5.6. Уравнения максвелла– лоренца
Не
все уравнения Максвелла есть уравнения
движения поля. Действительно, только
два из четырех уравнений (5.8) содержат
производные по времени, т.е. определяют,
как поле изменяется во времени. В третьем
и четвертом уравнениях таких производных
нет, т.е. эти уравнения являются только
условиями, накладываемыми на
и
.
Эти условия связывают компоненты полей
при любых изменениях их во времени. А
так как этих условиях два, то из шести
компонент полей
и
только четыре независимы.
Поля
и
проявляются в действии на электрические
заряды. Действие их на точечный заряд
определяется силой Лоренца:
,
(5.11)
где
q
– заряд частицы,
– скорость ее движения.
Выражение для силы Лоренца является фундаментальным законом физики
электромагнитных явлений. Оно определяет действие электромагнитного поля на заряженные частицы.
Уравнения Максвелла (5.8) совместно с уравнениями движения для заряженных частиц под действием силы Лоренца (5.11) составляют фундаментальную систему уравнений Максвелла-Лоренца. Эта система уравнений в принципе достаточна для описания всех электромагнитных явлений, в которых не проявляются квантовые закономерности (т.е. в классической электродинамике).
Для
того, чтобы система уравнений
Максвелла-Лоренца имела единственное
решение, т.е. давала однозначное
предсказание хода рассматриваемого
электромагнитного процесса, необходимо
задание начального состояния частиц
и полей (т.е. координат и скоростей
частиц, а также полей
и
при
),
и граничных условий для полей
и
.
Конкретный вид начальных и граничных условий зависит от свойств уравнений Максвелла. Вот эти свойства:
Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей по времени и пространственным координатам и первые степени плотности заряда и тока. Свойство линейности прямо связано с принципом суперпозиции.
Уравнения Максвелла содержат закон сохранения электрического заряда. Действительно, продифференцируем третье уравнение (5.8) по времени, будем рассматривать процесс в вакууме (
),
имеем:
,
или
.
(5.12)
Теперь возьмем дивергенцию от обеих частей второго уравнения (5.8)
здесь
Известно,
что дивергенция от ротора равна нулю:
,
тогда
.
Домножим это выражение на
,
получаем:
,
или, учитывая (5.12) имеем:
- это
и есть закон сохранения заряда. Если в
него подставить значение
из уравнения непрерывности (
),
то получим тождество:
.
3) Из уравнений Максвелла следует, что каждое электромагнитное поле должно иметь скалярный и векторный потенциал.