5. В случае электрических колебаний это можно осуществить:
если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС или
подать на контур переменное напряжение
Цепь, в которой последовательно с ЭДС включены сопротивление R, индуктивность L и конденсатор С, называется последовательным колебательным контуром.
Рассмотримпроцессы в этом контуре.
По второму правилу Кирхгофа
или .
Разделив на L, получаем уравнение вынужденных колебаний
(1.5.2)
Частное решение этого уравнения (1.5.3)
где
Подставим и :
Общее решение получится, если к частному решению (1.5.3) прибавить общее решение однородного дифференциального уравнения, которое было получено в предыдущем параграфе. Оно содержит множитель , который очень быстро убывает, и при прошествии достаточно большого времени им можно пренебречь.
Таким образом, установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в контуре описываются уравнением (1.5.3).
Силу тока в контуре при установившихся колебанияхнайдем,
продифференцировав (1.5.3) по времени:
где - сдвиг фаз между током и приложенным напряжением.
Тогда
Из этого выражения следует, что
ток отстает по фазе от напряжения ()при .
опережает напряжение () при .
Для силы тока можно записать . (1.5.4)
Представим соотношение (1.5.2) в виде:.
- падение напряжения на активном сопротивлении;
- падение напряжения на конденсаторе;
– напряжение на индуктивности; тогда можно записать
. (1.5.5)
Таким образом, сумма напряжений на отдельных участках контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне.
напряжение на активном сопротивлении, согласно (1.5.4).
напряжение совпадает по фазе с током в контуре
Для напряжения на конденсаторе, подставив (1.5.3), имеем
–
Напряжение на ёмкости отстаёт от силы тока на π/2.
Напряжение на индуктивности
,
где , – напряжение на индуктивности опережает ток на π/2.
Фазовые соотношения можно представить наглядно с помощью
ВЕКТОРНОЙ ДИАГРАММЫ.
Гармонические колебания можно задать с помощью вектора,
- длина которого равна амплитуде колебаний ,
- а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний.
Возьмём в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов
совпадает по фазе с током,
– отстаёт на π/2,
– опережает на π/2.
Векторы , , в сумме дают , причём U определяется выражением (1.1.5)
1.5.6. Резонанс в последовательном контуре
При определенной частоте внешнего воздействия в контуре наступает резонанс.
Резонансная частота для напряжения на конденсаторе и для заряда q равна:
Рис.1.5.7 - резонансные кривые для .
Все резонансные частоты .
При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке
– это напряжение на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения.
максимум при резонансе тем острее и выше, чем меньше затухание β=R/2L, то есть чем меньше R и больше L.
Ход резонансной кривой аналогичен резонансной кривой при механических колебаниях.
рис.1.5.8.Резонансные кривые для тока.
Амплитуда силы тока имеет максимальные значения, когда, то есть резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой колебаний контура:
При ω→0 сила тока уменьшается до нуля, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.
При малом затухании () резонансную частоту для напряжения можно считать равной . Тогда отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения равно:
- то есть добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение.
Итак, при резонансе
причём
поэтому - амплитуды напряжений на ёмкости и индуктивностиравны между собой, но противоположны по фазе.
Поэтому напряжения на ёмкости и индуктивности компенсируют друг друга, и цепь ведёт себя цепь только с активным сопротивлением.
Вся энергия, приложенная к контуру идёт на Ленц-Джоулево тепло. Ток в цепи достигает максимального значения. Это резонанс напряжений – индуктивного и емкостного.