3.4. Формула Максвелла в приведенном виде

Решение ряда задач удобнее проводить, если выражать ско­рости молекул в относительных единицах — единицах наибо­лее вероятной скорости . Тогда относительная скорость мо­лекулы/ При переходе к новой переменной должно выпол­няться равенство

.

Отсюда . Заменив в правой части этого ра­венства на , получим

.

В таком виде распределение Максвелла является универса­льным: оно не зависит ни от температуры, ни от рода газа.

Пример. Найдем относительное число молекул dN/N со скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более, чем на η = 1%. В данном случае u = 1, и

где dи = 2η, поскольку на η % отклонения могут быть как в одну, так и в другую сторону.

3.5. Распределение по энергиям молекул

Н

2

айдем функцию распределения по кинетическим энергиям поступательного движения молекул газа. Обозначим эту функцию , где и воспользуемся равенством

.

Здесь энергии ε соответствует скорость , а интервалуdε — интервал . Из выражения кинетической энергии ε следует, что . Тогда

или ,где А — нормировочный множитель, . График этой функции показан на рис. 3.8. Наиболее вероятная энергия находится из условия dФ/dε = 0:

.

Интерес представляет тот факт, . Это связано с тем, что функцияФ(ε) получена из путем ум­ножения последней не на константу, а на , кото­рое зависит от ε. Именно это приводит к “перекашиванию” функции Ф (ε) относи­тельно и смещению максимумов данных функций.

Лекция 4

3.6. Опытная проверка распределения Максвелла

Рассмотрим два наиболее точных эксперимента, осуществлен­ных с целью проверки распределения Максвелла по скоростям.

В опыте Ламмерта (1929) в объеме V (рис.3.9, а) находится газ в равновесном состоянии. Выходящий из отверстия в стенке объема V молекулярный пучок проходит коллиматор К из по­следовательных отверстий, который образует почти параллель­ный пучок. Далее пучок попадает на устройство С, сортирую­щее молекулы по скоростям, и детектор D для регистрации мо­лекул после сортировки.

УстройствоС представляет собой два вращающихся диска (на одной оси) со щелями вдоль радиусов. Если щели поверну­ты на угол φ относительно друг друга, то при угловой скорости диски повернутся на уголφ в течение промежутка времени Δt = φ/ω. Поэтому через обе щели, расстояние между которыми , пройдут молекулы со скоростью .

Меняя угловую скорость или угол между радиальными щелями, можно выделить из пучка молекулы разных скоро­стей. Улавливая детектором эти молекулы в течение одинако­вого времени, можно найти их относительное количество в пуч­ке.

В другом опыте левая часть установки (V, К на рис.3.9, а), формирующая параллельный пучок молекул, остается той же. Но селектор С и детектор D совмещены во вращающемся цилин­дре со щелью S (рис.3. 9. б). Когда щель S попадает в падаю­щий пучок С, через нее в цилиндр входит порция молекул. Мо­лекулы с разными скоростями достигают противоположной стенки цилиндра с различным запаздыванием по отношению к моменту прохождения щели S пучком P и поэтому попадают на различные участки D противоположной стенки цилиндра. Измерив степень почернения различных участков D, можно определить распределение молекул в пучке по скоростям.

Разумеется, все эти опыты проводились в условиях высокого вакуума и, кроме того, с учетом различия распределения моле­кул по скоростям в пучке и в объеме V. Результаты этих и других опытов оказались в полном согла­сии с законом распределения, установленным Максвеллом.