3.8. Сила лоренца. Движение зарядов в электрических и магнитных полях

Экспериментально было установлено, что пучок электронов, испускаемых катодной трубкой, отклоняется во внешнем магнитном поле. Направление отклонения перпендикулярно к вектору индукции и векторускорости упорядоченного движения электронов. Таким образом, на заряды, движущиеся в магнитной поле, действует сила, направление которой совпадает с направлением векторного произведения, если частицы отрицательно заряженные, или, если частицы заряжены положительно.

Определим силу, действующую на электрический заряд, движущийся в магнитном поле. По закону Ампера на элемент проводника с токомI, действует сила

.

Ток в проводнике определяется движением зарядов, которые движутся со скоростью :, гдеdn - число частиц в элементе проводника ,.

Определим силу, действующую на один заряд:

-

- это сила Лоренца. Направление определяется знаком зарядаq. Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно к скорости движения заряда и играет роль центростремительной силы. Сила Лоренца не совершает работы. Она изменяет только направление скорости движения заряда в магнитном поле. Абсолютная величина скорости заряда и его кинетическая энергия при движении в магнитном поле не изменяется

.

Но неизменность величины скорости и кинетической энергии заряженной частицы имеет место лишь в случае постоянного магнитного поля, не зависящего от времени, т.е. стационарного. Переменное же магнитное поле ускоряет заряженные частицы (т.е. меняет величину и направление скорости).

Рассмотрим движение частицы в однородном магнитном поле. Будем считать, что на частицу не действуют никакие электрические поля.

1. Пусть частица движется вдоль линий индукции магнитного поля (рис.3. 12), тогда угол между векторамииравен 0 или,, т.е. магнитное поле не действует на частицу. Она будет двигаться по инерции – прямолинейно и равномерно.

2. Рассмотрим теперь частицу, которая движется перпендикулярно к линиям магнитной индукции (рис.3. 13): _и . В этом случае частица движется в плоскости, перпендикулярной к вектору магнитной индукции, и сила Лоренца является центростремительной силой:

,

где m – масса заряженной частицы, r – радиус кривизны ее траектории. Найдем r:

.

Скорость частицы не меняется, индукция =const, значит, r=const, и заряженная частица будет двигаться по окружности, плоскость которой перпендикулярна к магнитному полю.

Направление силы Лоренца и направление вызываемого ею отклонения заряженной частицы в магнитном поле зависит от знака зарядаq. Поэтому по направлению отклонения можно судить о знаке заряда.

Частица движется в магнитном поле по окружности радиуса r равномерно. Период обращения, т.е. время одного полного оборота:

-период обращения частицы не зависит от ее скорости. Этот период прямо пропорционален индукции магнитного поля.

3. Рассмотрим более общий случай, когда скорость частицы направлена под произвольным острым углом к вектору(рис.3.14). Разложим векторна две составляющие:

- параллельную вектору - и перпендикулярную к -:

.

Скорость в магнитном поле не меняется, это скорость поступательного движения частицы. Благодаря же скоростичастица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной к, тогда радиус этой окружности:

.

Таким образом, частица одновременно совершает два движения – поступательное со скоростью в направлении поля, т.е. перпендикулярном к скорости вращения, и вращательное. При этом траекторией движения будет винтовая линия, ось которой совпадает с линией индукции магнитного поля, радиус витков

.

Шаг винта .

Рассмотрим движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Пусть узкий пучок одинаковых заряженных частиц (например, электронов) , попадает в точкеО

на перпендикулярный к нему экран (рис.3.15). Определим смещение следа пучка, вызываемое перпендикулярным к пучку однородным электрическим полем, действующем на пути длиной . Пусть первоначально скорость частицы равна. Войдя в область поля, каждая частица будет двигаться с постоянным по величине и направлению, перпендикулярным к ускорением(e'/m– удельный заряд частицы). Движение под действием поля продолжается время. За это время частицы сместятся на расстояниеи приобретут перпендикулярную ксоставляющую скорости. В дальнейшем частицы летят прямолинейно в направлении, которое образует с вектором угол, определяемый условием. В результате в дополнение к смещениюпучок приобретет смещение, где- расстояние от границы поля до экрана . Таким образом, смещение пучка относительно точкиОравно.

Из этого выражения следует, что частицы, покинув поле, летят так, как если бы они вылетели из центра конденсатора, создающего поле, под углом.

Теперь предположим, что на имеющем протяженность пути частиц включается перпендикулярное к их скоростиоднородное магнитное поле (поле перпендикулярно к плоскости рис. 3.16, область поля обведена пунктирной окружностью). Под действием поля

каждая частица получит постоянное по величине ускорение . Ограничиваясь случаем, когда отклонение пучка полем невелико, можно считать , что ускорение также постоянно по направлению и перпендикулярно к. Тогда для расчета смещения можно использовать полученные нами формулы, заменив в них ускорениезначением. В результате для смещения, которое мы теперь обозначим буквойх, получим. Угол, на который пучок отклонится магнитным полем , определиться выражением. Тогда. Следовательно, при малых отклонениях частицы, покинув магнитное поле, летят так, как если бы они вылетели из центра поля под углом. Отметим, что как отклонениеуэлектрическим полем, так и отклонениехмагнитным полем пропорционально удельному заряду частиц и напряженности (или индукции) соответствующего поля. Оба отклонения зависят также от. Частицы с одинаковымиполучают в каждом из полей одинаковое отклонение и, следовательно, попадают в одну и ту же точку экрана.

Отклонение пучка электронов электрическим или магнитным полем используется в электроннолучевых трубках (рис.3.17). Внутри трубки с электрическим отклонением кроме так называемого электронного прожектора, создающего узкий пучок быстрых электронов (электронный луч), помещаются две пары взаимно перпендикулярных пластин. Подавая напряжение на любую пару пластин, можно вызвать пропорциональное ему смещение электронного луча в направлении, перпендикулярном к данным пластинам. Экран трубки покрывают флуоресцирующим составом. Поэтому в месте попадания на экран электронного луча возникает ярко светящееся пятно. Электроннолучевые трубки применяются в осциллографах – приборах, позволяющих наблюдать и фотографировать быстропротекающие процессы. На одну пару отклоняющих пластин подают напряжение, изменяющееся линейно со временем, на другую пару исследуемое напряжение. Вследствие ничтожной инерционности электронного пучка его отклонение будет без запаздывания следовать за изменениями напряжений на отклоняющих пластинах, причем луч вычертит на экране осциллографа график зависимости исследуемого напряжения от времени. Многие неэлектрические величины могут быть с помощью соответствующих устройств (датчиков) преобразованы в электрические напряжения (или токи). Поэтому с помощью осциллографов исследуют самые различные по природе процессы. Электроннолучевая трубка является неотъемлемой частью телевизионных устройств. В телевидении чаще применяются трубки с магнитным управлением электронным лучом. У таких трубок вместо отклоняющих платин имеются две расположенные снаружи взаимно перпендикулярные системы катушек, каждая из которых создает перпендикулярное к лучу магнитное поле. Изменяя ток в катушках, вызывают перемещение светового пятна, создаваемого лучом на экране.

При одновременном наложении электрического и магнитного полей оба поля действуют независимо одно от другого, так что можно получить самые различные результирующие движения и возможности применения. В простейшем случае силы, действующие со стороны электрического и магнитного полей, взаимно компенсируются. Так получают прибор, создающий однородный по скорости пучок частиц (рис.3.18), он называется селектор скоростей. Пусть однородное магнитное поле, создаваемое в пространстве между пластинами, перпендикулярно плоскости рисунка. Если в это пространство попадает пучок, состоящий из частиц, скорости которых различны, то на каждую частицу действует сила Лоренса. Если скорость частицы удовлетворяет условию, то в любой момент времени сила равна нулю, так что частица проходит через диафрагму экранаД. Если же скорость частицы больше или меньше, чем, частица отклоняется силой вверх или вниз и ударяется об экранД. В результате этого справа отДбудет получаться пучок частиц, однородный по скорости. Такое устройство можно применять и для измерения скорости частиц.

Если электрическое и магнитное поля параллельны (рис.3.19) , то отклонения частицы, вызываемые полями, перпендикулярны друг другу, для электрического поля, для магнитного поля. Частицы, обладающие одинаковым удельным зарядом, попадают в зависимости от скорости в разные точки. Эти точки образуют параболу. ВеличиныАиСявляются постоянными прибора. Каждому отдельному типу ионов соответствует своя парабола. Отличающиеся друг от друга ионы, имеющие разные скорости, разделяются в этом устройстве, а ионы с одинаковым удельным зарядом и любым значением скорости, попадают на отдельную ветвь параболы, вызывая почернение на фотопластинке (рис.3.20 ). На этом принципе основана работа параболического масс-спектрографа.

Рассмотрим движение частиц в одновременно действующих электрическом и магнитном полях значительной протяженности. Если частица не покидает поле, а движется в нем постоянно, то магнитное поле вынуждает ее двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной к направлению поля, а электрическое поле ускоряет ее. В результате получается винтовая линия с увеличивающимся шагом (рис.3.21).

На рис.3.22 показан случай, когда векторыивзаимно перпендикулярны , и частица стартует из начала координат с начальной скоростью, равной нулю. Уравнение движения в этом случае имеет вид:. Выберем новую систему координат, оси которой в момент временисовпадают с осями старой системы, причем новая система движется с постоянной скоростьюотносительно старой. Скорость частицы, измеренная в неподвижной системе координат, в любой момент времени равна, где- скорость частицы в движущейся системе координат. Уравнение движения принимает вид. Выберем скоростьтаким образом, чтобы, т.е. скоростьдолжна быть направлена против осиYи иметь значение, или. В движущейся системе отсчета уравнение движения примет вид:, так как производная постояннойравна нулю.

Частица в движущейся системе отсчета ведет себя так, как если бы существовало только магнитное поле. Влияние электрического поля учтено поступательной скоростью системы отсчета. В движущейся системе отсчета частица движется по окружности, если перпендикулярна к, и если система совершает равномерное поступательное движение. Поэтому в исходной системе отсчета траекторией является циклоида.