Постоянное резервирование

Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием

P_c(t)= 1-

где P_i(t) – вероятность безотказной работы i-го нерезервированного устройства;

m - кратность резервирования.

При равнонадежных устройствах

P_c(t) = 1- [1-e^0t]^m+1,

при ₀t0,01

P_c(t)  1-(₀t)^m+1,

где ₀ – интенсивность отказов нерезервированного устройства.

Наработка на отказ

T₀= (1+ ).

При раздельном резервировании

P_c(t) =

и равнонадежных элементах

P_c(t) =[1-(1- e^0t)^m+1]^N.

Последней формулой можно пользоваться и в случае равно надёжных элементов, но при этом ₀ будет средневзвешенным значением интенсивностей отказов всех элементов, из которых состоит сложная система, т.е.

₀=.

При общем резервировании с дробной кратностью вероятность безотказной работы системы

P_c(t)=.

Резервирование замещением

Для случая нагруженного резерва и идеальных переключателей

P_c(t)= e^-0t ,

а при ₀t0,01

P_c(t)1-

Наработка на отказ T₀= (m+1)₀.

При недогруженном (облегчённом) резерве

P_c(t)= e^-0t[1+],

T₀=,

где k= ;

₁- интенсивность отказов резервного устройства до замещения.

Дублирование с учётом последствия отказов

Если обозначить ₀ - интенсивность отказов каждой из подсистем при их совместной работе и^₀ - интенсивность отказов системы после выхода из строя одной из подсистем, то вероятность безотказной работы

P_c(t)=e^-20t +

и наработка на отказ

Т₀=

1.3. Оценка надёжности дискретных устройств с восстанавливающими органами

Для дискретных (бесконтактных) устройств автоматизированных систем характерны логические неисправности, связанны с изменением функций логических элементов. Проявление таких неисправностей связано с подачей на выход элемента или фиксацией на его выходе постоянного сигнал 0 или 1.

Для уменьшения вероятности отказа на практике используют резервирование с применением, так называемых, восстанавливающих органов (ВО), которые реализуют пороговую функцию M_r^

где r - число параллельно работающих однотипных логических элементов (совокупность основных и резервных элементов);

 - порог ВО, показывающий сколько логических элементов должны выдавать сигнал 1, чтобы на выходе ВО также был единичный сигнал;

y_i- выходной сигналi–го логического элемента (y_i = 0v1).

В общем случае восстанавливающий орган может корректировать ошибки по «1» и «0» в количестве (– 1) и (r–) соответственно.

В предположении абсолютной надёжности самого восстанавливающего органа вероятность отказа по «0» определяется формулой

Q₀=,

а вероятность отказа по «1» - формулой

Q₁=,

где q₀,q₁– вероятность отказов соответственно по «0» и «1» одного неизбыточного логического элемента (блока).

Так как вероятность безотказной работы, вероятность отказа по «0» и вероятность отказа по «1» образует полную группу событий, то

P + Q₀ + Q₁ = 1.

1.4. Примеры решения задач

Задача 1.4.1. В результате анализа данных об отказах АСУ плотность вероятности отказа получена в виде f(x)= 6e^-x(1-e^-x). Требуется определить вероятность безотказной работы Р(t) и среднее время безотказной работы Т_о.

Решение.

Запишем формулу для определения вероятности безотказной работы

P(t)=1-.

Определим P(t)

P(t)=1 –

=

=1+3

Проверка

при t=0,P(0)=1, приt∞,P(∞)0,P(∞)=e^-2∞(3-2e^-∞)=0(3-0)=0.

Запишем формулу для определения среднего времени безотказной работы

Т₀=.

Определяем Т_о

=

Проверка

Размерность Т₀[ч]. Так как[], астоит в знаменателе, то размерности правой и левой части совпадают.

Ответ: P(t)=.

Задача 1.4.2. Дана структурная схема надёжности (ССН) (рис. 1.7)

			1					3					Исходные данные: Р1=0,5 Р2=0,5 q3=0,4 q4=0,5 q5=0,4 q6=0,1
	a					c		4			b
			2					5
	d				6

Рис. 1.7

Требуется рассчитать надёжность невосстанавливаемой резервированной системы (Р_с). Расчёт надёжности основан на выделении и последующем рассмотрении простейших участков, содержащих либо только последовательные, либо только параллельные соединения.

Решение.

1. Разобьём ССН на участки с однородным соединением по надёжности. Имеем три участка: 1) ас; 2)сb; 3)аdc.

2. Определим вероятность безотказной работы участка ас (по формуле для резервированного соединения):

P_ac=P_1,2=1- q₁q₂.

Cучётом конкретных исходных данных

P_ac=1-(1-p₁)(1-p₂)=1-(1-0,5)(1-0,5)=0,75.

3. Определим вероятность безотказной работы участка сb (по формуле для резервированного соединения):

P_cb=P_3,4,5=1-q₃q₄q₅.

Cучётом конкретных исходных данных

Pсb =1- q₃q₄ (1-p₅)=1-0,40,5(1-0,5)=0,88.

4. Определяем вероятность безотказной работы участка acb (по формуле для основного соединения)

P_acb=P_acP_cb=P_1-5=0,750,88=0,66.

5. Определяем вероятность безотказной работы системы (по формуле для резервированного соединения)

P_c=1-q_acbq₆=1-(1-P_acb)q₆=1-(1-0,66)0,1=0,996.

Ответ: Р_с=0,996.

Задача 1.4.3. Для повышения надёжности логического устройства АСУ был использован восстанавливающий орган (ВО) . Вероятность отказа по «1» неизбыточного блока равнаq₁=0,1; вероятность отказа по «0»q₀=0,1.

Определить вероятность по «0» (Q₀), вероятность отказа по «1» (Q₁) и вероятность безотказной работы избыточного устройства (Р). Определить также выигрыш по надёжности при использовании ВО (В).

Решение:

1. Определим вероятность отказа по «0»

Q₀=

2. Определим вероятность отказа по «1»

Q₁=.

3. Определяем вероятность безотказной работы избыточного устройства

P=1-Q₁-Q₀=1-0,028-0,028=0,944.

4. Определим выигрыш по надёжности при использовании восстанавливающего органа

Ответ: Q₀=Q₁=0,028;P=0944;B=3,3 раза

Задача 1.4.4. Вероятность отказа типа ложная «1» неизбыточного логического блока АСУ равна q₁=0,1. Определить, при каких значениях вероятности отказа типа ложной «0»q₀целесообразно использовать восстанавливающий органи при каких

Решение

Запишем формулы для вероятности отказа:

для ВО

для ВО

Поскольку в данной задаче q₁=constобозначим

и вычислим их значения

Рассчитаем значения ипри различных значенияхq₀, результаты сведём в таблицу 1.1

Таблица 1.1

q0
0	0,000	0,271	0,271	0,000	0,000	0,028	0,028	>0
0,1	0,001	0,271	0,272	0,001	0,027	0,028	0,056	>0
0,2	0,008	0,271	0,279	0,008	0,096	0,028	0,132	>0
0,3	0,027	0,271	0,298	0,027	0,189	0,028	0,244	>0
0,4	0,064	0,271	0,335	0,064	0,288	0,028	0,380	<0
0,5	0,125	0,271	0,396	0,125	0,375	0,028	0,528	<0
0,6	0,210	0,271	0,481	0,210	0,432	0,028	0,676	<0
0,7	0,343	0,271	0,614	0,343	0,441	0,028	0,812	<0
0,8	0,512	0,271	0,783	0,512	0,384	0,028	0,924	<0

Построим графики(рис. 1.8)

Q

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 q₀

Рис. 1.8

Из графика видно, что при q₀ < 0,34 целесообразно использовать, а приq₀ > 0,34 –.