Игнатьев_Майорова_МА_1часть

rE[ENIE. tAK KAK

f(x) = f0(x) = f00(x) = ::: = f(n+1)(x) = ex; f(0) = f0(0) = f00(0) = ::: = f(n+1)(0) = e0 = 1;

TO FORMULA mAKLORENA IMEET WID

ex = 1 +	x	+	x2	+	x3	+ ::: +	xn	+ o(xn):
							n!
1!		2!		3!

pRIMER 2. rAZLOVITX FUNKCI@ f(x) = sin x PO FORMULE mAKLORENA.

rE[ENIE. tAK KAK

f(n)(x) = sinµx + n 2

¶;

¼

f

(n)

(0) = sin n

¼

=

8

0

1

PRI

n ^ETNOM;

>

n

¡

µ

2

¶

>

>

<

>

>

PRI

n NE^ETNOM;

> (¡1) 2

TO FORMULA mAKLORENA

IMEET WID

:

sin x = x

¡

x3

+

x5

¡

x7

+ ::: + (

1)n¡1

x2n¡1

+ o(x2n):

3!

7!

1)!

5!

¡

(2n

¡

3.4.3. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | OPREDELITX NA KONKRETNYH PRIMERAH WOZMOVNOSTX PRIMENENIQ TEOREM fERMA, lAGRANVA, rOLLQ, kO[I.

1. uDOWLETWORQET LI FUNKCIQ f(x) = 3x2 ¡1 USLOWIQM TEOREMY fERMA

NA OTREZKE [1; 2]?

p

2.uDOWLETWORQET LI FUNKCIQ f(x) = 1 ¡ 3 x2 USLOWIQM TEOREMY rOLLQ NA OTREZKE [¡1; 1]?

3.uDOWLETWORQET LI FUNKCIQ f(x) = sin x USLOWIQM TEOREMY rOLLQ NA OTREZKE [0; ¼]?

4.uDOWLETWORQET LI FUNKCIQ f(x) =j x j USLOWIQM TEOREMY rOLLQ NA OTREZKE [¡1; 1]?

5.pROWERITX, UDOWLETWORQET LI FUNKCIQ f(x) = 2x ¡ x2 USLOWIQM

51

TEOREMY lAGRANVA NA OTREZKE [1; 3], I NAJTI (ESLI UDOWLETWORQET) IME- @]U@SQ W FORMULE lAGRANVA TO^KU c.

pROWERITX, PRIMENIMA LI TEOREMA lAGRANVA K SLEDU@]IM FUNKCIQM; W SLU^AE PRIMENIMOSTI NAJTI IME@]U@SQ W FORMULE lAGRANVA TO^KU c.

6:

7:

8:

9:

f(x) = x2 NA OTREZKE [3; 4]: f(x) = x3 NA OTREZKE [¡1; 0]:

f(x) = ln x NA OTREZKE [1; 3]:

q

f(x) = 5 x4(x ¡ 1) NA OTREZKE [¡1=2; 1=2]:

nAPISATX FORMULU kO[I I NAJTI TO^KU c DLQ FUNKCIJ:

10.f(x) = x3 I g(x) = x2 NA OTREZKE [a; b]:

11.f(x) = sin x I g(x) = cos x NA OTREZKE [0; ¼=2]:

12.f(x) = x2 I g(x) = px NA OTREZKE [1; 4]:

13.uDOWLETWORQ@T LI USLOWIQM TEOREMY kO[I FUNKCII f(x) = ex I

x2

g(x) = 1 + x2 NA OTREZKE [¡3; 3]?

14.rAZLOVITX MNOGO^LEN P (x) = x5 ¡2x4 +x3 ¡x2 +2x¡1 PO STEPENQM x ¡ 1 PO FORMULE tEJLORA.

15.rAZLOVITX MNOGO^LEN P (x) = x4 + 2x3 ¡ 8x2 + 4x + 4 PO STEPENQM x + 1 PO FORMULE tEJLORA.

16.rAZLOVITX FUNKCI@ f(x) = ln(1 + x) PO FORMULE mAKLORENA S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME pEANO.

17.rAZLOVITX FUNKCI@ f(x) = tg x PO FORMULE mAKLORENA DO ^LENA S x3 WKL@^ITELXNO.

rAZLOVITX FUNKCII PO FORMULE mAKLORENA DO ^LENA UKAZANNOGO PORQDKA WKL@^ITELXNO:

18.f(x) = e¡x DO ^LENA S x2:

19.f(x) = e2x¡x2 DO ^LENA S x5:

20.f(x) = ln(cos x) DO ^LENA S x4:

21.f(x) = sin sin x DO ^LENA S x3:

52

3.4.4.pRAWILO lOPITALQ

1)rASKRYTIE NEOPREDELENNOSTI WIDA 00. pERWOE PRAWILO

	lOPITALQ.			f(x)			f0(x)
	eSLI lim f(x) = lim g(x) = 0, TO lim					= lim		, KOGDA POSLED-
	x!a	x!a	x!a g(x)			x!a g0(x)

NIJ PREDEL SU]ESTWUET (KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ).

2) rASKRYTIE NEOPREDELENNOSTI WIDA 11. wTOROE PRAWILO

	lOPITALQ.				f(x)		f0(x)
	eSLI lim f(x) = lim g(x) =		1	, TO lim		= lim		, KOGDA POSLED-
	x!a	x!a		x!a g(x)		x!a g0(x)

NIJ PREDEL SU]ESTWUET (KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ).

pRAWILA WERNY I W TOM SLU^AE, KOGDA x ! 1, x ! +1, x ! ¡1, x ! a¡ I x ! a+.

3) nEOPREDELENNOSTI WIDA 0 ¢ 1, 1 ¡ 1, 00, 11, 10 I IH RASKRYTIE.

nEOPREDELENNOSTI WIDA 0¢1 I 1¡1 SWODQTSQ ALGEBRAI^ESKIMI PREOBRAZOWANIQMI K NEOPREDELENNOSTQM WIDA 00 I 11, A ZATEM RASKRYWA@TSQ S POMO]X@ PRAWILA lOPITALQ.

nEOPREDELENNOSTI WIDA 00;

11;

1

0 S POMO]X@ TOVDESTWA f(x)g(x) =

= e

g(x) ln f(x)

SWODQTSQ K NEOPREDELENNOSTI WIDA 0 ¢ 1.

pRIMER 1. nAJTI lim

x2 ¡ 1 + ln x

.

x!1

ex ¡ e

rE[ENIE. iMEEM NEOPREDELENNOSTX WIDA 0

. pRIMENQQ PRAWILO lOPI-

TALQ, POLU^IM

0

lim

x2 ¡ 1 + ln x

= lim

(x2 ¡ 1 + ln x)0

= lim

2x + x1

=

3

:

ex ¡ e

ex

x!1

x!1

(ex ¡ e)0

x!1

e

pRIMER 2. nAJTI lim x ln x.

x!0+

rE[ENIE. iMEEM NEOPREDELENNOSTX WIDA 0 ¢ 1. nO x ¢ ln x = ln1=xx I

POLU^ENA NEOPREDELENNOSTX WIDA 11. pRIMENIW PRAWILO lOPITALQ, POLU^AEM

	lim x ln x = lim		(ln x)0	= lim	1=x	=	lim x = 0:
			(1=x)0		¡1=x2
	x!0+	x!0+		x!0+			¡ x!0+

53

pRIMER 3. nAJTI lim xx.

x!0+

rE[ENIE. iMEEM NEOPREDELENNOSTX WIDA 00. nO xx = ex ln x. pOLU^AEM W POKAZATELE STEPENI NEOPREDELENNOSTX WIDA 0 ¢ 1, KOTORAQ UVE RASSMOTRENA (SM. PRIMER 3). sLEDOWATELXNO,

	lim x ln x	= e0 = 1:
lim xx = lim ex ln x = ex!0+
x!0+	x!0+

pRIMER 4. nAJTI lim (1 + x2)ex¡11¡x .

x!0+

rE[ENIE. iMEEM NEOPREDELENNOSTX WIDA 11. nO

1	ln(1 + x2)

(1 + x2)ex ¡ 1 ¡ x = eex ¡ 1 ¡ x

I W POKAZATELE STEPENI POLU^ENA NEOPREDELENNOSTX WIDA 00. pRIMENIW PRAWILO lOPITALQ, POLU^AEM

1

2x=(1 + x2)

2x

lim (1 + x2)ex

¡

1

¡

x = lim

= lim

=

ex ¡ 1

(ex

¡ 1)(1 + x2)

x!0+

x!0+

x!0+

= lim

2

=

2

= 2:

1

sLEDOWATELXNO,

x!0+ ex(1 + x2) + (ex ¡ 1)2x

1

lim ln(1 + x2)

x!0

lim (1 + x2)ex

¡

1

¡

x = e ex

¡

1

¡

x

= e2:

x 0+

!

lim (tg x)2 cos x.

pRIMER 5. nAJTI

x!¼=2

rE[ENIE. iMEEM NEOPREDELENNOSTX WIDA 10. nO

2 ln tg x (tg x)2 cos x = e2 cos x ln tg x = e1= cos x

I W POKAZATELE STEPENI POLU^ENA NEOPREDELENNOSTX WIDA 11. pRIMENQQ PRAWILO lOPITALQ, NAHODIM

	lim	2 ln tg x	= 2 lim	ln tg x		= 2 lim	sec2x= tg x		=
		1= cos x		sec x			sec x tg x
	x!¼=2		x!¼=2			x!¼=2

54

	= 2 lim	sec x		= 2 lim	sec x tg x		= lim cos x = 0:
		tg2x			2 tg xsec2x
	x!¼=2			x!¼=2			x!¼=2
	sLEDOWATELXNO,
				lim 2 cos x ln tg x
	lim (tg x)2 cos x = ex!¼=2						= e0 = 1:

x!¼=2

3.4.5. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | RASSMOTRENIE PRIMEROW ISPOLXZOWANIQ PRAWILA lOPITALQ PRI WY^ISLENII PREDELOW.

nAJTI PREDELY:

1: lim

1 ¡ cos x

:

x!0

x2

3: lim

2 ¡ (ex + e¡x) cos x

:

x!0

x4

5: lim

¼ ¡ 2 arctg x

:

x!1 e3=x ¡ 1

7: lim

ln(x ¡ 1)

:

x!1

ctg ¼x

9:

lim (sec x

¡

tg x):

x

!

¼=2

¶

11: x!1µx ¡ 1 ¡ ln x

lim

1

1

:

13:

lim (tg x)sin 2x:

x!¼=2

¡ x2

¶

15: x!0µx sin x

lim

1

1

:

2: lim

x3 ¡ 3x2 + 2

:

x!1 x3 ¡ 4x2 + 3

4:

lim

¼=2 ¡ arctg x

:

x

!

+

1

1 ln x¡1

2

x+1

6: lim

ln x

1=x

x!0+

8:

lim

ax

:

x!+1 x

10:

lim xe¡x:

x!+1

¡ x

¶

12: x!0µsin x

lim

1

1

:

14: lim xsin x:

x!0

16: lim (sin x)tg x:

x!¼=2

3.5. iSSLEDOWANIE FUNKCIJ I POSTROENIE GRAFIKOW

3.5.1. pRIZNAK MONOTONNOSTI FUNKCII

oPREDELENIE 8. nEPRERYWNAQ FUNKCIQ y = f(x) NAZYWAETSQ WOZ- RASTA@]EJ (UBYWA@]EJ) NA NEKOTOROM INTERWALE OTREZKA [a; b], ES- LI DLQ 8 xi > xi¡1 (xi 2 (a; b)) ZNA^ENIQ FUNKCII y NE UBYWA@T (NE WOZRASTA@T), T.E. y(xi) ¸ y(xi¡1) (y(xi) · y(xi¡1)).

55

pOLXZUQSX INFORMACIEJ O PROIZWODNOJ FUNKCII y = f(x) W TO^- KAH xi 2 (a; b), MOVNO UKAZATX NEOBHODIMYE I DOSTATO^NYE PRIZNAKI WOZRASTANIQ I UBYWANIQ EE W OBLASTI OPREDELENIQ. sPRAWEDLIWA

tEOREMA 6. pUSTX FUNKCIQ y = f(x) NEPRERYWNA NA OTREZKE [a; b] I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a; b). dLQ TOGO, ^TOBY FUNKCIQ f(x) BYLA NEWOZRASTA@]EJ (NEUBYWA@]EJ) NA (a; b), NEOBHODIMO I DOSTA-

TO^NO, ^TOBY f0(x)	·	0 (f0(x)	¸	0).

pRIMER 1. oPREDELITX U^ASTKI MONOTONNOSTI SLEDU@]EJ FUNKCII y = x3 ¡ 3x2 ¡ 4; x 2 R.

rE[ENIE. fUNKCIQ y = x3 ¡ 3x2 ¡ 4 OPREDELENA NA WSEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ. pOSKOLXKU y0 = 3x2 ¡6x = 3x(x¡2), TO y0 > 0 PRI x 2 (¡1; 0); y0 < 0 PRI x 2 (0; 2); y0 > 0 PRI x 2 (2; +1). tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ y = x3 ¡ 3x2 ¡ 4 WOZRASTAET 8 x 2 (¡1; 0), UBYWAET NA INTERWALE x 2 (0; 2) I OPQTX WOZRASTAET NA INTERWALE x 2 (2; +1).

pRIMER 2. oPREDELITX INTERWALY WOZRASTANIQ I UBYWANIQ FUNKCII y = ln j x j, x 2 (¡1; 0) [ (0; +1).

rE[ENIE. fUNKCIQ y = ln j x j OPREDELENA NA WSEJ ^ISLOWOJ OSI, KROME TO^KI x = 0. eE PROIZWODNAQ

		x	0			1			1
y0 = (ln j x j)0 =	j	j		= ¨					=		:
	j	x			j	x	j			x
		j

oTS@DA IMEEM: y0 > 0 PRI x 2 (0; +1); y0 < 0 PRI x 2 (¡1; 0). tAKIM OBRAZOM, NA OSNOWANII TEOREMY 1 ZAKL@^AEM, ^TO FUNKCIQ y = ln j x j UBYWAET W INTERWALE (¡1; 0) I WOZRASTAET W INTERWALE (0; +1).

3.5.2. oTYSKANIE TO^EK LOKALXNOGO \KSTREMUMA FUNKCII

oPREDELENIE 9. gOWORQT, ^TO FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE x0 LOKALXNYJ MAKSIMUM (MINIMUM), ESLI SU]ESTWUET TAKAQ OKREST- NOSTX TO^KI x0, W KOTOROJ PRI x 6= x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f(x) < f(x0) ( SOOTWETSTWENNO f ( x ) > f ( x0 ) ).

lOKALXNYJ MAKSIMUM I LOKALXNYJ MINIMUM OB_EDINQ@TSQ OB]IM NAZWANIEM LOKALXNYJ \KSTREMUM ILI PROSTO \KSTREMUM.

56

tEOREMA 7. (NEOBHODIMOE USLOWIE \KSTREMUMA). eSLI DIFFERENCIRU- EMAQ FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE x0 \KSTREMUM, TO PROIZWODNAQ f0(x) W TO^KE x0 RAWNA NUL@ ILI NE SU]ESTWUET.

zNA^ENIQ ARGUMENTA FUNKCII y = f(x), PRI KOTORYH LIBO PROIZWODNAQ FUNKCII RAWNA NUL@, LIBO PROIZWODNAQ NE SU]ESTWUET, NO SAMA FUNKCIQ NEPRERYWNA, PRINQTO NAZYWATX TO^KAMI WOZMOVNOGO \KSTREMUMA ILI KRITI^ESKIMI.

pRIMER 1. rASSMOTRIM FUNKCI@ y = x3; x 2 R.

rE[ENIE. eE PROIZWODNAQ y = 3x2 OBRA]AETSQ W NULX PRI x = 0, NO W \TOJ TO^KE FUNKCIQ NE IMEET \KSTREMUMA, IBO ONA WS@DU WOZRASTAET. |TOT PRIMER POKAZYWAET, ^TO SFORMULIROWANNOE NEOBHODIMOE USLOWIE \KSTREMUMA NE QWLQETSQ DOSTATO^NYM.

tEOREMA 8. (PERWOE DOSTATO^NOE USLOWIE \KSTREMUMA). pUSTX FUNK- CIQ y = f(x) NEPRERYWNA W TO^KE x0. tOGDA, ESLI EE PROIZWODNAQ y = f(x) SU]ESTWUET W OKRESTNOSTI TO^KI x = x0, ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, EE SAMOJ, I MENQET SWOJ ZNAK S "-" PRI x < x0 NA "+" PRI x > x0, FUNKCIQ f(x) IMEET W TO^KE x = x0 LOKALXNYJ MINIMUM; ESLI PROIZWODNAQ MENQET ZNAK S "+" NA "-", TO x = x0 | TO^KA LOKALXNOGO MAKSIMUMA.

~TOBY NAJTI TO^KI \KSTREMUMA NEPRERYWNOJ FUNKCII y = f(x), NUVNO:

1.nAJTI KRITI^ESKIE TO^KI, W KOTORYH y0 = 0 ILI NE SU]ESTWUET.

2.oPREDELITX ZNAK PROIZWODNOJ y0 SLEWA I SPRAWA OT RASSMATRIWAEMOJ KRITI^ESKOJ TO^KI. eSLI PRI PEREHODE ARGUMENTA x ^EREZ KRITI-

^ESKU@ TO^KU x0:

A) PROIZWODNAQ y0 MENQET ZNAK S "+" NA "-", TO x0 ESTX TO^KA MAKSIMUMA;

B) PROIZWODNAQ y0 MENQET ZNAK S "-" NA "+", TO x0 ESTX TO^KA MIMIMUMA;

W) PROIZWODNAQ NE MENQET ZNAKA, TO W TO^KE x0 NET \KSTREMUMA. pRI IZU^ENII POWEDENIQ NEPRERYWNOJ FUNKCII NA OTREZKE DLQ NA-

GLQDNOSTI REKOMENDUETSQ POLXZOWATXSQ SLEDU@]EJ TABLICEJ:

57

x (a; x1) x1 (x1; x2) x2 ... xn (xn; b) y0

y

w PERWOJ STROKE TABLICY FIKSIRU@TSQ KRITI^ESKIE I PROMEVUTO^- NYE TO^KI W PORQDKE IH RASPOLOVENIQ NA ^ISLOWOJ OSI. sLEWA I SPRAWA MEVDU KRITI^ESKIMI TO^KAMI RASPOLAGA@TSQ PROMEVUTO^NYE TO^KI. wO WTOROJ STROKE UKAZYWA@TSQ ZNAKI PROIZWODNOJ y0 W RASSMATRIWAEMYH PROMEVUTO^NYH TO^KAH. w TRETXEJ STROKE | ZAKL@^ENIE O POWEDENII FUNKCII y = f(x) W ISHODNOM INTERWALE MEVDU KRITI^ESKIMI TO^KAMI.

pRIMER 2. iSSLEDOWATX NA \KSTREMUM FUNKCI@ y = (1 ¡ x2)3; x 2 R.

rE[ENIE. sOGLASNO PRAWILU ISSLEDOWANIQ FUNKCIJ NA \KSTREMUM NAHODIM PROIZWODNU@: y0 = 3(1 ¡ x2)2(¡2x) = ¡6x(1 ¡ x2)2. pRIRAWNQEM PROIZWODNU@ K NUL@ I OPREDELQEM KRITI^ESKIE TO^KI:

y0 = ¡6x(1 ¡ x2)2 = 0 ! x1 = 0; x2 = 1; x3 = ¡1:

pOSKOLXKU FUNKCIQ OPREDELENA I NEPRERYWNA NA WSEJ ^ISLOWOJ OSI I PROIZWODNAQ y0 SU]ESTWUET WS@DU, KRITI^ESKIMI QWLQ@TSQ TOLXKO

TO^KI x1; x2 I x3.

iSSLEDUEM POWEDENIE FUNKCII WBLIZI KRITI^ESKIH TO^EK, OPREDELQQ ZNAK y0 SLEWA I SPRAWA OT KAVDOJ TO^KI. pRIWEDENNAQ TABLICA DLQ \TOJ FUNKCII, T.E. y = (1 ¡ x2)3, WYGLQDIT TAK:

x

(¡1; ¡1)

¡1

(¡1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; +1)

y0

> 0

0

> 0

0

< 0

0

< 0

y

wOZR.

nET \KSTR.

wOZR.

max

uBYW.

nET \KSTR.

uBYW.

pRIMER 3. iSSLEDOWATX NA MAKSIMUM I MINIMUM FUNKCII

y = xp

; x 2 [¡1; 1]:

1 ¡ x2

rE[ENIE. i]EM TO^KI \KSTREMUMA:

¡p2

1

p1 ¡ x2

1

1) pROIZWODNAQ y0 =

1

¡ 2x

OBRA]AETSQ W NULX PRI x

=

1

I

x2 = p2 I NE SU]ESTWUET (RAZRYWNA) PRI x3; x4 = ¨1. oDNAKO KRITI- ^ESKIMI TO^KAMI QWLQ@TSQ TOLXKO TO^KI x1 I x2. oNI LEVAT WNUTRI

58

OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII y, KOTORAQ PREDSTAWLQET OTREZOK [¡1; 1], I W NIH \TA FUNKCIQ NEPRERYWNA. tO^KI x3 I x4 NE QWLQ@TSQ KRITI- ^ESKIMI, TAK KAK ONI LEVAT NE WNUTRI OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII y, A NA EE GRANICAH.

2) iSSLEDUEM POWEDENIE FUNKCII WBLIZI KRITI^ESKIH TO^EK PO ZNAKU PROIZWODNOJ y0 W SOSEDNIH S NIM TO^KAH. sOSTAWIM SLEDU@]U@ TABLICU:

[¡1; ¡1=p

¡1=p

(¡1=p

; 1=p

1=p

(1=p

; 1)

x

2

2

2

2)

2

2

y0

< 0

0

> 0

0

< 0

y

uBYW.

min

wOZR.

max

uBYW.

tEOREMA 9. (WTOROE DOSTATO^NOE USLOWIE \KSTREMUMA). pUSTX W TO^KE x0 WOZMOVNOGO \KSTREMUMA FUNKCIQ y = f(x) IMEET WTO- RU@ PROIZWODNU@. tOGDA, ESLI f00(x0) < 0 (f00(x0) > 0), TO FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE x0 LOKALXNYJ MAKSIMUM (MINIMUM).

pRIMER 4. nAJTI TO^KI LOKALXNOGO \KSTREMUMA (MAKSIMUMA I MINIMUMA) FUNKCII y = x3 ¡ 12x.

rE[ENIE. oBLASTX OPREDELENIQ ISHODNOJ FUNKCII | WSQ DEJSTWITELXNAQ OSX. oPREDELIM TO^KI NA \TOJ OSI, KOTORYE QWLQ@TSQ KRITI- ^ESKIMI. iMEEM:

y0 = 3x2 ¡ 12 ! y0 = 3(x2 ¡ 4) = 0 ! x1 = 2; x2 = ¡2:

iSSLEDUEM \TI KRITI^ESKIE TO^KI, ISPOLXZUQ TEOREMU 9., NA LOKALXNYJ \KSTREMUM. wY^ISLQEM WTORU@ PROIZWODNU@ y00 = 6x I ISSLEDUEM EE ZNAK W KRITI^ESKIH TO^KAH. pRI x = 2 y00(¡2) = ¡12 < 0, SLEDOWATELXNO, KRITI^ESKAQ TO^KA x = ¡2 ESTX TO^KA MAKSIMUMA y(¡2) = = 16 = ymax, y00(2) = 12 > 0. pO\TOMU KRITI^ESKAQ TO^KA x = 2 ESTX TO^KA, GDE y(2) = ¡16 = ymin.

3.5.3. wYPUKLOSTX I TO^KI PEREGIBA GRAFIKA FUNKCII

oPREDELENIE 10. eSLI W NEKOTOROM INTERWALE KRIWAQ RASPOLOVE- NA NIVE L@BOJ SWOEJ KASATELXNOJ, TO ONA NAZYWAETSQ WYPUKLOJ WWERH, A ESLI ONA RASPOLOVENA WY[E L@BOJ SWOEJ KASATELXNOJ, TO NAZYWAETSQ WYPUKLOJ WNIZ W \TOM INTERWALE.

59

oPREDELENIE 11. tO^KU x = x0 NAZYWAEM TO^KOJ PEREGIBA, ESLI W DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI j x ¡ x0 j< ± TO^KI x0 GRAFIK FUNK- CII y = f(x) PRI x < x0 I PRI x > x0 RASPOLOVEN PO RAZNYE STORONY OT GRAFIKA KASATELXNOJ.

nAPRAWLENIE WYPUKLOSTI KRIWOJ y = f(x) HARAKTERIZUETSQ ZNAKOM WTOROJ PROIWODNOJ y00: ESLI W NEKOTOROM INTERWALE y00 > 0, TO KRIWAQ WYPUKLA WNIZ, A ESLI y00 < 0, TO KRIWAQ WYPUKLA WWERH. tEPERX SFORMULIRUEM USLOWIQ WYPUKLOSTI I PEREGIBA FUNKCII.

tEOREMA 10. ( DOSTATO^NYE USLOWIQ WYPUKLOSTI I PEREGIBA). pUSTX FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE x = x0 n PROIZWODNYH. tOGDA:

a)ESLI n ¸ 2 I f00(x0) > 0, TO GRAFIK FUNKCII y = f(x) W TO^KE x = x0 IMEET WYPUKLOSTX, OBRA]ENNU@ WNIZ;

B) ESLI n ¸ 2 I f00(x0) < 0, TO GRAFIK FUNKCII y = f(x) W TO^KE x = x0 IMEET WYPUKLOSTX, OBRA]ENNU@ WWERH;

W) ESLI n ¸ 3 I f00(x0) = 0, A f00(x0) =6 0, TO x = x0 QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA GRAFIKA FUNKCII.

wOOB]E, ESLI f00(x0) = f000(x0) = ::: = f(n¡1)(x0) = 0 I f(n)(x0) 6= 0,

TO:

G) PRI n = 2m+1 TO^KA x = x0 QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA GRAFIKA FUNKCII;

D) PRI n = 2m WYPUKLOSTX W TO^KE x = x0 OBRA]ENA WNIZ, ESLI f(n)(x0) > 0, I WWERH, ESLI f(n)(x0) < 0.

rASSMOTRIM FUNKCII y = x3 I y = x4. gRAFIK FUNKCII y = x3 IMEET PRI x = 0 TO^KU PEREGIBA (WTORAQ PROIZWODNAQ y = 6x W OKRESTNOSTI TO^KI x = 0 MENQET SWOJ ZNAK), I WYPUKLOSTX WWERH SLEWA PEREHODIT W WYPUKLOSTX WNIZ SPRAWA.

gRAFIK VE FUNKCII y = x4 NE IMEET TO^KI PEREGIBA PRI x = 0. zDESX NET IZMENENIQ NAPRAWLENIQ WYPUKLOSTI, TAK KAK WTORAQ PROIZWODNAQ y = 12x2 NE MENQET SWOEGO ZNAKA. sPRAWA I SLEWA OT x = 0 WYPUKLOSTX KRIWOJ NAPRAWLENA WNIZ, A PRI x = 0 IMEET MESTO MINIMUM FUNKCII.

iSSLEDOWANIE NAPRAWLENIQ WYPUKLOSTI KRIWOJ y = f(x); x 2 (a; b) I TO^EK PEREGIBA PROWODITSQ PO SLEDU@]EMU PRAWILU:

1. oPREDELQETSQ WTORAQ PROIZWODNAQ y00 8x 2 (a; b). dALEE NAHODQTSQ TO^KI x 2 (a; b), W KOTORYH y00 = 0 ILI NE SU]ESTWUET.

60