- •Предисловие Руководство написано на основе имеющегося опыта поведения практических занятий.
- •1.Основные понятия и количественные характеристики надёжности 5
- •1.2. Основные количественные характеристики надёжности технических объектов при различных видах резервирования
- •Постоянное резервирование
- •1.4. Примеры решения задач
- •1.5. Задачи
- •Расчёт и обеспечение требуемой надёжности
- •2.1. Виды расчётов надёжности и их сущность
- •2.2. Определение показателей надежности по статистическим данным
- •2.3. Примеры решения типовых задач
- •2.4. Задачи
- •3. Надёжность и контроль восстанавливаемых систем
- •Алгоритмы диагностического контроля
- •Периодичность контроля
- •Расчёт коэффициента готовности контролируемой восстанавливаемой системы
- •Примеры решения типовых задач
- •Надёжность и эффективность ас с учётом деятельности человека-оператора
- •Краткие сведения из теории
- •Примеры решения типовых задач
- •Литература
Примеры решения типовых задач
Задача 3.4.1.
Пусть объект представлен структурной схемой, изображённой на рисунке 3.1.
Составляем таблицу состояний (таблица 3.2), полагаем, что в каждом состоянии неисправен один из элементов:
S1=S1(0,1,1,1,1);
S2=S2(1,0,1,1,1);
S3=S3(1,1,0,1,1);
S4=S4(1,1,1,0,1);
S5=S5(1,1,1,1,0).
Таблица 3.2.
Si k |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
S5 |
H(k) |
J(k) |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1,6 |
0,72 | |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1,36 |
0,96 | |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,32 |
0 | |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1,6 |
0,72 | |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1,36 |
0,96 |
По формуле вычисляем энтропию объекта перед началом поиска
По формуле
где l0 , l1 – число нулей и число единиц в строке, соответствующей проверке k .
Находим энтропию объекта после проведения данной проверки (очередная условная энтропия вычисляется при условии, что проверка k проведена).
полученные данные заносим в столбец 7 таблицы 3.2.
По формуле J(k )=H-H(k) определяем количество информации, полученное при проведенииk . Данные заносим в столбец 8 таблицы 3.2. Из таблицы видно, что максимальная информация получается при проведении проверок2и5. Так проверка3не несёт дополнительной информации её из дальнейшего рассмотрения исключаем.
Составляем таблицу 3.3. , в которой в первой строке помещаем одну из проверок 2или5(например2) , а столбцы переставляем так, чтобы в строке соответствующей проверке2, стояли сначала нули, а затем единицы.
Заполним столбцы 710 табл.3.3
Таблица 3.3
Si k |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
S5 |
l00 |
l10 |
l01 |
l11 | ||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
2 |
0,8 |
0,56 |
3 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
2 |
0,8 |
0,56 |
4 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
1 |
1 |
0,4 |
0,96 |
В ней:
l00 – число нулей вi–й проверке, приходящихся наl0нулей в проверке2;
l10 –число нулей вi–й проверке, приходящихся наl0нулей в проверке2;
l01 –число нулей вi–й проверке, приходящихся наl1нулей в проверке2;
l11–число нулей вi–й проверке, приходящихся наl1нулей в проверке2;
По формуле
определяем среднюю энтропию объекта после проведения двух проверок в последовательности 2i.
заполним столбец 11 в таблице 3.3
Определяем количество информации, получаемое при проведении проверки i/2(i=1,4,5),
заполняем столбец 12 табл. 3.3.
Из таблицы следует, что в качестве второй проверки необходимо провести проверку 5.
Составляем табл. 3.4., в которой первую строку оставляем для проверки 2, вторую – для проверки5, вторую – для проверки5.
Таблица 3.4
Si k |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
S5 |
l000 |
l100 |
l010 |
l110 |
l001 |
l101 |
l011 |
l111 | ||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0,4 |
4 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0,4 |
0 |
В таблице, например l101 означает число единиц в проверке j , приходящихся на число нулей в проверке 5 , которая в свою очередь, приходятся на число единиц в проверке 2.
10 . По формуле
определяем энтропию объекта после проведения проверок в последовательности 25j
11. Определяем количество информации, получаемое при проведении третьей проверки j (при условии, что проведены проверки 2 и 5 ):
Заполняем графы 15 и 16 табл. 3.4.
Подводим окончательный итог: оптимальная последовательность проверок, обеспечивающая получение максимального количества информации и позволяющая однозначно диагностировать неисправность, будет следующей: 251.
Задача 3.4.2.
Задача 3.4.3.
Пусть объект состоит из девяти элементов с известными вероятностями отказов:
q1=0,1; q2=0,15; q3=q4=0,25; q5=q6=q7=0,03; q8=0,15; q9=0,01.
Время, требуемое для проверки, одинаково для всех элементов (t1=t2=...=tn=const). Требуется определить последовательность проверок, обеспечивающую отыскание неисправности с наименьшими затратами времени.
Решение.
Располагаем элементы объекта в порядке убывания qi: q3=0,25; q4=0,25; q2=0,15; q8=0,15; q1=0,1; q6=0,03; q7=0,03; q5=0,03; q9=0,01.
Два элемента, имеющих наименьшую величину, в данном случае q9= 0,01 иq5=0,03, объединяем в один элемент, причёмq=q5+q9=0,04.
Новый элемент по величине q(q7=0,03)устанавливаем в имеющийся ряд элементов.
Повторяем пункты 13 до тех пор, пока все элементы не объединятся в один.
Задача 3.4.4.
Система имеет интенсивность отказов 0=0,410-51/ч. Её дублирует такая же система, находящаяся в режиме нагруженного резерва. Определить периодичность контроля, обеспечивающую снижение вероятности безотказной работы на величину, не превышающуюр=0,1.
Решение.
Для постоянного общего резервирования вероятность безотказной работы определим по формуле
,
для 0t<<1 иm=1 имеем:
Учитывая, что заданное снижение вероятности безотказной работы p=0,1, т.е. Ртр(t)=0,9, получаем
Ртр(t)=1-(0tn)2 ,
(ч).
Задача 3.4.5.
В условиях предыдущей задачи определить, что повышает надёжность системы: изготовление её из высоконадёжных элементов, в результате чего интенсивность отказов снижается в раз, или применение нагруженного дублирования с контрольными проверками и восстановлением работоспособности черезtn=10ч.
Решение.
Пусть 1– интенсивность отказов системы при изготовлении её из высоконадёжных элементов,р– интенсивность отказов дублированной системы.
Согласно условию
При нагруженном дублировании
где
.
Подставим выражение для P0(t) в формулу дляPр(t), получаем
Интенсивность отказов резервированной системы равна
.
При 0t<<1 имеем приближенно
P(t) 2 20t.
Тогда среднее значение интенсивности отказов
.
Следовательно
.
Задача 3.4.6.
Имеются две аналогичные по характеристикам безотказности и восстанавливаемости системы, образующие схему постоянного дублирования. Каждая из них постоянно контролируются, причём, сразу же после отказа начинается восстановление. Определить коэффициент готовности системы.
Обозначим:
состояние системы, когда обе системы исправны;
состояние, когда один образец исправен, а второй ремонтируется;
состояние ремонта обоих образцов.
На рис.3.6. изображён граф переходов. Очевидно, что для рассматриваемой системы отказ определяется попаданием в состояние 3.
Рис. 3.4
Для определения коэффициента готовности на основании мнемонического правила составим следующую систему:
Второе уравнение является линейной комбинацией первого и третьего. Чтобы система была разрешима, в место второго уравнения добавим уравнение P1+P2+P3=1. Тогда система примет вид:
Решая эту систему, получим
Отсюда
.
при =0,01 [1/ч],=1,0 [1/ч], Кг=0,9999.
Если контроль отсутствует, то восстановление начинается после отказа двух систем. В этом случае можно ввести четыре состояния:
обе системы исправны;
одна система работает, вторая отказала, но не ремонтируется;
обе системы отказали и ремонтируются;
одна система работает, другая отказала и ремонтируется.
Подобная постановка задачи приводит к следующему графу переходов (рис.3.7.).
На основании этого графа и вышеприведенного правила составляем следующее уравнения:
Исключить четвёртое уравнение и добавляя уравнение Р1+Р2+Р3+Р4=1, получаем следующее решение
Для сравнения этих двух способов допустим, что
1/ч и=1,0 1/ч
Вычислим ожидаемый простой за 10000 часов эксплуатации. Так как
, а–, то
=1-Тп/10000 и Т=10000(1-Кг).
Для первого случая Тп1= 1 ч.
Для второго случая Тп2= 33 ч., т.е., если контроля нет, то ожидаемый простой за 10000 ч. эксплуатации составит 33 ч по сравнению с 1 ч., если имеется контроль.
Задачи
3.5.1. Составить таблицу состояний и определить последовательность проверок для объектов, заданных следующими функциональными моделями (рис.3.6).
3.5.2.
3.5.2–3.5.12. Определить последовательность проверок элементов системы для исходных данных, представленных в таблице 3.5.
Таблица 3.5.
№ задачи |
Исходные данные | |||||||||||||||
q1 |
q2 |
q3 |
q4 |
q5 |
q6 |
q7 |
q8 |
t1 |
t2 |
t3 |
t4 |
t5 |
t6 |
t7 |
t8 | |
3.7.2 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,05 |
0,5 |
0,04 |
0,06 |
2 |
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
3 |
5 |
3.7.3 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,05 |
0,5 |
0,04 |
0,06 |
2 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
5 |
3.7.4 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,05 |
0,3 |
0,05 |
0,15 |
0,05 |
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
2 |
4 |
3 |
3.7.5 |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
5 |
5 |
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
4 |
3.7.6 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,04 |
0,06 |
0,15 |
0,05 |
2 |
4 |
3 |
1 |
2 |
3 |
3 |
1 |
3.7.7 |
0,05 |
0,05 |
0,1 |
0,2 |
0,5 |
0,04 |
0,04 |
0,02 |
1 |
2 |
4 |
2 |
5 |
3 |
2 |
2 |
3.7.8 |
0,2 |
0,04 |
0,06 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
0,15 |
3 |
2 |
1 |
4 |
1 |
2 |
4 |
4 |
3.7.9 |
0,04 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,06 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
1 |
3.7.10 |
0,06 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,04 |
0,05 |
0,05 |
3 |
2 |
2 |
3 |
3 |
5 |
4 |
4 |
3.7.11 |
0,5 |
0,1 |
0,05 |
0,1 |
0,05 |
0,04 |
0,04 |
0,08 |
2 |
2 |
3 |
5 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3.7.12 |
0,15 |
0,4 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
0,08 |
0,06 |
0,08 |
4 |
2 |
1 |
3 |
5 |
2 |
1 |
3 |
3.5.13. В условиях предыдущей задачи определить последовательность проверок элементов системы для случаев:
а) t1=t2=...=tn=const.
б) q1=q2=...=qn=const.
3.5.14–3.5.23. Определить периодичность контроля и дать сравнительную характеристику систем, представленных исходными данными в таблице. 3.6.
3.5.24.–3.7.33. Дать сравнительную характеристику нагруженных дублированных систем и систем с повышенной надёжностью элементов, для исходных данных, представленных в таблице 3.7.
3.5.34. Подсистема обработки данных АСУ построена по принципу «2 из 3», т.е. три идентичных подсистемы и решающий орган, выдающий на выходе правильный результат тогда, когда правильно функционируют хотя бы две из трёх подсистем. Интенсивность отказов каждой подсистемы равна. Имеется ремонтный орган, который обеспечивает восстановление отказавшей подсистемы с интенсивностью восстановления, равной. Определить коэффициент готовности подсистемы для двух случаев:
а) контроль отсутствует, и восстановление начинается только после отказа двух подсистем;
б) подсистема обработки данных постоянно контролируется.
3.5.35. В условиях предыдущей задачи определить коэффициент готовности для случаев:
а) 2 из 4; в) 3 из 4;
б) 2 из 5; г) 3 из 5.
Таблица 3.6
№ задачи |
Исходные данные | ||
010–31/4 |
m |
Р | |
3.5.14 |
2 |
2 |
0,1 |
3.5.15 |
1 |
1 |
0,2 |
3.5.16 |
1,5 |
2 |
0,1 |
3.5.17 |
1,6 |
1 |
0,15 |
3.5.18 |
3 |
3 |
0,15 |
3.5.19 |
2,8 |
2 |
0,1 |
3.5.20 |
1,7 |
0 |
0,1 |
3.5.21 |
0,5 |
0 |
0,15 |
3.5.22 |
1,2 |
1 |
0,2 |
3.5.23 |
1,4 |
2 |
0,2 |
Таблица 3.7
№ задачи |
Исходные данные | ||
010-4 |
tn | ||
3.5.24 |
5 |
1 |
10 |
3.5.25 |
10 |
2 |
20 |
3.3.26 |
8 |
4 |
10 |
3.3.27 |
6 |
3 |
5 |
3.5.28 |
7 |
2,5 |
30 |
3.5.29 |
4 |
3,6 |
50 |
3.5.30 |
9 |
2,7 |
45 |
3.5.31 |
3 |
4,1 |
25 |
3.5.32 |
5 |
2,2 |
20 |
3.5.33 |
8 |
5 |
15 |
а) |
|
б) |
в) |
|
г) |
д) | ||
е) | ||
ж) | ||
Рис. 3.6 |