- •Лекция 4
- •1.5.Электромагнитные процессы в колебательном контуре с током
- •1. 5.1. Колебательный контур.
- •1.5.2. Уравнение колебательного контура
- •1.5.3. Свободные колебания в контуре
- •1.5.4. Свободные затухающие колебания в контуре
- •1.5.5. Вынужденные электрические колебания.
- •Напряжение на ёмкости отстаёт от силы тока на π/2.
- •1.5.6. Резонанс в последовательном контуре
- •1.5.7. Резонанс в параллельном контуре
- •1.5.8. Переменный ток
1.5.3. Свободные колебания в контуре
Рис.1.5.1. Идеальный колебательный контур, состоящий из индуктивности L и ёмкости С, представляет собой линейный гармонический осциллятор, обладающий одной степенью свободы.
Состояние такого контура в любой момент времени может быть однозначно описано единственным параметром – зарядом q на конденсаторе.
Если сопротивление контура равно нулю, R =0, то при замыкании индуктивности на предварительно заряженный конденсатор с зарядом в контуре возникают гармонические колебания.
Падение напряжения на конденсаторе .
При замыкании цепи в индуктивности возникает ЭДС индукции где ток , поэтому .
Согласно второму правилу Кирхгофа то есть
, или
Это уравнение является уравнением свободных гармонических колебаний, при условии Его решение ,
где – заряд конденсатора в момент времени t=0.
В катушке:
Для тока имеем:
-сдвиг фаз между током в контуре и напряжением на конденсаторе составляет π/2, ток опережает по фазе напряжения на конденсаторе на π/2 (рис.1.5.2).
Для напряжения закон изменения имеет вид:
При колебаниях происходит периодический переход электрической энергии конденсатора в магнитную энергию катушки .
При этом полная электромагнитная энергия сохраняется.
1.5.4. Свободные затухающие колебания в контуре
Рис.1.5.3. Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Электромагнитная энергия в контуре постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание проводника, вследствие чего колебания затухают.
По второму правилу Кирхгофа для цепи на имеем:
Разделим это уравнение на L и подставим ,
Учитывая, что , и обозначив , получаем
- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
При , т.е. при ,
решение этого уравнения имеет вид , (1.5.1)
где .
Подставив и , получаем
Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты .
Для определения напряжения на конденсаторе:
разделим (1.5.1) на С, имеем
Чтобы найти закон изменения силы тока,
продифференцируем (1.5.1) по времени:
Обозначим
тогда
Так как то
- при наличии в контуре активного сопротивления
сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на
График функции представлен на рис.1.5.4.
Логарифмический декремент затухания
Он определяется параметрами контура R, L, C и является характеристикой этого контура.
Если затухание невелико
- , то и
- добротность контура в случае слабого затухания
При слабом затухании добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре в данный момент, к убыли этой энергии за один период.
Действительно, амплитуда силы тока в контуре убывает по закону e-βt. Энергия W, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока, следовательно W убывает по закону e-2βt.
Относительное уменьшение за период равно:
При незначительном затухании λ<<1 можно считать e-2λ ≈1-2λ.
Тогда добротность .
При частота становится комплексным числом, и происходит апериодический процесс разрядки конденсатора.
Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим,