- •Лекция 4-6
- •3.Функции распределения
- •3.1.Микросостояние. Вероятность. Средние значения
- •3.2. Распределение Максвелла
- •3.3.Распределение молекул по модулям скорости
- •3.4. Формула Максвелла в приведенном виде
- •3.5. Распределение по энергиям молекул
- •3.7.Распределение Больцмана
- •3.8. Барометрическая формула
- •3.9. Распределение Больцмана при дискретных уровнях
- •3.10. Закон распределения Максвелла—Больцмана
- •3.10.Каноническое распределение гиббса
3.2. Распределение Максвелла
Закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии, был найден Максвеллом (1859).
Представим себе пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций отдельных молекул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве — конец вектора . Из-за столкновений молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, поскольку макросистема находится в термодинамическом равновесии.
Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости (но не от).
Итак, пусть макросистема (газ) содержит N молекул. Выделим в некоторой точке — конце вектора — малый объем (рис. 3.3, где ось направлена на нас). Относительное число точек (молекул) в этом объеме, или другими словами, вероятность dP того, что скорость молекулы, т.е. конец вектора , попадет в этот объем, можно записать так:
, (3.2)
где имеет смысл объемной плотности вероятности.
Вероятность же того, что молекула (точка) будет иметь проекции скорости в интервале (), есть
, (3.3)
где — функция распределения по. Выражение (3.3) — это по существу интеграл (2) по и, т.е. относительное число молекул (точек) в тонком плоском слое от до+d. Вероятности того, что молекула имеет проекции скорости в интервалах (,+d), (и () являются независимыми, поэтому в соответствии с теоремой об умножения вероятностей независимых событий можно записать
(3.4)
Из соображения равноправия осей ,иясно, что функцииφ должны одинаковым образом зависеть от соответствующих проекций скоростей. Сопоставив (3.4) с (3.2), находим
. (3.5)
После преобразований (с учетом условия нормировки) получаем
,
аналогичный вид имеют функции и. И тогда согласно (3.5)
.(3.6)
График функции изображен на рис.3. 4. Он совпадает с гауссовой кривой погрешностей. Площадь тонированной полоски на рис.3. 4 — это вероятность того, что проекция скорости молекулы лежит в интервале (,+d).
Функция (3.6) нормирована на единицу, т.е. площадь под кривой
Интегрирование в пределах от -∞ до +∞ не означает, что в газе есть молекулы с такими большими скоростями. Это следует рассматривать только как вычислительный прием. Молекул с весьма большими скоростями очень мало, и они практически не вносят никакого вклада в нормировочный интеграл. Это и позволяет записывать такие пределы.
3.3.Распределение молекул по модулям скорости
Найдем вероятность или относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в интервале (). Таким молекулам соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами и (рис. 3.5). Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т.е., объемная же плотность вероятностиво всех точках слоя одинакова. Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей, вероятность попадания в этот слой
Величина характеризует искомую вероятность, т.е. . Учитывая (3.6), получим:
. (3.7)
Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости. Вид функции показан на рис.3.6. Эта функция тоже нормирована на единицу, .
На рис.3.6 пунктиром представлена “конструкция” (сомножители) функции , один из сомножителей которой . Заметим, что в отличие от площадь под кривой физического смысла не имеет.
Полученные Максвеллом распределения по скоростям не зависят ни от структуры молекул, ни от того, как они взаимодействуют друг с другом. Поэтому они применимы не только к газам, но и к другим агрегатным состояниям вещества.
Рассмотрим характерные скорости. К ним относятся три скорости: наиболее вероятная , средняяи среднеквадратичная. Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции распределения . Эта скорость определяется из условия , откуда следует, что.
Средняя скорость по определению .
Среднеквадратичная скорость ;она находится из условия ,откуда .
Средняя скорость молекулы азота приТ=300К равна 480 м/с. Эта величина имеет порядок скорости звука в азоте,= 350 м/с. Приведенные характерные скорости отличаются друг от друга в пропорции = 1 : 1,13 : 1,22. Качественно это показано на рис.3. 6.
Рассмотрим зависимость распределения от температуры. Подставив значение в формулу (3.7), получим, что.
В соответствии с этим результатом для разных температур кривые распределения будут иметь вид, показанный на рис. 3.7. Видно, что с увеличением Т максимум функции смещается в сторону больших скоростей, а его величина уменьшается. При этом площадь под всеми тремя кривыми остается равной единице. Кривые на рис. 3.7 можно рассматривать и иначе — как соответствующие разным массам молекул газа при одной и той же температуре, причем .