6. Параллельный контур без диссипаций в реактивных ветвях – ачх и фчх, полоса пропускания.

Параллельный колебательный контур без диссипации в реактивных ветвях

Общие соотношения. В параллельном колебательном контуре без диссипации в реактивных ветвях резистор включен параллельно с конденсатором и индуктивностью, которые здесь считаются идеальными (рис.3.18). Их диссипации могут быть учтены в резисторе по параллельной схеме замещения (рис.1.4).

Сопротивление контура. Для рассмотрения свойств контура определим его полное сопротивление _K (рис.3.18,в). Представим контур в виде параллельно соединенных реактивных и резистивного сопротивлений (рис.3.18,б).

Воспользуемся проводимостями этих элементов:

; ; ; .

Как известно, эквивалентная проводимость параллельно соединенных элементов равна сумме проводимостей этих элементов. Тогда эквивалентная проводимость контура имеет вид:

.

Отсюда находим величину эквивалентного сопротивления контура, выделяя в нем вещественную и мнимую составляющие:

(3.50)

Представим сопротивление контура в показательной форме:

, (3.51)

где ;.

Напряжение на контуре. В отличие от последовательного контура, в параллельном контуре входным параметром является ток контура i_К(t), а выходным - напряжение на контуре u_К(t). Это связано с особенностью функционирования параллельных контуров в радиотехнических устройствах, таких как резонансные усилители, резонансные фильтры и др. В связи с этим задаем ток с определенной амплитудой и нулевой фазой, который в гармонической форме записи и в комплексной форме имеет виды:

; .

Напряжение на контуре определяется в соответствии с законом Ома:

, (3.52)

где , .

Токи в контуре. Определим токи во всех ветвях контура. Напряжение на контуре, а, значит, напряжение, приложенное к каждой из ветвей, имеет вид:

. (3.53)

Токи в ветвях определяются по закону Ома:

,где.

, где (3.54)

,где

Резонанс в контуре. Условие резонанса и резонансная частота. Как отмечалось, признаком резонанса являются максимальные значения тока и напряжения в схеме при определенной частоте сигнала. При этом в полном сопротивлении цепи мнимая составляющая равна нулю. Это мы видели в последовательном одиночном колебательном контуре. Воспользуемся этим условием. Тогда из выражения (3.50) видно, что условием резонанса в контуре является выполнение следующего равенства:

. (3.55)

Это значит, что при резонансе сопротивления конденсатора и катушки индуктивности равны:

.

Решая (3.55) относительно частоты, находим выражение для резонансной частоты контура:

. (3.56)

Определим сопротивление контура, напряжение на контуре и токи в ветвях на резонансной частоте.

Сопротивление контура на резонансной частоте можно определить из (3.51). С учётом условия резонанса (3.55) видно, что на резонансной частоте модуль и фаза сопротивления контура принимают значения:

, .

Напряжение на контуре при резонансе определяется из (3.53) с учётом равенства нулю фазы сопротивления контура на резонансной частоте

где , (3.57)

.

Токи в ветвях контура при резонансе определяются из (3.54) с учётом (3.55) и (3.57):

, где ;

, где ; (3.58)

, где.

В силу равенства видно, что токи в ветвях с индуктивностью и конденсатором равны по величине, а по фазе отличаются друг от друга на 180. Это хорошо видно на векторной диаграмме (рис.3.19). Совершенно очевидно,

что в соответствии с первым законом Кирхгофа контурный ток равен сумме токов ветвей контура:

.

Однако, как видно из векторной диаграммы, токи и при суммировании уничтожают друг друга и контурный ток определяется током, протекающим через резистор:

. (3.59)

В силу рассмотренных свойств параллельного контура, резонанс в параллельном контуре еще называют резонансом токов.

Мощности в контуре. Мгновенная мощность контура определяется как произведение мгновенного тока контура на мгновенное напряжение:

На резонансной частоте , тогда

.

Средняя мощность, потребляемая контуром, равна:

.

С учетом (3.58) выражение для средней мощности контура принимает вид:

.

В полученном выражении мгновенной мощности контура на резонансной частоте отсутствует реактивная составляющая мощности. Однако под действием контурного напряжения через конденсатор и индуктивность протекают токи. Определим мгновенные мощности на этих элементах так, как это делали при анализе идеальных емкостного и индуктивного двухполюсников.

Для емкостной ветви и индуктивной ветви получим:

,

. (3.60)

При резонансе . Из (3.60) следует, что мгновенные мощности на конденсаторе и индуктивности равны по величине и противоположны по фазе.

Добротность контура. Добротность контура, как и прежде, найдем из отношения амплитуды реактивной мощности контура к средней мощности. Для этого воспользуемся амплитудными значениями мощностей на конденсаторе и индуктивности (3.60). После очевидных преобразований имеем:

. (3.61)

Из (3.61) видно, что добротность контура без диссипации в параллельных ветвях (рис.3.18) тем выше, чем больше величина R, и тем меньше затухают колебания в контуре.

С учетом полученного выражения для добротности полное сопротивление контура (3.50) примет вид:

(3.62)

Последнее выражение для сопротивления контура позволяет рассмотреть зависимость от частоты его модуля и фазы:

,. (3.63)

На рис.3.20 представлены эти зависимости. Модуль сопротивления контура имеет наибольшее значение на резонансной частоте. Если R имеет конечное значение (присутствует в контуре), то Z_К0=R (график 1). Если R стремится к бесконечности (резистор отсутствует), то Z_К0 также стремится к бесконечности (график 2).

Фазовая характеристика сопротивления контура позволяет установить его свойства на различных частотах. Если воспользоваться треугольником сопротивления, то видно, что на низких частотах (слева от резонансной частоты) контур должен иметь свойства реального индуктивного двухполюсника, а на высоких частотах (справа от резонансной частоты) контур должен иметь свойства реального емкостного двухполюсника.

Сравним амплитуды токов I_L и I_C с амплитудой тока I_R. Используя соотношения (3.58), находим:

; .

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) параллельного контура называется зависимость от частоты модуля напряжения на контуре.

Как и для последовательного контура, удобно АЧХ для параллельного контура рассматривать в приведенном виде. Для этого необходимо найти модуль отношения напряжения на контуре в комплексной форме при произвольной частоте к напряжению на контуре при резонансной частоте.

Напряжение на контуре при произвольной частот и на резонансной частоте находятся по закону Ома:

; .

Для удобства рассмотрения АЧХ здесь напряжение на контуре и сопротивление контура на резонансной частоте обозначены, соответственно как и.

Берем отношение этих напряжений и, с учетом (3.58) и что, получаем:

. (3.64)

Модуль полученного выражения (3.60) является амплитудно-частотной характеристикой параллельного контура.

. (3.65)

На рис.3.21 представлены графики АЧХ параллельного контура для двух значений добротности. Увеличение добротности делает график АЧХ более крутым.

Фазо-частотной характеристикой параллельного контура называется зависимость от частоты фазы напряжения на контуре.

Как видно из (3.52), фаза напряжения на контуре равна фазе комплексного сопротивления контура. Учитывая (3.63), фазо-частотная характеристика параллельного контура принимает вид:

. (3.66)

На рис.3.22 представлен график ФЧХ параллельного контура. Так как фаза контурного тока равна нулю, то ФЧХ контура показывает, в каком фазовом соотношении (опережает, совпадает, отстает) находится напряжение по отношению к току. Эта информация позволяет судить о свойствах контура. Так, на резонансной частоте фаза контурного напряжения равна нулю. Значит на резонансной частоте напряжение контура и ток совпадают по фазе. Исходя из теории двухполюсников, этим свойством обладает резистивный двухполюсник. Следовательно, на резонансной частоте контур может быть заменен резистором. Об этом свойстве контура уже говорилось.

На низких частотах (слева от резонансной частоты) фаза контурного напряжения положительная. Значит, в этом интервале частот напряжение опережает ток контура. Из теории двухполюсников известно, что этим свойством обладает реальный индуктивный двухполюсник. Следовательно, на низких частотах параллельный контур может быть заменен последовательно соединенными резистором и индуктивностью. На высоких частотах (справа от резонансной частоты) фаза контурного напряжения отрицательная. Значит, в этом интервале частот контурное напряжение отстает от контурного тока. Следовательно, на этом интервале частот контур обладает свойствами реального емкостного двухполюсника, и может быть заменен последовательно соединенными резистором и конденсатором. Необходимо отметить, что величины индуктивности и емкости в схемах замещения контура индуктивным и емкостным двухполюсниками не равны значениям индуктивности и ёмкости контура и на различных частотах будут иметь различные значения.

Полоса пропускания. Физический смысл полосы пропускания резонансных контуров рассматривался для последовательного одиночного колебательного контура. Для параллельного контура физический смысл полосы пропускания совершенно аналогичен. Отличительная особенность параллельного контура состоит в том, что выходным сигналом является контурное напряжение, и АЧХ отображает его зависимость от частоты.

Полосой пропускания параллельного одиночного колебательного контура называется интервал частот, включающий резонансную частоту контура, на границах которого значение напряжения контура меньше значения напряжения на резонансной частоте в раз.

Это требование для значения напряжения на границе полосы пропускания можно выразить так:

; .

Последнее соотношение позволяет определить границы полосы пропускания и ее величину по АЧХ контура (рис.3.23):

.

Пользуясь полученными соотношениями для последовательного колебательного контура, АЧХ для параллельного контура на границах полосы пропускания примет вид, аналогичный (3.36):

. (3.67)

Приравнивая (3.67) к коэффициенту неравномерности  и решая полученное уравнение относительно 2∆ω, находим:

; .

Как отмечалось, для широкого круга приемно-передающих устройств коэффициент неравномерности берется равным:

.

С учетом этого находим выражение для полосы пропускания одиночного параллельного резонансного контура:

. (3.68)