Игнатьев_Майорова_МА_1часть

9: Z

x4 + 3x3 + 2x2 + x + 1

dx:

10: Z

x3 + 1

dx:

x2 + x + 1

x3

5x2 + 6x

11: Z

x4 + x2 :

12: Z

(x2

+ 2)(x

1)2 :

dx

¡

dx

13: Z

14¡ x3 : 3

14: Z

1 + x3

:

¡

dx

dx

15: Z

¡

1 + x3

dx:

16: Z

(1 + x3)2 :

x

2x + 3x + 4

dx

17: Z

x4dx

1:

18: Z

x2 + 2x + 10 dx:

5x + 2

Z

(x

¡2

2)(x2 + 1)2

Z

2x2

6x + 4

x

19:

+ 2x + 7

dx:

20:

7x ¡ 6

dx:

¡

x4

21: Z

22: Z

¡ x2

dx:

dx:

(x2 ¡ 1)(x + 2)

(x + 2)2(x + 1)

23: Z

(x2 + 2x + 2)2 dx:

24: Z

x(1 + x2)2 dx:

3x + 5

3x + 1

4.4. iNTEGRIROWANIE TRIGONOMETRI^ESKIH WYRAVENIJ

oSNOWNOJ PRIEM INTEGRIROWANIQ | ZAMENA PEREMENNYH, KOTORAQ SWODIT INTEGRAL OT TRIGONOMETRI^ESKIH WYRAVENIJ K INTEGRALU OT ALGEBRAI^ESKIH FUNKCIJ.

sIMWOLOM R(x; sin x; cos x) ZDESX I W DALXNEJ[EM BUDEM OBOZNA^ATX DROBX, ^ISLITELX I ZNAMENATELX KOTOROJ | MNOGO^LENY OTNOSITELXNO FUNKCIJ sin x I cos x. tAKAQ DROBX NAZYWAETSQ RACIONALXNOJ FUNKCIEJ

OTNOSITELXNO FUNKCIJ x; sin x I cos x.
pRAWILO 1.(uNIWERSALXNAQ PODSTANOWKA ).
iNTEGRALY WIDA			Z R(x; sin x; cos x) dx SWODQTSQ K INTEGRALAM OT RA-
CIONALXNYH FUNKCIJ PODSTANOWKOJ
				tg	x	= z;					(6)
			2
OTKUDA
sin x =	2z	;	cos x =	1 ¡ z2		;	dx =	2 dx		; x = 2 arctg t:	(7)
	1 + z2							1 + z2
			1 + z2
pRIMER 1. wY^ISLITX INTEGRAL: Z							dx
									.
							3 + 5 cos x

91

s POMO]X@ (6) I (7) POLU^AEM:

Z

dx

=

2 dz

=

dz

=

1

ln

¯

2 + z

¯

+ C:

3 + 5 cos x

Z

(1 + z )(3 + 5

¡

2 )

Z

4 z

4

¯

2

z

¯

1+z

¡

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

pODSTAWLQQ S@DA z = tg x2 , NAHODIM:

		=			ln ¯				x ¯ + C:
Z	dx		1		¯	2	+ tg x			¯
	3 + 5 cos x			4		2		tg	2
					¯					¯
					¯		¡		2	¯
					¯					¯
					¯					¯

uNIWERSALXNAQ PODSTANOWKA WSEGDA PRIWODIT K INTEGRALAM OT RACIONALXNYH ALGEBRAI^ESKIH FUNKCIJ, NO DOSTATO^NO ^ASTO POLU^ENNYE INTEGRALY GROMOZDKI I TRUDNO WY^ISLQEMY. pO\TOMU NA PRAKTIKE UDOBNO ISPOLXZOWATX I DRUGIE ZAMENY PEREMENNYH (t = cos x; t = = sin x; t = tg x), W ZAWISIMOSTI OT WIDA PODINTEGRALXNYH FUNKCIJ. |TI ^ASTNYE SLU^AI I OHWATYWA@TSQ PRAWILAMI 2 { 5.

pRAWILO 2. dLQ WY^ISLENIQ INTEGRALOW WIDA

Z

R(x; cos x; sin x) dx;

(8)

GDE FUNKCIQ R(x; cos x; sin x) | NE^ETNA OTNOSITELXNO sin x ILI cos x, UDOBNO WWESTI WSPOMOGATELXNU@ FUNKCI@ cos x (ESLI R(x; cos x; sin x) NE^ETNA OTNOSITELXNO sin x) ILI sin x ( W DRUGOM SLU^AE). tOGDA W PERWOM SLU^AE IMEEM ZAMENU PEREMENNYH:

x = arcsin x;

dx =

dt

cos x = p

;

(9)

p

;

1 ¡ t2

2

A WO WTOROM

1 ¡ t

dt

p

2

x = arccos x;

dx = ¡

p

; sin x =

1 ¡ t

:

1 ¡ t2

pRIMER 2.

wY^ISLITX Z

cos6 x sin5 x dx:

pODINTEGRALXNAQ FUNKCIQ cos6 x sin5 x NE^ETNA OTNOSITELXNO SINUSA. sOWER[AEM ZAMENU PEREMENNYH t = cos x. w REZULXTATE IMEEM

cos6 x sin5 x dx = ¡t6(1 ¡ t2)2 dt:

pOLU^AEM

Z Z Z Z

cos6 x sin5 x dx = ¡ t6dt + 2 t8xdt ¡ t10 dt =

92

sin2 2x(1 + cos 2x) dx =

=¡17t7 + 29t9 ¡ 111 t11 + C =

=¡17 cos7 x + 29 cos9 x ¡ 111 cos11 x + C:

Z

pRIMER 3. wY^ISLITX: cos3 x dx.

pODINTEGRALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNA OTNOSITELXNO cos x. pO\TOMU ISPOLXZUQ ZAMENU PEREMENNYH (9), POLU^IM

Z cos3 x dx = Z (1 ¡ t2) dt = t ¡ 13t3 + C = sin x ¡ 13 sin3 x + C:

kOGDA FUNKCIQ R(x; sin x; cos x) QWLQETSQ ^ETNOJ OTNOSITELXNO I sin x I cos x, TO PRAWILO 2 NE PRIWODIT K CELI. w \TOM SLU^AE NEOBHODIMO WOSPOLXZOWATXSQ PRAWILOM 3.

pRAWILO 3. dLQ WY^ISLENIQ INTEGRALOW WIDA (8), KOGDA FUNKCIQ R(x; sin x; cos x) QWLQETSQ ^ETNOJ OTNOSITELXNO I sin x, I cos x, UDOBNO

POLXZOWATXSQ FORMULAMI

cos2 x =

1 + cos 2x

;

(10)

2

sin2 x =

1 ¡ cos 2x

;

(11)

2

sin x cos x =

sin 2x

(12)

2

ILI PODSTANOWKOJ t = tg x. w SLU^AE PODSTANOWKI t = tg x

dt

1

t

x = arctg t; dx =

; cos x = p

;

sin x = p

:

1 + t2

1 + t2

1 + t2

pRIMER 4. wY^ISLITX INTEGRAL: Z

cos4 x sin2 x dx:

fUNKCIQ R cos4 x sin2 x, STOQ]AQ POD ZNAKOM INTEGRALA QWLQETSQ ^ETNOJ I OTNOSITELXNO sin x I OTNOSITELXNO cos x. dLQ WY^ISLENIQ INTEGRALA PREDSTAWIM PODINTEGRALXNOE WYRAVENIE W WIDE

(cos x sin x)2 cos2 x dx

I PRIMENIW (12) I (10), POLU^IM:

Z cos4 x sin2 x dx = 18 Z

93

= 18 Z sin2 2x dx + 18 Z sin2 2x cos 2x dx:

pERWOE SLAGAEMOE PREOBRAZUEM PO FORMULE (11), PEREPISAW EE W WIDE

sin2 2x = 1 ¡ cos 4x: 2

wTOROE WY^ISLQEM ^EREZ WSPOMOGATELXNU@ FUNKCI@ sin 2x. pOLU^AEM:

Z

cos4 x cos2 x dx = 16x ¡

64 sin 4x +

48 sin3 2x + C:

1

1

1

pRAWILO 4. dLQ WY^ISLENIQ INTEGRALOW WIDA

Z

sin mx cos nx dx;

Z

sin mx sin nx dx;

Z

cos mx cos nx dx

UDOBNO POLXZOWATXSQ PREOBRAZOWANIQMI

sin mx cos nx =

1

[sin(m ¡ n)x + sin(m + n)x];

(13)

2

sin mx sin nx =

1

[cos(m ¡ n)x ¡ cos(m + n)x];

2

cos mx cos nx =

1

[cos(m ¡ n)x + cos(m + n)x]:

2

pRIMER 5. wY^ISLITX Z

sin 5x cos 3x dx.

iSPOLXZUQ FORMULU (13), IMEEM

Z

sin 5x cos 3x dx =

1

Z [sin(5 ¡ 3)x + sin(5 + 3)x] dx =

2

= ¡

1

cos 2x ¡

1

cos 8x + C:

4

16

pRAWILO 5. dLQ WY^ISLENIQ INTEGRALOW WIDA

ZZ

tgn dx; ctgnx dx

( n | CELOE ^ISLO, BOLX[EE 1) UDOBNO WYDELITX MNOVITELX tg2x (ILI ctg2x).

Z

pRIMER 6. wY^ISLITX tg5x dx.

94

wYDELQQ MNOVITELX tg2x =

1

¡ 1, POLU^AEM:

cos2 x

Z

tg5x dx = Z

tg3x cos2 x ¡ Z tg3x dx:

dx

pERWYJ INTEGRAL RAWEN

1

tg4x. wTOROJ WY^ISLQETSQ TEM VE PRIEMOM:

Z

tg3x dx =

Z

4

tg x dx = 2tg2x + ln j cos x j :

tg x cos2 x ¡ Z

dx

1

oKON^ATELXNO:

tg5x dx = 4tg4x ¡

2tg2x ¡ ln j cos x j +C:

Z

1

1

4.4.1. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | WOSPOLXZOWAW[ISX IZLOVENNYMI PRAWILAMI, WY^ISLITX INTEGRALY OT TRIGONOMETRI^ESKIH WYRAVENIJ:

1: Z

dx

2: Z

dx

:

:

1 + sin x

3 + cos x

3: Z

dx

:

4: Z

dx

:

3 sin x + 4 cos x

2 sin x + sin 2x

5: Z

dx

:

6: Z

sin3 x dx:

sin x cos x

7:

Z

cos

4

¡

8:

Z

sin

5

x dx:

x dx:

9:

Z

cos7 x dx:

10:

Z

cos2 x sin2 x dx:

11:

Z

sin 3x cos x dx:

12:

Z

sin 3x sin 5x dx:

13:

Z

sin(5x ¡ ¼=4) cos x dx:

14:

Z

sin(x=3) cos(2x=3) dx:

15: Z

cos3 x

16: Z

sin3 x

dx:

dx:

sin2 x

cos2 x

4.5.iNTEGRALY, ZAWISQ]IE OT RADIKALOW

4.5.1.iNTEGRALY OT PROSTYH IRRACIONALXNOSTEJ

nAPOMNIM, ^TO SIMWOL R(x; y) ZDESX I W DALXNEJ[EM OBOZNA^AET DROBX, ^ISLITELX I ZNAMENATELX KOTOROJ | MNOGO^LENY OTNOSITELXNO PEREMENNYH x; y. tAKAQ DROBX NAZYWAETSQ RACIONALXNOJ FUNKCIEJ DWUH

95

PEREMENNYH x; y. eSLI ZNAMENATELX | POSTOQNNAQ WELI^INA (MNOGO- ^LEN NULEWOJ STEPENI), RACIONALXNAQ FUNKCIQ NAZYWAETSQ CELOJ.

aNALOGI^NO OPREDELQETSQ RACIONALXNAQ FUNKCIQ TREH, ^ETYREH I T.D. PEREMENNYH.

iNTEGRAL WIDA

RÃx;		px + q		®;		px + q		¯	; :::! dx;	(14)
	µrx + s		¶		µrx + s		¶
Z
GDE ®, ¯ | RACIONALXNYE ^ISLA, A p; q; r; s | POSTOQNNYE WELI^I-

NY PRIWODITSQ K INTEGRALU RACIONALXNOJ FUNKCII, I ZNA^IT, WY-

RAVAETSQ W \LEMENTARNYH FUNKCIQH. |TOJ CELI SLUVIT PODSTANOWKA

px + q

= tn, GDE n | OB]IJ ZNAMENATELX DROBEJ ®; ¯; :::

rx + s

w ^ASTNOSTI, INTEGRAL

Z

R(x; x®; x¯; :::) dx

(15)

WY^ISLQETSQ PODSTANOWKOJ x = tn.

pRIMER 1. wY^ISLITX Z

x dx

.

p3

¡ p

1 + x

1 + x

zDESX p = q = s = 1; r = 0; ® = 1=3;

¯ = 1=2. oB]IJ ZNAMENATELX

n = 6. sLEDOWATELXNO, NEOBHODIMO ISPOLXZOWATX PODSTANOWKU

1 + x = t6;

dx = 6t5 dt:

pOLU^AEM:

x dx

=

(t6 ¡ 1)6t5 dt

=

Z

p3

¡ p

Z

t2 ¡ t3

1 + x

1 + x

5

4

3

2

+ 5 +

4) + C;

= ¡6 Z (t8 + t7 + t6 + t5 + t4 + t3) dt = ¡6t4(t9 + t8 + t7

+ t6

t

1

GDE t = p6

.

1 + x

pRIMER 2.

1

1

Z x¡2

(x3 + 1)¡2 dx.

|TO | INTEGRAL WIDA (15). pOLAGAEM x = t6. pOLU^AEM:

6 Z

2 dt

3t

t

= ¡

+ 3 arctg t + C;

(1 + t2)2

1 + t2

96

p

GDE t = 6 x.

4.5.2. iNTEGRAL OT BINOMIALXNOGO DIFFERENCIALA

bINOMIALXNYM DIFFERENCIALOM (ILI DIFFERENCIALXNYM BINOMOM) NAZYWAETSQ WYRAVENIE

xm(a + bxn)p dx;

GDE m; n; p | RACIONALXNYE ^ISLA; a; b | POSTOQNNYE, NE RAWNYE NUL@.

Z

iNTEGRAL xm(a + bxn)p dx WYRAVAETSQ ^EREZ \LEMENTARNYE FUNKCII W SLEDU@]IH TREH SLU^AQH.

sLU^AJ 1. p | CELOE ^ISLO. tOGDA INTEGRAL PODHODIT POD WID (14).

sLU^AJ 2. p | DROBX (p =

r

), NO

m + 1

| CELOE ^ISLO. tOGDA INTEG-

s

n

RAL WY^ISLQETSQ PODSTANOWKOJ a + bxn = zs ( s | ZNAMENATELX DROBI

p).

r

m + 1

sLU^AJ 3.

oBA ^ISLA p =

I

| DROBNYE, NO IH SUMMA

n

m + 1

s

+ p | CELOE ^ISLO.

n

tOGDA INTEGRAL S POMO]X@ PODSTANOWKI ax¡n + b = zs (s | ZNAME-

NATELX DROBI p).

pRIMER 1.

Z

1

2

1

dx.

x5 (3 ¡ 2x5 )¡

2

zDESX m =

1

; n =

3

;

m + 1

= 2 | CELOE ^ISLO. pOLAGAEM

n

5

5

3

= z2:

(16)

3 ¡ 2x5

mOVNO WYRAZITX x ^EREZ z I PODSTAWITX W INTEGRAL, NO PRO]E PRODIFFERENCIROWATX \TO WYRAVENIE

				2	5
				x¡5	dx = ¡		z dz				(17)
						3
I PREOBRAZOWATX ISHODNYJ INTEGRAL S POMO]X@ (16) I (17) SLEDU@]IM
OBRAZOM:		(3 ¡ 2x5 )¡		dx = Z (3 ¡ 2x5 )¡						(x¡5	dx) =
Z	x5		2					2 x5
	1	2	1		3			1	3	2

97

Z

2

µ¡

3

¶

¡6 Z

¡

¡

2

18

= (z2)¡21

3 ¡ z2

5

z dz =

5

(3

z2) dz =

5

z +

5

z3 + C;

GDE z = µ3 ¡ 2x5 ¶2 .

1

3

pRIMER 2.

Z

x¡6(1 + 2x3)32 dx.

2

m + 1

5

m + 1

zDESX m = ¡6; n = 3; p =

(DROBX);

= ¡

(DROBX);

+

3

n

3

n

+p = ¡1 (CELOE ^ISLO). pOLAGAEM x¡3 + 2 = z3; x¡4 dx = ¡z2 dz. pOD-

STAWIW 1 + 2x3 W WIDE x3(x¡3 + 2), POLU^AEM:

+ C:

Z

x¡4(x¡3 + 2)3 dx = Z

z2(¡z2 dz) = ¡5z5

+ C = ¡5x¡5(1 + 2x3)3

2

1

1

5

4.5.3. iNTEGRALY WIDA Z

R(x; (ax2 + bx + c)1=2) dx

iNTEGRALY \TOGO WIDA ( S^ITAEM, ^TO a =6 0) SWODQTSQ K INTEGRALAM

OT RACIONALXNOJ FUNKCII ODNOJ IZ PODSTANOWOK |JLERA.
pERWAQ PODSTANOWKA |JLERA PRIMENIMA PRI a > 0. pOLAGAEM
pax2 + bx + c + xpa = t:	(18)

tOGDA ax2 + bx + c = (t ¡ xpa)2. ~LENY, SODERVA]IE x2, WZAIMNO UNI- ^TOVA@TSQ, I x (A ZNA^IT, I dx) WYRAVAETSQ ^EREZ t RACIONALXNO.

pODSTAWIW \TO WYRAVENIE W (18), NAJDEM RACIONALXNOE WYRAVENIE I
DLQ RADIKALA pax2 + bx + c.
wTORAQ PODSTANOWKA |JLERA IMEET WID:
pax2 + bx + c = tx + pc:	(19)

oNA PRIMENIMA PRI c > 0. wOZWODQ W KWADRAT I DELQ NA x, POLU^A- EM RACIONALXNOE WYRAVENIE x ^EREZ t; ZATEM PODSTANOWKA (19) SWODIT PODINTEGRALXNU@ FUNKCI@ K RACIONALXNOMU WIDU.

tRETXQ PODSTANOWKA |JLERA PRIMENIMA WSQKIJ RAZ, TAK KAK TREH- ^LEN ax2 + bx + c IMEET DEJSTWITELXNYE KORNI, I, W ^ASTNOSTI, PRI a < 0.

98

pUSTX KORNI BUDUT x1; x2. tOGDA POLAGAEM

va(x ¡ x1) = t;
u
u	x		x2
t		¡

OTKUDA NAHODIM RACIONALXNOE WYRAVENIE x ^EREZ t: x =

x2t2

¡ ax1

.

rACIONALXNOE WYRAVENIE RADIKALA NAHODIM TAK:

t2

¡ a

p

= v

=

a(x ¡ x1)

(x

x2)2

= t

ax2 + bx + c

a(x

¡

x1)(x

¡

x2)

¡

j

x

¡

x2

j

:

q

u

x x2

u

t

¡

zAME^ANIE. pERWAQ I TRETXQ PODSTANOWKI |JLERA DOSTATO^NY, ^TOBY WY^ISLITX L@BOJ INTEGRAL RASSMATRIWAEMOGO WIDA.

pRIMER 1. Z pk2dx+ x2 .

iSPOLXZUEM PERWU@ PODSTANOWKU |JLERA. pOLAGAEM pk2 + x2 = t ¡ x. oTS@DA

x =

t2 ¡ k2

;

dx =

(t2 + k2) dt

;

p

= t

x =

t2 + k2

k2 + x2

¡

:

2t

2t

2t2

sLEDOWATELXNO,

Z p

dx

= Z

(t

2 + k2) dt

:

t2

+ k2

= Z

dt

= ln j t j +C =

2t2

2t

t

k2 + x2

= ln j x + p

j +C:

pRIMER 2.

Z

k2 + x2

(x ¡ 1)p¡x2 + 3x ¡ 2.

dx

dLQ WY^ISLENIQ \TOGO INTEGRALA ISPOLXZUEM TRETX@ PODSTANOWKU |JLERA. tREH^LEN ¡x2 +3x¡2 IMEET KORNI x1 = 1; x2 = 2, PO\TOMU EGO MOVNO ZAPISATX W WIDE ¡x2+3x¡2 = ¡(x¡2)(x¡1). pODKORENNOE WYRAVENIE POLOVITELXNO PRI 1 < x < 2 (PRI x = 1 I x = 2 PODINTEGRALX-

								u
										x 2
								u
NAQ FUNKCIQ OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX). pOLAGAEM								v		¡(x ¡ 1)	= t.
oTS@DA	2t2	+ 1			2t dt			t	¡
x =			;	dx =			;				(20)
	t2	+ 1			(t2	+ 1)2

99

(x

2)(x

1) = v

¡(x ¡ 1)

x

2

= t

x

2

=

t(x

2)

q¡

¡

¡

u

x 2

j

¡

j

j

¡

j

¡

¡

u

t

¡

( W SILU NERAWENSTWA 1 < x < 2 WELI^INA x ¡ 2 OTRICATELXNA). pODSTAWLQQ W PRAWU@ ^ASTX WYRAVENIE x ^EREZ t, NAHODIM:

t

q¡(x ¡ 2)(x ¡ 1) =

:

t2 + 1

w SILU RAWENSTW (20) IMEEM:

Z

(x ¡ 1)q¡(x ¡ 2)(x ¡ 1) = Z

t2 =

Z

(x ¡ 1)p¡x2

+ 3x ¡ 2 =

dx

dx

2 dt

2

2v

+ C:

=

=

x ¡ 2

¡

t

u

(x 1)

¡ u

¡

t¡

4.5.4. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | OTRABOTKA NAWYKOW WY^ISLENIQ INTEGRALOW.

1: Z

x(px + p5 x2):

2: Z

px + 1x+ p3

x + 1):

dx

dx

v

x2 + p

dx:

1

p

3:

x

dx:

4:

1 + x

¡

3

Z

u

Z

u

1 + px

p1 + x

u

t

5: Z

4 (x 1)3(x + 2)5 :

6: Z

xp3 x2

+ 1:

dx

dx

q

¡

p

7: Z

x5 3

(1 + x3)2 dx:

8: Z

1x¡5

x4

dx:

q

9: Z

xp3 1 + x5 :

10: Z

p3

x2

dx:

dx

1 + x3

100