3.6. Циркуляция магнитного поля. Теорема о циркуляции (закон полного тока). Ротор вектора магнитной индукции

Закон полного тока, или теорема о циркуляции вектора , которая будет рассмотрена ниже, позволяет находить напряженность магнитного поля при наличии симметрии токов без применения закона Био – Савара - Лапласа. Это дает возможность существенно упростить вычисления в ряде случаев.

Основное отличие магнитного поля от электростатического состоит в том, что магнитное поле непотенциально . Докажем это. Рассмотрим магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током. Силовые линии (линии напряженности) этого поля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны к проводнику, а центры лежат на оси проводника ( рис.3.5). Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольной силовой линии L равна

.

При этом L - окружность радиуса r, модуль напряженности по закону Био –Савара-Лапласа равен

.

Вектор направлен по касательной к окружности, поэтому.Тогда

(3.1)

- циркуляция вектора вдоль силовой линии не равна нулю, следовательно,

магнитное поле прямолинейного тока непотенциально.

Из выражения (1) следует, что циркуляция вектора магнитного поля прямолинейного тока одинакова вдоль любой силовой линии и равна силе тока.

Формула (3.1) справедлива для замкнутого контура L произвольной формы, охватывающего бесконечно длинный прямолинейный проводник с током I.

Действительно, рассмотрим контур (силовую линию) произвольной формы (рис.3.6). Точка А этого контура находится на расстоянии r от оси проводника с током. Из оси проводника проведем окружность радиуса r через точку А. Тогда вектор направлен по касательной к этой окружности, следовательно, он перпендикулярен к радиус – вектору. Элемент силовой линиив точкеА направлен по касательной к контуру L. Тогда ,

где – длина проекции векторана направление вектора. Но малый отрезоккасательной к окружности радиусаr можно заменить дугой этой окружности: , где – центральный угол, под которым виден элементконтураL из центра окружности. Тогда:

,

ациркуляция вектораравна:

(3.2)

- результат тот же, что и для случая, когда L - окружность.

Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнитного поля прямолинейного проводника с током I вдоль замкнутого контура произвольной формы, охватывающего проводник, не зависит от формы контура и численно равна силе тока I.

Рассмотрим случай, когда контур не охватывает проводник с током (рис.3.7). В этом случае циркуляция векторапо контуруL равна сумме циркуляций вектора по участку контура 1a2 и участку контура 2b1, т.е.

(3.3)

- циркуляция вектора напряженности магнитного поля прямолинейного проводника с током вдоль замкнутого контура, не охватывающего этот проводник, равна нулю.

Можно показать, что формулы (3.2) и (3.3) являются универсальными, т.е. справедливы для проводника любой формы и размеров.

На практике магнитное поле создается, как правило, несколькими проводниками, по которым текут токи ,, … ,. Каждый проводник с током создает магнитное поле напряженностью ( ). Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля равна:

.

Циркуляция вектора напряженности вдоль произвольного замкнутого контураL равна:

.

Но, согласно формулам (2) и (3),

Таким образом, . (3.4)

В выражении (3.4) индекс i заменен индексом к для того, чтобы подчеркнуть, что в эту сумму входят только токи, охватываемые контуром L. Формула (3.4) выражает закон полного тока для токов проводимости: циркуляция вектора напряженности магнитного поля постоянного электрического тока вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых эти контуром.

Если контур несколько раз охватывает ток, то величина тока учитывается столько раз, сколько раз контур обвивается вокруг тока с учетом направления обхода и знака тока.

Если токи текут непрерывно по поверхности S, то сумму токов можно заменить интегралом:

,

где - вектор плотности тока. Тогда закон полного тока (3.4) принимает вид:

,

или

. ( 3.5)

Здесь ( мы рассматриваем поле в вакууме),L – контур, на который опирается поверхность S. Согласно теореме Стокса , тогда из (3.5) получаем:

, (3.6)

- ротор вектора магнитной индукции отличен от нуля – магнитное поле непотенциально.

Поле, ротор которого отличен от нуля, называется вихревым или соленоидальным.

Выражение (3.6) представляет собой дифференциальную форму записи закона полного тока.

С помощью закона полного тока (3.6) найдем напряженность магнитного поля внутри соленоида. Пусть длина соленоида много больше его радиуса, . Такой соленоид можно

считать соленоид бесконечным. Если витки соленоида расположены вплотную или очень близко друг к другу, то соленоид можно приближенно рассматривать как систему большого числа последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, центры которых лежат на оси соленоида, а плоскости ортогональны ей. Легко видеть, что линии магнитной индукции соленоида параллельны его оси (рис.3. 8). Все поле сосредоточено внутри соленоида, вне соленоида поля нет и .

Для нахождения H выделим участок соленоида длины , на котором расположеновитков, (n- число витков на участке соленоида единичной длины), и проведем контур 1234 . Согласно (рис. 3.8) закону полного тока (3.4) имеем:

.

На участках 1,2 и 3,4 контур перпендикулярен к вектору , поэтомуи

.

Участок 4,1 находится вне соленоида, следовательно, и , следовательно,.

Тогда , и . Сократив на , окончательно получаем:

.

Из этого выражения видно, что не зависит ни от расстояния до оси соленоида, ни от размеров самого соленоида. При фиксированном значении силы тока, поле соленоида однородно.