3.7.Распределение Больцмана

В отсутствие внешних сил средняя концентрация п молекул газа в состоянии термодинамического равновесия всюду одина­кова. Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуа­ция становится иной.

Рассмотрим, например, поведение молекул газа, находяще­гося под действием силы тяжести. Если бы не было теплового движения, то все молекулы «упали» бы на поверхность Земли. Наличие же теплового движения мешает этому. В результате совместного действия этих двух факторов устанавливается не­которое равновесие, и концентрация молекул становится зави­сящей от высоты. Найдем эту зависимость.

Пусть газ находится во внешнем поле потенциальных (кон­сервативных) сил, действующих для простоты в одном направ­лении и зависящих только от координаты z. При тепловом рав­новесии температура Т должна быть одинакова по всей толщи­не газа, иначе бы возникли потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным.

Для определенности будем счи­тать, что силы внешнего поля на­правлены вниз, а ось Z — вверх (рис. 3.10). Выделим мысленно бес­конечно узкий слой газа толщиной dz с площадью основания столба, равной единице (S = 1). Запишем условие равновесия этого слоя, ис­пользуя гидростатический подход. На слой dz действует направленная вверх сила, обусловленная разностью давлений dp (dp < 0), и сила, действующая вниз со стороны внешнего поля. При равно­весии должно соблюдаться равенство

(3.8)

где — проекция внешней силы, действующей на каждую мо­лекулу. Заметим, что левая и правая части этого равенства яв­ляются отрицательными.

Из механики известно, что гдеU — потенциа­льная энергия молекулы во внешнем поле. Поэтому (3.8) мож­но переписать так:

.

Будем считать газ идеальным, подставим давление из основного уравнения МКТ p = nkT, продифференцировав, получаем dp = dnkT. Тогда , или

.

Проинтегрировав последнее уравнение, получим .

Будем считать, что и, тогда

Этот закон и выражает распределение Больцмана.

С помощью распределения Больцмана можно найти число молекул в интересую­щем нас элементарном объеме dV:

При этом следует иметь в виду, что объем dV может иметь, вообще говоря, не любую форму. Обязательным является вы­полнение условия: во всех точках объема dV концентрация n должна быть одинаковой.

Приведенный вывод фор­мулы распределения Больцмана является чисто гидростатическим: в нем мы по сути рассматривали газ как сплошную среду, отвлекаясь от его молекулярной структуры. Это допустимо лишь для достаточно плотных газов при наличии большого числа столкновений. Не­обходимо, чтобы средний свободный пробег молекул между по­следовательными столкновениями был мал по сравнению с тол­щиной dz слоя. Только в этом случае имеет смысл говорить о давлении, которое действует на слой dz со стороны соседних слоев. И тем не менее приведенный вывод привел к верному ре­зультату.

3.8. Барометрическая формула

Умножив обе части распределения Больцмана на kT, получим со­гласно основному уравнению МКТ, что давление где— молярная масса,R — универсальная газовая постоянная. Это так называемая барометрическая формула. Она строго спра­ведлива для идеального газа, температура которого не зави­сит от высоты (изотермическая атмосфера). На рис. 3.11 пока­заны два графика зависимости давления от высоты z при разных температурах . Следует обратить внимание на то, что в отличие от распределе­ний n(z), кривые p(z) на рис. 3.11 начинаются в одной точке независимо от температуры. Это не случайно и имеет простое объяснение

Рассмотрим, как ведет себя центр масс газа в поле тяжести. При анализе ситуации, изображенной на рис.3. 11, мы приходим к выводу, что в результате повышения температуры от до центр масс газа перемещается вверх. Возникает вопрос: под действием какой внешней силы? На первый взгляд вроде ниче­го не изменилось — ни сила тяжести, ни сила реакции со сто­роны поверхности Земли (ведь давление осталось прежним). На самом же деле в процессе нагревания газа равновесие нарушается , вторая сила оказывается большей по модулю. Она на­правлена вверх и вызывает перемещение центра масс.

Представим барометрическую формулу в виде , где— это высота, на которой давление убывает в е раз. Значение h играет роль характерной толщины атмосферы. При = 20 г/моль и Т = 280 К величина h = 8 км. По сравнению с радиусом Земли атмосфера — тонкая пленочка (что и позволяет при получении барометрической формулы счи­тать ускорение g не зависящим от высоты).

Вычислим число мо­лекул с помощью функции распределения Больцмана. Возьмем на поверхности Земли пло­щадку с площадью S = 1 и рассмотрим столб воздуха над этой площадкой. В слое толщиной dz на высоте z находится число молекул

Интегрируя это выражение по z от 0 до ∞, находим полное число молекул N в столбе:

Затем умножим N на массу т одной молекулы и на площадь поверхности Земли . В результате найдем, что масса М ат­мосферы

.

Эту задачу можно решить и проще, рассуждая так. Посколь­ку атмосфера Земли в целом находится в равновесии, то можно считать, что сила тяжести, действующая на газ в каждом верти­кальном столбе единичного сечения, уравновешивается силой реакции со стороны поверхности Земли, т.е. давлением (1атм). Умножив на площадь поверхности Земли, получимMg, где М — искомая масса. Отсюда М = 5,3 • 10¹⁸ кг.

Строго говоря, атмосфера Земли не является равновесной. Атмосфера непрерывно рассеивается, хотя для Земли этот процесс идет очень медленно. Рассеивание обусловлено тем, что в процессах соударения молекул в верх­них слоях атмосферы неизбежно возникают молекулы, скорости которых оказываются больше второй космической. И та­ким молекулам иногда «удается» без столкновений покинуть атмосферу Земли. За все время существования Земля потеряла очень малую часть своей атмосферы.

Из распределения Больцмана возникает следующий «парадокс»: почему в поле тяжести при движении моле­кул вверх их кинетическая энергия уменьшается, а температу­ра остается прежней, т.е. средняя кинетическая энергия не ме­няется, а при движении вниз кинетическая энергия всех моле­кул увеличивается, а средняя их энергия остается той же? Этот «парадокс» был разъяснен уже Максвеллом. При движении вверх молекулы действительно замедляют­ся, но при этом наиболее медленные молекулы выбывают из потока частиц. При движении же вниз, наоборот, молекулы не только ускоряются, но одновременно их поток пополняется бо­лее медленными молекулами. В результате средняя скорость теплового движения молекул остается неизменной. Сила тяже­сти меняет лишь концентрацию молекул на разных высотах, но не температуру газа. И закон распределения Больцмана как раз и выводится из условия, чтобы температура газа оставалась всюду одной и той же.