Игнатьев_Майорова_МА_1часть

m O D U L X II.

3. differencialxnoe is~islenie

3.1. pONQTIE PROIZWODNOJ

oPREDELENIE 1. pUSTX FUNKCIQ y = f(x) OPREDELENA W TO^KE x0 I EE OKRESTNOSTI. oBOZNA^IM ^EREZ ¢x RAZNOSTX x ¡ x0, GDE x | NE- KOTORAQ TO^KA IZ OKRESTNOSTI TO^KI x0, A ^EREZ ¢y | RAZNOSTX

f(x0 + ¢x) ¡ f(x0). pROIZWODNOJ FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0 NAZY- WAETSQ PREDEL (ESLI ON SU]ESTWUET) OTNO[ENIQ PRIRA]ENIQ FUNK-

CII ¢y W \TOJ TO^KE K SOOTWETSTWU@]EMU PRIRA]ENI@ ARGUMENTA

¢x, KOGDA POSLEDNEE STREMITSQ K NUL@. pROIZWODNAQ OBOZNA^AETSQ y0; f0(x0) ILI dxdy . tAKIM OBRAZOM:

	y0 = f0(x0) = lim	¢y		= lim	f(x + ¢x) ¡ f(x)	:
		¢x			¢x
	¢x!0			¢x!0

oPERACIQ NAHOVDENIQ PROIZWODNOJ FUNKCII NAZYWAETSQ DIFFE- RENCIROWANIEM \TOJ FUNKCII.

gEOMETRI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ: ZNA^ENIE PROIZWODNOJ f0(x0) W TO^KE M(x0; y0), GDE y0 = f(x0), RAWNO TANGENSU UGLA ®, OBRAZOWANNOMU KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII f(x) W TO^KE M S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI OX (RIS. 1).

rIS. 1

rIS. 2

tAKIM OBRAZOM, KASATELXNAQ l K KRIWOJ L, PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KU M(x0; y0), IMEET UGLOWOJ KO\FFICIENT

k = tg ® = f0(x0):

31

sLEDOWATELXNO, EE URAWNENIE IMEET WID

y ¡ y0 = f0(x0)(x ¡ x0): uRAWNENIE NORMALI n K KRIWOJ L (RIS. 1):

1

y ¡ y0 = ¡f0(x0)(x ¡ x0):

oPREDELIM UGOL MEVDU DWUMQ KRIWYMI (RIS. 2). pOD UGLOM MEVDU KRIWYMI y = f1(x) I y = f2(x) W TO^KE IH PERESE^ENIQ M(x0; y0) PONIMAETSQ NAIMENX[IJ UGOL £ MEVDU KASATELXNYMI K KRIWYM W TO^KE M. tANGENS UGLA £ OPREDELQETSQ PO FORMULE:

tg ®

tg ®

1

k

k

1

f0

(x )

f0

(x

)

tg £ = tg(®

¡

® ) =

2 ¡

=

2 ¡

=

2

0

¡

1

0

:

1 + f10(x0) ¢ f20(x0)

2

1

1 + tg ®1 ¢ tg ®2

1 + k1 ¢ k2

(1)

3.1.1. pROIZWODNYE \LEMENTARNYH FUNKCIJ

(xn)0 = nxn¡1;

µx¶0 = ¡x2 ;

(px)0 = 2px:

1

1

1

(2)

(ax)0 = ax ln a;

(ex)0 = ex:

(3)

(loga x)0

=

1

;

(ln x)0 =

1

:

x ln a

x

(4)

(sin x)0

= cos x:

(5)

(cos x)0

= ¡ sin x:

(6)

(tg x)0 =

1

:

cos2 x

(7)(ctg x)0 = ¡sin12 x:

(8)(arcsin x)0 = p1 1¡ x2 :

(9)(arccos x)0 = ¡p1 1¡ x2 :

(10)	(arctan x)0	=			1	:
				1 + x2
(11)	(arcctg x)0	= ¡			1		:
					1 + x2

1 pRIMER 1. nAJTI PROIZWODNU@ FUNKCII y = p .

3 x

32

rE[ENIE. zAPI[EM SNA^ALA FUNKCI@ W WIDE y = x¡13 . tOGDA PO FORMULE (1) IMEEM

			1		1		1	¡1		1			4				1
	y0	= (x¡	3 )0	= ¡		x¡	3		= ¡			x¡	3	= ¡			3p3		:
					3						3
																		x4
	pRIMER 2. nAJTI UGOL MEVDU KRIWYMI y =														1	I	y = p				.
																				x
															x

rE[ENIE. nAJDEM TO^KU M PERESE^ENIQ \TIH KRIWYH. dLQ \TOGO PRIRAWNQEM PRAWYE ^ASTI URAWNENIJ: x1 = px, OTKUDA x = 1; y = 1, T . E . KRIWYE PERESEKA@TSQ W TO^KE M(1; 1). tEPERX NAJDEM PROIZ-

WODNYE FUNKCIJ y =

1

I y = p

:

x

x

(

1

)0

=

1

; (p

)0

=

1

x

:

x

¡x2

2px

tOGDA UGLOWYE KO\FFICIENTY KASATELXNYH K KRIWYM W TO^KE M IME- @T ZNA^ENIQ:

= (

1

)0

= 1; k

= (p

)0

=

1

k

x

:

2

1

x jx=1

¡

2

x=1

sLEDOWATELXNO, TANGENS UGLA MEVDU KASATELXNYMI:

tg £ =

k2 ¡ k1

=

21 + 1

= 3;

1 ¡ 1 ¢ 21

1 + k1 ¢ k2

OTKUDA ISKOMYJ UGOL RAWEN £ = arctg 3.

3.1.2. pRAWILA DIFFERENCIROWANIQ

pUSTX c = const; u = u(x); v = v(x); w = w(x); z = z(x). sPRAWEDLIWY SLEDU@]IE PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ:

1)c0 = 0;

2)(c ¢ u)0 = c ¢ u0;

3)(u ¨ v)0 = u0 ¨ v0;

4)(u ¢ v)0 = u0 ¢ v + u ¢ v0;

(u ¢ v ¢ w)0 = u0 ¢ v ¢ w + u ¢ v0 ¢ w + u ¢ v ¢ w0;

(u ¢ v ¢ w ¢ ::: ¢ z)0 = u0 ¢ v ¢ w ¢ ::: ¢ z + u ¢ v0

¢ w ¢ ::: ¢ z + ::: + u ¢ v ¢ w ¢ ::: ¢ z0;

µv

¶

¢

v2

µ c ¶

c

µu

¶

¡ u2

5)

u

0 =

u0

v ¡ u ¢ v0

;

u

0 =

u0

;

c

0 =

cu0

:

33

pRIMER 1. nAJTI PROIZWODNU@ FUNKCII y = 2px ¡ x1 + p4 3.

rE[ENIE. pRIMENQQ POSLEDOWATELXNO PRAWILA 3), 2), 1) I FORMULU (1) PROIZWODNYH, POLU^IM:

y0 = (2px ¡ x1 + p4 3)0 = (2px)0 ¡ (x1)0 + (p4 3)0 =

1

p4

1

1

1

1

= 2(px)0

¡ (

)0

+ (

3)0

= 2

2p

+

= p

+

:

x

x2

x2

x

x

1 pRIMER 2. nAJTI PROIZWODNU@ FUNKCII y = arccos x + 3 log2 x ¡ x3 .

rE[ENIE.
		1
y0	= µarccos x + 3 log2 x ¡			¶0	= (arccos x)0 + 3(log2 x)0 ¡ (x¡3)0 =
			x3
		1				3			3
	= ¡p						+		+		:
								x ln 2		x4
		1 ¡ x				2

pRIMER 3. pRODIFFERENCIROWATX FUNKCI@ y = px arctg x.

rE[ENIE. pRIMENQQ PRAWILO 4), POLU^IM:

y0 = (px arctg x)0 = (px)0 arctg x + px(arctg x)0 =

=	1			arctg x +	p			1
		2p				x			:
								1 + x2
			x

2 sin x pRIMER 4. nAJTI PROIZWODNU@ FUNKCII y = x2 + 3ex .

rE[ENIE. iSPOLXZUEM PRAWILA 2), 5) I 3):
	µx2 + 3ex ¶						(x2 + 3ex)2
y0 =		2 sin x		0	= 2	(sin x)0(x2	+ 3ex) ¡ sin x(x2 + 3ex)0	=

= 2cos x(x2 + 3ex) ¡ sin x(2x + 3ex): (x2 + 3ex)2

34

3.1.3. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | PRIOBRESTI NAWYKI WY^ISLENIQ PROIZWODNYH FUNKCIJ, ISPOLXZUQ TABLICU \LEMENTARNYH FUNKCIJ I SWOJSTW PROIZWODNYH.

iSPOLXZUQ OPREDELENIE PROIZWODNOJ, NAJTI PROIZWODNYE FUNKCIJ W TO^KE x = x0:

1: f(x) = 5x2:

2: f(x) = x3:

3: f(x) = p

x:

1

1

1

4: f(x) =

:

5: f(x) =

:

6: f(x) = p

:

x

x2

x

nAJTI PROIZWODNYE FUNKCIJ:

7: y = x4 + 3x2 ¡ 2x + 1:

8: y = 7x7 + 3x2 ¡ 4x ¡ 1:

1

3

p4

5

3

3

3

9: y = px +

x

¡

x2

+ 4:

10: y =

x

+

x2

¡

x3

+ 2:

5

¡ 3 sin x + 5 ctg x:

p3

11: y = 4x

12: y = 3

xx + 4 cos x ¡ 2 tg x:

13: y = log2 x + 3 log3 x:

14: y = 4e

+ arctg x + arcsin x:

15: y = ex ¡

2

+ 4 :

16: y = 5x + 6x +

µ7

¶

:

tg x

x4

1

x

18: y = x2 tg x:

17: y = x cos x:

19: y = p7

ln x:

20: y = x arccos x:

x

21: y = p3

arcctg x:

22: y = x2 log3 x:

x

23: y =

x2

+ 1

:

24: y =

ln x

+ x ctg x:

x

2

1

sin x

1

ln x

cos¡

x

25: y =

:

26: y = 2x sin x +

¡

+ 3:

1 + 2 sin x

x

x

3.1.4. pROIZWODNAQ SLOVNOJ FUNKCII

oPREDELENIE 2. pUSTX ZADANY DWE FUNKCII y = f(u) I u = g(x), PRI^EM OBLASTX ZNA^ENIJ FUNKCII g SODERVITSQ W OBLASTI OPRE- DELENIQ FUNKCII f. tOGDA FUNKCIQ y = F (x) = f(g(x)) NAZYWAETSQ SLOVNOJ FUNKCIEJ PEREMENNOJ x ILI SUPERPOZICIEJ FUNKCIJ f I g. w \TOM SLU^AE PEREMENNAQ u NAZYWAETSQ PROMEVUTO^NOJ, A x | NE- ZAWISIMOJ PEREMENNOJ.

35

eSLI FUNKCIQ g(x) DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0, A FUNKCIQ

f(u) | W TO^KE g(x0), TO SLOVNAQ FUNKCIQ y = F (x) = f(g(x)) TAKVE DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0, PRI^EM:

yx0 = Fx0(x) = (f(g(x)))0x = fu0 (u) ¢ gx0 (x);

T.E. PROIZWODNAQ SLOVNOJ FUNKCII PO NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ RAWNA PROIZWEDENI@ \TOJ FUNKCII PO PROMEVUTO^NOMU ARGUMENTU NA PROIZWODNU@ PROMEVUTO^NOGO ARGUMENTA PO NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ:

yx0 = yu0 ¢ u0x:

pRIMER 1. nAJTI PROIZWODNU@ FUNKCII y = p1 ¡ x2.

rE[ENIE. oBOZNA^IM ^EREZ u WYRAVENIE, STOQ]EE POD ZNAKOM RADIKALA, T.E. u = p1 ¡ x2. tOGDA y = pu. sLEDOWATELXNO,

y0

= y0

u0

= (p

)0

(1

x2)0

=

1

(

2x) =

x

u

:

x

u ¢

x

u ¢

¡

x

2pu

¡

¡p1 ¡ x2

pRIMER 2. nAJTI PROIZWODNU@ FUNKCII y = arcsin x1 .

rE[ENIE. rE[IM \TOT PRIMER, WWODQ PROMEVUTO^NU@ PEREMENNU@ TOLXKO MYSLENNO: u = x1 . tOGDA y = arcsin u. pO\TOMU

yx0 = yu0 ¢ ux0 = (arcsin x)u0

=x1

¢

µx

¶

0

= q1 ¡ x12

¢

µ¡x2

¶

= ¡xpx2

¡ 1:

1

1

1

1

1

pRIMER 3. pRODIFFERENCIROWATX FUNKCI@ y = ctg(1 + x2).

rE[ENIE. y = (ctg(1 + x2))0u=1+x2 ¢ (1 + x2)0x = ¡sin2(11+ x2) ¢ 2x. rASSMOTRIM DIFFERENCIROWANIE SUPERPOZICII FUNKCIJ. pUSTX

y = f(u), u = g(v), v = '(w), ...,z = Ã(x) I OBLASTX ZNA^ENIJ KAV-

DOJ POSLEDU@]EJ FUNKCII WHODIT W OBLASTX OPREDELENIQ PREDYDU- ]EJ. tOGDA FUNKCIQ y = F (x) = f(g('(:::Ã(x)))) NAZYWAETSQ SLOVNOJ FUNKCIEJ OT x ILI SUPERPOZICIEJ FUNKCIJ f; g; '; ::::; Ã. pEREMENNYE u; v; w; :::; z NAZYWA@TSQ PROMEVUTO^NYMI, A x | NEZAWISIMYM ARGUMENTOM.

eSLI ISHODNYE FUNKCII DIFFERENCIRUEMY PO SWOIM ARGUMENTAM, TO SLOVNAQ FUNKCIQ TAKVE DIFFERENCIRUEMA I yx0 = yu0 ¢ u0v ¢ vw0 ¢ ::: ¢ zx0 .

36

v

u1 ¡ x u

pRIMER 4. nAJTI PROIZWODNU@ FUNKCII y = arctg t1 + x.

rE[ENIE. oBOZNA^IM y = arctg u, u = p

, v =

1

¡ x

. tOGDA

v

1

+ x

yu0

= (arctg u)u0 =

1

=

1

;

1 + u

2

1 x

1 + r1+¡x

uv0 = (p

)v0 =

1

=

1

;

v

1

2pv

x

2r1+¡x

v0 =

1 ¡ x

0

=

(1 ¡ x)0(1 + x) ¡ (1 ¡ x)(1 + x)0

=

x

µ

¶x

1 + x

(1 + x)2

=

¡1(1 + x) ¡ (1 ¡ x) ¢ 1

=

¡1(1 + x) ¡ (1 ¡ x) ¢ 1

=

(1 + x)2

(1 + x)2

=

¡1 ¡ x ¡ 1 + x

=

¡

2

:

(1 + x)2

(1 + x)2

sLEDOWATELXNO,

y0

= y0

¢

u0

¢

v0

=

1

1

¢ ¡

2

:

1 + r

(1 + x)

2

x

u

v

x

1

x

1 x

1+¡x ¢

2r1+¡x

oBY^NO PROMEVUTO^NYE PEREMENNYE NE ZAPISYWA@TSQ, A DIFFERENCIROWANIE PROIZWODITSQ POSLEDOWATELXNO W PORQDKE, PROTIWOPOLOVNOM WY^ISLENI@ SLOVNOJ FUNKCII PRI ZADANNOM ZNA^ENII NEZAWISIMOGO ARGUMENTA.

pRIMER 5. pRODIFFERENCIROWATX FUNKCI@ y = log3 cos arctg 3x.

rE[ENIE.

y0 = (log3 cos arctg 3x)0

=

1

(cos arctg 3x)0

=

cos arctg 3x ln 3

=

1

(¡ sin arctg 3x)(arctg 3x)0 =

cos arctg 3x ln 3

=

1

(¡ sin arctg 3x)

1

(3x)0 =

cos arctg 3x ln 3

1 + (3x)2

37

=	1	(¡ sin arctg 3x)	1	3x ln 3:
	cos arctg 3x ln 3		1 + 32x

eSLI POSLEDOWATELXNOE DIFFERENCIROWANIE WYPOLNITX SRAZU, TO ZA-

PISX ZNA^ITELXNO SOKRA]AETSQ:
y0 =	1	(¡ sin arctg 3x)	1	3x ln 3:
	cos arctg 3x ln 3		1 + (3x)2

zDESX PERWYJ MNOVITELX | PROIZWODNAQ LOGARIFMA, WTOROJ MNOVITELX | PROIZWODNAQ KOSINUSA, TRETIJ | PROIZWODNAQ ARKTANGENSA I POSLEDNIJ MNOVITELX | PROIZWODNAQ POKAZATELXNOJ FUNKCII 3x.

pRIMER 6. nAJTI PROIZWODNU@ FUNKCII

y = p

1

v

ln

1 +

1

x2 + 1

¡

:

x2

µx ¡ u

¶

u

rE[ENIE.

t

1

1

Ã

1

1

2

!:

y0 =

2x

+

1

2

¢ µ¡x

3

¶

2

1

1

2px + 1

¢

¡ x

+ q1 + x

¢ ¡x

2q1 +

x2

tAK KAK PROIZWODNAQ RAZNOSTI RAWNA RAZNOSTI PROIZWODNYH, TO SNA- ^ALA BEREM PROIZWODNU@ KORNQ I UMNOVAEM EE NA PROIZWODNU@ PODKORENNOGO WYRAVENIQ (x2 + 1), ZATEM WY^ITAEM OT \TOGO PROIZWEDENIQ PROIZWODNU@ LOGARIFMA, UMNOVENNU@ NA PROIZWODNU@ PODLOGARIFMI- ^ESKOGO WYRAVENIQ, KOTORAQ, W SWO@ O^EREDX, SOSTOIT IZ SUMMY PROIZ-

	WODNOJ FUNKCII		1		I PROIZWODNOJ KORNQ, UMNOVENNOJ NA PROIZWODNU@
		x
					1
	PODKORENNOGO WYRAVENIQ µ1 +						¶.
						x2

3.1.5. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | PRIOBRETENIE NAWYKOW NAHOVDENIQ PROIZWODNYH SLOVNYH FUNKCIJ.

nAJTI y0:
27: y = sin(x2						1
		+ 5x + 2):				28: y =			cos(3 ¡ 5x):
							3
p						p
		2
									+ 5 cos x:
29: y = 13¡ x			:			30: y = 110				x:
31: y = sin x:						32: y = cos
33: y = ln(x + 1 + p						34: y = tg(x2 + 3)
				x2 + 2x + 3):

38

35: y = ln sin x:

v

u

u1 + 2x

37: y = ln t1 ¡ 2x:

39: y = x ln + arcsin px:

41: y = sin2 x3:

p

43: y = arcsin sin x:

45: y = arccos e¡x2=2

36: y = ln

x2

:

1 ¡ x2

1

p

2

38: y =

(x 1 ¡ x

+ arcsin x):

2

40: y = x arctg p

p

2x ¡ 1

2x

¡

1

¡

:

2

42: y = ctg3

x

:

3 x + 3

44: y = arctg

x

¡

3

x2 ctg 3x

46: y = e

:

3.1.6. lOGARIFMI^ESKOE DIFFERENCIROWANIE

mETOD LOGARIFMI^ESKOGO DIFFERENCIROWANIQ ZAKL@^AETSQ W SLEDU@- ]EM:

1)LOGARIFMIRUETSQ ZADANNAQ FUNKCIQ;

2)DIFFERENCIRU@TSQ OBE ^ASTI POLU^ENNOGO RAWENSTWA;

3)POLU^ENNOE WYRAVENIE RAZRE[AETSQ OTNOSITELXNO ISKOMOJ PROIZWODNOJ.

tAKIM METODOM, KAK PRAWILO, DIFFERENCIRU@TSQ FUNKCII POKA- ZATELXNO-STEPENNOGO WIDA y = (u(x))v(x) I FUNKCII, UDOBNYE DLQ LOGARIFMIROWANIQ (T.E. SODERVA]IE PROIZWEDENIQ I ^ASTNYE STEPENEJ NESLOVNYH FUNKCIJ).

pRIMER 1. nAJTI PROIZWODNU@ FUNKCII y = (ln x)x.

rE[ENIE. 1) PROLOGARIFMIRUEM ZADANNU@ FUNKCI@: ln y = x ln x; 2) PRODIFFERENCIRUEM POLU^ENNOE WYRAVENIE:

y1 ¢ y0 = x0 ln x + x(ln x)0 = ln x + x ¢ x1 = ln x + 1;

3) NAJDEM ISKOMU@ PROIZWODNU@: y0 = y(ln x + 1) = x ln x(ln x + 1).

vp u

uu 3 x + 2(3 ¡ x)7 pRIMER 2. nAJTI PROIZWODNU@ FUNKCII y = t .

(x2 + 1)5

39

rE[ENIE. 1) PROLOGARIFMIRUEM ZADANNU@ FUNKCI@:

ln y = 12(13 ln(x + 2) + 7 ln(3 ¡ x) ¡ 5 ln(x2 + 1)); 2) PRODIFFERENCIRUEM OBE ^ASTI POLU^ENNOE RAWENSTWA:

1

y0

=

1

Ã

1

7

5 ¢ 2x

!;

y

2 3(x + 2) ¡

3 ¡ x

¡ x + 1

3) NAJDEM ISKOMU@ PROIZWODNU@:

7

!

=

y0 = y1Ã

1

2

¡

¡

10x

1v

2

3(x + 2)

3 ¡ x

x + 1

p3

x)7

1

7

10x

x + 2(3

=

u

2

¡

Ã

!:

5

3(x + 2) ¡

3 x ¡ x

2

+ 1

2u

(x + 1)

u

¡

t

3.1.7. dIFFERENCIROWANIE NEQWNO ZADANNYH FUNKCIJ

oPREDELENIE 3. eSLI ZAWISIMOSTX MEVDU FUNKCIEJ y = y(x) I EGO ARGUMENTOM x ANALITI^ESKI WYRAVAETSQ W WIDE SOOTNO[ENIQ, NE RAZRE[ENNOGO OTNOSITELXNO y : F (x; y) = C; TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ y ZADANA NEQWNO.

w \TOM SLU^AE DLQ NAHOVDENIQ PROIZWODNOJ y0 PO ARGUMENTU x NADO OBE ^ASTI ISHODNOGO SOOTNO[ENIQ PRODIFFERENCIROWATX PO x, S^ITAQ, ^TO y ESTX FUNKCIQ OT x. pOLU^AETSQ WYRAVENIE, SODERVA]EE x; y I y0. oSTAETSQ RAZRE[ITX EGO OTNOSITELXNO y0.

pRIMER 1. nAJTI PROIZWODNU@ yx0 NEQWNO ZADANNOJ FUNKCII

y2 ¡ 2xy + b2 = 0:

rE[ENIE. pRODIFFERENCIRUEM PO x OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA, S^I- TAQ, ^TO y ESTX FUNKCIQ OT x : 2yy0 ¡2y ¡2xy0 = 0. oTS@DA y0 = y ¡y x.

pRIMER 2. nAJTI PROIZWODNU@ yx0 NEQWNO ZADANNOJ FUNKCII

40