Игнатьев_Майорова_МА_1часть

m o d u l x I.

1.~islowye posledowatelxnosti

1.1.~ISLOWYE POSLEDOWATELXNOSTI

1.1.1. oSNOWNYE OPREDELENIQ

oPREDELENIE 1. pUSTX KAVDOMU NATURALXNOMU ^ISLU n = 1; 2; 3; :::

PO NEKOTOROMU ZAKONU SOOTWETSTWUET ^ISLO xn. tOGDA SOWOKUPNOSTX fxng = fx1; x2; x3; :::; xn; :::g NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX@ ^ISEL ILI ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTX@.

~ISLA x1; x2; x3; :::; xn; ::: NAZYWA@TSQ \LEMENTAMI (^LENAMI) POSLE- DOWATELXNOSTI, SIMWOL xn | OB]IM \LEMENTOM (^LENOM) POSLEDOWA- TELXNOSTI, A n { NOMEROM \LEMENTA. kRATKO POSLEDOWATELXNOSTX OBOZNA^A@T fxng.

oPREDELENIE 2. pOSLEDOWATELXNOSTX xn NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU (SNIZU), ESLI SU]ESTWUET ^ISLO M(m) TAKOE, ^TO L@BOJ \LE- MENT xn \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI UDOWLETWORQET NERAWENSTWU xn · M(xn ¸ m).

oPREDELENIE 3. pOSLEDOWATELXNOSTX fxng NAZYWAETSQ OGRANI^EN- NOJ, ESLI ONA OGRANI^ENNA I SWERHU, I SNIZU, T. E. SU]ESTWU@T ^ISLA m I M TAKIE, ^TO L@BOJ \LEMENT \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI UDOW- LETWORQET NERAWENSTWAM m · xn · M.

oPREDELENIE 4. pOSLEDOWATELXNOSTX fxng NAZYWAETSQ NEOGRANI^EN- NOJ, ESLI DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA A SU]ESTWUET \LEMENT xn \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI, UDOWLETWORQ@]IJ NERAWENSTWU j xn j> A.

oPREDELENIE 5. pOSLEDOWATELXNOSTX fxng NAZYWAETSQ WOZRASTA@- ]EJ, ESLI KAVDYJ EE ^LEN BOLX[E PREDYDU]EGO, T. E. xn > xn¡1; UBY- WA@]EJ, ESLI xn < xn¡1.

uBYWA@]IE I WOZRASTA@]IE POSLEDOWATELXNOSTI NAZYWA@TSQ MONOTONNYMI.

1

1.1.2. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | ILL@STRACIQ OSNOWNYH OPREDELENIJ ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ I FORMIROWANIE NAWYKOW PO IH KLASSIFIKACII.

nAPISATX PQTX PERWYH \LEMENTOW KAVDOJ IZ POSLEDOWATELXNOSTEJ, ZADANNYH IH OB]IMI \LEMENTAMI:

1: x

=

1

:

2: x

=

n + 2

:

3: x

=

n

:

n

2n + 1

n

n

2n+1

n3

+ 1

4: x

= (

¡

1)n¡1

n + 1

:

5: x

=

sin(n¼=2)

:

n

n2

n

n

zNAQ NESKOLXKO PERWYH \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI, NAPISATX FORMULU OB]EGO \LEMENTA POSLEDOWATELXNOSTEJ:

6: 1;		1		;		1			;			1			; :::				7: 1;	1	;	1	;	1	; :::
	2					2							2
											7				1		6		1 ¢ 2 1 ¢ 2 ¢ 3 1 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 4
	31					5	7
8: 1; 2					; 2					; 3						; 3		; :::	9: 2; 10; 26; 82; 242; 730; :::
			4					9						16			25

10: ¡ 1; 1; ¡1; 1; ¡1; :::

nAPISATX PQTX PERWYH \LEMENTOW I FORMULU OB]EGO \LEMENTA KAVDOJ IZ POSLEDOWATELXNOSTEJ, ZADANNYH IH REKURENTNYMI SOOTNO[ENIQMI:

11: x1 = 1; xn+1 = xn!:	12: x1 = 1; xn+1 = xn + 3:
13: x1 = 1; xn+1 = (n + 1)xn:	14: x1 = 2; xn+1 = xn ¢ 3:
15: x1 = 1; xn = x1 + x2 + ::: + xn¡1:

oPREDELITX, KAKIE IZ POSLEDOWATELXNOSTEJ QWLQ@TSQ OGRANI^ENNYMI:

16: ¡1; 1; ¡1; 1; ¡1; 1; :::; (¡1)n ; :::

2 3 4 5 6 n 17: 2; 4; 6; 8; 10; 12; :::; 2n; :::

18: sin 1; sin 2; sin 3; sin 4; :::; sin n; ::::

19: 1; ¡2; 3; ¡4; 5; ¡6; 7; :::; (¡1)n+1; :::

20: 12; 23; 34; 45; 56; :::; n +n 1; :::

21: 1; 1; 1; 1; 1; 1; :::

22: ln 1; ln 2; ln 3; ln 4; :::; ln n; :::

2

	23.		oPREDELITX, KAKIE ^ISLOWYE POSLEDOWATELXNOSTI, PERE^ISLENNYE
	W PREDYDU]EM ZADANII, QWLQ@TSQ MONOTONNYMI.
	24.		dOKAZATX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX S OB]IM \LEMENTOM xn =
			n
	=			MONOTONNO WOZRASTA@]AQ.
		2n + 1								n
	25.		dOKAZATX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX S OB]IM \LEMENTOM xn =
										5n
	MONOTONNO UBYWA@]AQ.
	26.		dOKAZATX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX nn2o MONOTONNO WOZRASTA@]AQ.
	27.		dOKAZATX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX		(	n + 1	) MONOTONNO UBYWA@-
	]AQ.					n
	28.		wYQSNITX, MONOTONNA LI POSLEDOWATELXNOSTX (					10n	) I ESTX LI U
								n!
	NEE NAIBOLX[IJ I NAIMENX[IJ \LEMENTY.

1.2.sHODQ]IESQ POSLEDOWATELXNOSTI

1.2.1.oPREDELENIE PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI

oPREDELENIE 6. ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOS- TI fxng, ESLI DLQ L@BOGO ^ISLA " > 0 MOVNO PODOBRATX TAKOE NA- TURALXNOE ^ISLO N, ^TO DLQ WSEH ZNA^ENIJ n > N WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO j xn ¡ a j< ".

w \TOM SLU^AE PI[UT nlim!1 xn = a ILI xn ! a I GOWORQT, ^TO fxng SHODITSQ (ILI STREMITSQ) K ^ISLU a. pOSLEDOWATELXNOSTX fxng NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ, W PROTIWNOM SLU^AE | RASHODQ]EJSQ.

pRIMER 1. dOKAZATX, ^TO lim

n ¡ 1

= 1.

n!1

n

n ¡ 1

rE[ENIE.

sOSTAWIM NERAWENSTWO

j

1

¡

j

< ". rE[IM EGO:

n

n

1

1

1

j 1 ¡

+

j< ";

< ", OTKUDA n >

. sLEDOWATELXNO, WSE ^LENY PO-

n

n

n

"

SLEDOWATELXNOSTI,

NOMER KOTORYH n >

1

,

UDOWLETWORQ@T \TOMU NERA-

n

WENSTWU. nAPRIMER, PRI " = 10¡3 \TO NERAWENSTWO WYPOLNITSQ DLQ WSEH NOMEROW n > 1000. eSLI WZQTX " = 10¡5, TO n > 100000. tAKIM OBRAZOM,

SOGLASNO OPREDELENI@ PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI, lim n ¡ 1 = 1.

n!1 n

3

1

pRIMER 2. dOKAZATX, ^TO nlim

= 0 (k > 0 ¡ const).

nk

!1

rE[ENIE. zADADIM PROIZWOLXNOE " > 0 I RE[IM NERAWENSTWO

1

1

1

j

¡ 0 j< " ILI

< ". oTS@DA n >

. tAKIM OBRAZOM, DLQ L@BO-

nk

nk

"1=k

GO " NA[LI NOMER N =

1

TAKOJ, ^TO NERAWENSTWO WYPOLNQETSQ DLQ

"1=k

L@BOGO n > N.

1.2.2. bESKONE^NO BOLX[IE I MALYE POSLEDOWATELXNOSTI

oPREDELENIE 7. pOSLEDOWATELXNOSTX f®ng, IME@]AQ PREDEL, RAW- NYJ NUL@, NAZYWAETSQ BESKONE^NO MALOJ POSLEDOWATELXNOSTX@.

pOSLEDOWATELXNOSTX f¯ng, IME@]AQ PREDEL, RAWNYJ BESKONE^NOS- TI, NAZYWAETSQ BESKONE^NO BOLX[OJ POSLEDOWATELXNOSTX@, T.E. DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA M NAJDETSQ TAKOJ NOMER N, NA^INAQ

S KOTOROGO (n > N) j ¯n j> M. w \TOM SLU^AE PI[UT nlim!1 ¯n = 1 ILI ¯n ! 1.

sWOJSTWA BESKONE^NO MALYH (B.M.) I BESKONE^NO BOLX[IH (B.B.) POSLE-

DOWATELXNOSTEJ:									xn
1) eSLI fxng OGRANI^ENA, A yn ! 1, TO										! 0.
									yn
sLEDSTWIE 1. eSLI nlim yn = 1, TO nlim				1				= 0.
				y
!1	!1				n
2) eSLI fxng OGRANI^ENA, A yn ! 0, TO			xn					! 1.
			yn
	1
sLEDSTWIE 2. eSLI nlim yn = 0, TO nlim						= 1.
		y
!1	!1			n

3) eSLI xn | B. M., A yn | OGRANI^ENA, TO lim xnyn =0.
		n!1
pRIMER 1. nAJTI lim	1	.
n!1 n + 1

rE[ENIE. tAK KAK WELI^INA n+1 PRI n ! 1 ESTX B.B., TO W SILU SLED-

STWIQ SWOJSTWA 2) WELI^INA, OBRATNAQ EJ, ESTX B.M., T.E. lim	1		= 0.
n!1 n + 1

4

1.2.3.oSNOWNYE SWOJSTWA SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ

1.eSLI POSLEDOWATELXNOSTX IMEET PREDEL, TO ON EDINSTWENNYJ.

2.pREDEL POSTOQNNOJ POSLEDOWATELXNOSTI fc; c; c; :::g RAWEN \TOJ POSTO-

QNNOJ, T.E. lim c = c.

3.

n!1

GDE k = const.

lim (kxn) = k lim xn,

4.

n!1

+ y

n!1

+ lim y

.

lim (x

n

) = lim x

n

n!1

n

n!1

n!1

n

5.

lim (xnyn) = lim xn lim yn.

n!1

n!1

n!1

xn

lim x

6. lim

=

n!1

n

(y

= 0;

lim y

= 0).

n!1 yn

lim yn

n

6

n!1

n

6

n!1

nAJDEM lim

n ¡ 1

S POMO]X@ SWOJSTW B.M. I B.B. POSLEDOWATELXNOS-

n!1

n

TEJ I SWOJSTW PREDELOW:

lim

n ¡ 1

= lim (

n

1

) = lim (1

1

) = lim 1

lim

1

= 1

0 = 1:

¡ n

¡

n!1 n

n!1 n

¡ n

n!1

n!1

¡ n!1 n

pRIMER 1. nAJTI PREDEL ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI

8

(n + 1)3 ¡ (n ¡ 1)3

9 :

<

(n + 1)2 + (n

1)2

=

rE[ENIE.

:

¡

;

lim

(n + 1)3 ¡ (n ¡ 1)3

= lim

n3 + 3n2 + 3n + 1 ¡ n3 + 3n2 ¡ 3n + 1

=

n!1 (n + 1)2 + (n ¡ 1)2

n!1

n2 + 2n + 1 + n2 ¡ 2n + 1

= lim

6n2 + 2

= lim

n2(6 +

2

)

= lim

6 +

2

2

2

n

n

:

n!1 2n2 + 2

n!1 n2(2 +

2

)

n!1 2 +

2

2

2

2

n

n

pRI WOZRASTANII n DROBX

BUDET STREMITXSQ K NUL@ I, SLEDOWA-

n2

2

2

lim 6 + lim

TELXNO, lim

6 +

n2

=

n!1

n!1 n2

=

6

= 3.

2

n!1 2 +

lim 2 + lim

2

2

2

n

n!1

n!1 n2

pRIMER 2. nAJTI lim

(n4 + 3)1=3 ¡ (n3 + 4)1=5

.

n!1

(n7 + 1)1=3

rE[ENIE.

lim

(n4 + 3)1=3 ¡ (n3 + 4)1=5

= lim

n4=3(1 +

3

)1=3 ¡ n3=5(1 +

4

)1=5

=

n4

n3

n!1

(n7 + 1)1=3

n!1

n7=3(1 +

1

)1=3

n7

5

= lim

n4=3((1 +

3

)1=3 ¡

1

(1 +

4

)1=5)

=

n4

n11=15

n3

n!1

n7=3(1 +

1

)1=3

n7

= lim

(1 +

3

)1=3 ¡

1

(1 +

4

)1=5

= 0:

n4

n11=15

n3

1

)1=3

n!1

n(1 +

n7

pRIMER 3. nAJTI PREDEL lim

0

1

+

1

+ ::: +

1

1.

1 ¢ 3

3 ¢ 5

n!1

@

(2n ¡ 1)(2n + 1)A

rE[ENIE. tAK KAK

1

=

1

Ã1

1

!

;

1

=

1

Ã

1

1

!

I W OB]EM SLU-

1

3

2

¡ 3

3

5

¢

¢

2 3

¡ 5

1

1

Ã

1

1

!, TO

^AE

=

(2n ¡ 1)(2n + 1)

2

2n ¡ 1 ¡ 2n + 1

lim

0

1

+

1

+ ::: +

1

1

=

1 ¢ 3

3 ¢ 5

n!1

@

(2n ¡ 1)(2n + 1)A

= nlim

1

Ã1

¡

1

+

1

¡

1

+ ::: +

1

¡

1

!

=

5

2n ¡ 1

2n + 1

!1 2

3 3

= nlim

1

Ã1

1

! = nlim

1

01

1

1

=

1

(1

0) =

1

:

!1 2

¡ 2n + 1

!1 2

@

¡ n(2 + n)A

2

¡

2

pRIMER 4. nAJTI lim

4(n ¡ 1)! ¡ 3n!

.

n!1 (n ¡ 1)! + (n + 1)!

zAME^ANIE. oPREDELIM PONQTIE n! (n¡FAKTORIAL). |TO ^ISLO, RAWNOE PROIZWEDENI@ WSEH NATURALXNYH ^ISEL OT 1 DO n WKL@^ITELXNO, T.E. n! = 1 ¢ 2 ¢ 3 ¢ ::: ¢ n.

nAPRIMER, 5! = 1 ¢2 ¢3 ¢4 ¢5 = 120. iZ OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO n! = = (n ¡ 1)!n.

rE[ENIE. tAK KAK n! = (n ¡ 1)!n, (n + 1)! = (n ¡ 1)!n(n + 1), TO

lim

4(n ¡ 1)! ¡ 3n!

= lim

4(n ¡ 1)! ¡ 3(n ¡ 1)!n

=

n!1 (n ¡ 1)! + (n + 1)!

n!1 (n ¡ 1)! + (n ¡ 1)!n(n + 1)

= lim

(n ¡ 1)!(4 ¡ 3n)

= lim

4 ¡ 3n

=

n!1 (n ¡ 1)!(1 + n(n + 1))

n!1 1 + n2 + n

= lim

n(n4 ¡ 3)

= lim

n4 ¡ 3

= 0:

1

+ 1 + n1 )

1

+ 1 + n1 )

n!1 n2(

n!1 n(

n2

n2

6

(n + 4)!

1.2.4. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | OTRABOTKA NAWYKOW WY^ISLENIQ PREDELOW ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ S ISPOLXZOWANIEM OPREDELENIQ SHODQ]EJSQ ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI, OPREDELENIJ B.B. I B.M. ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ, A TAKVE SWOJSTW ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ.

iSHODQ IZ OPREDELENIQ PREDELA ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI, DOKAZATX SLEDU@]IE RAWENSTWA:

1: lim

3n

= 3:

2: lim

n

=

1

:

3: lim

3n + 1

= 3:

n!1 n + 1

n!1 2n + 1

2

n!1

n

nAJTI PREDELY ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ:

4: lim

(n + 1)2

:

5: lim

(2n ¡ 1)2

:

4n + 1

n!1 2n2

¡

n!1 3n2 + 5n

n

3

2

(3n + 5)

3

6: lim

¡ 100n

+ 1

:

7: lim

:

n!1 100n(n2 + 1)

n!1

3 4 ¡ n3

3

8: lim

(n + 1)2 ¡ (n ¡ 1)2

:

9: lim

pn3 + 2n ¡ 1 + pn2 + n

:

n!1

3n2 + 5n

2

n!1

p5 n6 + 1

¡2

3

10: lim

(pn2 + 1 + n)

:

11: lim

pn4 + 1 + pn3 ¡ 2n2 + 1

:

n!1

p3 n6 + 1

n!1

p4 n6 + 6n5 + 2

12: nlim

µ

1

+

1

+ ::: +

1

¶:

1

¢

2

2

¢

3

(n 1)n

!1

1

2 + 2

¡

13: nlim µ

1

1

3 + ::: + n(n + 1)¶:

1

!1

¢

¢

1

14: nlim

µ

1

+

1

+ ::: +

¶:

3

¢

5

5

¢

7

(2n + 1)(2n + 3)

!1

15: lim (n + 2)! + (n + 1)!: n!1 (n + 2)! ¡ (n + 1)!

17: lim (n + 1)! + (n + 3)!:

n!1

	16: lim	(n + 2)! + (n + 3)!	:
		(n + 4)!
	n!1
	18: lim	n! ¡ (n + 1)!	:
		(n ¡ 1)! + (n + 1)!
	n!1

dOKAZATX, ^TO SLEDU@]IE POSLEDOWATELXNOSTI QWLQ@TSQ BESKONE^NO BOLX[IMI:

7

19: f¡ng: 20: fn2g: 21: f(¡1)n+1 ¢ ng: 22: f3png:

dOKAZATX, ^TO SLEDU@]IE ^ISLOWYE POSLEDOWATELXNOSTI QWLQ@TSQ BESKONE^NO MALYMI:

23:

8

(¡1)n

9

: 24:

1

(k > 0): 25:

2n

: 26:

8

(¡1)n2

9

:

n

(nk )

(n2 + 1)

5

<

=

<pn + 1

=

:

;

:

;

27.dOKAZATX, ^TO NEOGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX nn(¡1)no NE QWLQETSQ BESKONE^NO BOLX[OJ.

28.dOKAZATX, ^TO NEOGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX fang QWLQETSQ: A) BESKONE^NO BOLX[OJ PRI j a j> 1; B) BESKONE^NO MALOJ PRI j a j< 1.

1.3.wOPROSY DLQ SAMOKONTROLQ

1.dATX OPREDELENIE ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI.

2.kAKIE POSLEDOWATELXNOSTI NAZYWA@TSQ OGRANI^ENNYMI, NEOGRANI^ENNYMI, MONOTONNYMI, SHODQ]IMISQ, RASHODQ]IMISQ?

3.~TO TAKOE PREDEL ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI?

4.kAKIE POSLEDOWATELXNOSTI NAZYWA@TSQ BESKONE^NO BOLX[IMI (B.B.) I BESKONE^NO MALYMI (B.M.)?

5.pERE^ISLITX SWOJSTWA ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ.

6.pERE^ISLITX SWOJSTWA B.B. I B.M. POSLEDOWATELXNOSTEJ.

1.4. kONTROLXNYE ZADANIQ

iSHODQ IZ OPREDELENIQ PREDELA ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI, DOKAZATX SLEDU@]IE RAWENSTWA:

1: lim

4 + n

=

1

:

2: lim

1 ¡ n

= 1:

3: lim

n + 3

= 1:

2

n!1 2n

n!1 1 + n

¡

n!1 n ¡ 3

4: lim

5 ¡ n

=

¡

1

:

5: lim

4n

= 2:

6: lim

n ¡ 1

= 1:

3n

3

2n

1

n + 1

n

!1

n

!1

¡

n

!1

n

7: lim

= 1:

n!1 n ¡ 1

8

3(n + 2)!

5(n + 3)!

nAJTI PREDELY ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ:

8: lim

(2n ¡ 1)2

:

9: lim

3n2 ¡ 4

:

5n3

n!1

n!1 2n(n + 5)2

10: lim

n4 + 3n2 ¡ 5n

:

11: lim

(n2 ¡ 4n + 1)2

:

n!1

(n

2

+ 2)

2

n!1

p3

5n

5

3

2

3

n

+ 3n

n

2

12: lim

:

13: lim

(

+ 1 ¡ 1)

:

n!1 2n4

100n3 + 1

n!1

pn

p4 n9

2

14: lim

pn

+ 2 ¡ pn

+ 1:

15: lim

+ n ¡ p3n ¡ 4:

4

5¡

3

2

3

2

¡

n!1

p5

p3

n!1

p5

n4 + 2

n7 + 3n3 + 1

n + 1

:

:

16: lim

(1 + n ¡ pn ¡ 2)

17: lim

q(n + 1)2 ¡ q(n2 ¡ 1)2

¡3

2

3

n!1

4n3

¡

5n2 + 6n

¡

1

n!1

(n2

(3n + 4)2

6

18: lim

(pn3 ¡ 2 ¡ pn5 + 1)2

:

19: lim

+ 4n ¡ 1)pn2 + 2n + 3

:

n!1

1

(n2 + 3n)(n3 ¡ 1)

n!1

(3n ¡ 5)3

20: nlim µ

1

4

+ 4

1

7 + ::: + (3n

2)(3n + 1)

¶:

1

!1

2

¢

4

+ 4

¢

¡

21: nlim µ

1

1

6 + ::: + 2n(2n + 2)¶:

1

!1

¢

¢

1

22: nlim

µ

1

+

1

+ ::: +

¶:

2

¢

5

5

¢

8

(3n

¡

1)(3n + 2)

!1

1

23: nlim

µ

1

+

1

+ ::: +

¶:

2

¢

6

6

10

(4n

¡

2)(4n + 2)

!1

¢

1

24: nlim

µ

1

+

1

+ ::: +

¶:

5

¢

9

9

13

(4n + 1)(4n + 5)

!1

¢

1

25: nlim

µ

1

+

1

+ ::: +

¶:

6

¢

7

7

¢

8

(n + 5)(n + 6)

!1

1

26: nlim

µ

1

+

1

+ ::: +

¶:

1

¢

6

6

11

(5n

¡

4)(5n + 1)

!1

¢

27: lim		:
	(n + 1)! ¡ n! + (n + 3)!
n!1
29: lim	n! + 2(n ¡ 1)! ¡ 3(n ¡ 2)!			:
n!1	4n!
31: lim	n!		:
	(n + 1)! ¡ n! + 2(n + 2)!
n!1

28:

30:

32:

lim

n!1

lim

n!1

lim

n!1

(n + 4)! ¡ (n + 2)!: (n + 5)!

(n + 2)! + (n + 1)!: (n + 3)!

2(n + 2)! ¡ (n + 1)!:

33. dOKAZATX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX f2ng | MONOTONNO WOZRASTA@- ]AQ.

9

	dOKAZATX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX:
	34.	(	n				) | MONOTONNO UBYWA@]AQ;
			4n ¡ 3
	35.	(	n ¡ 1		) | MONOTONNO WOZRASTA@]AQ;
			n
		(			) | MONOTONNO WOZRASTA@]AQ;
	36.		n
			n + 1
	37.	(1 +		1		) | MONOTONNO UBYWA@]AQ I OGRANI^ENNAQ;
				2n
		(	n + 1			) | MONOTONNO UBYWA@]AQ I OGRANI^ENNAQ.
	38.		3
			3n

10