Игнатьев_Майорова_МА_1часть

uKAZANNU@ FORMULU PRIMENQ@T TAKVE I W OBRATNOM NAPRAWLENII:

Z Z

f('(t))'0(t) dtjt=Ã(x) = f(x) dx;

GDE t = Ã(x) | FUNKCIQ, OBRATNAQ FUNKCII x = '(t).

Z

pRIMER 1. wY^ISLITX INTEGRAL sin 8x dx.

rE[ENIE. iNTEGRAL NE TABLI^NYJ. pRIMENIM PODSTANOWKU t = 3x; TOGDA dt = (3x)0dx = 3 dx; dx = 1=3 dt. pODSTAWIW W INTEGRAL, POLU^A- EM TABLI^NYJ INTEGRAL.

Z sin 8x dx = 18 Z sin t dt:

pRIMENQQ FORMULU 7 TABLICY OSNOWNYH INTEGRALOW, NAHODIM

18 Z sin t dt = ¡18 cos t + C:

wOZWRA]AQSX K PEREMENNOJ x, OKON^ATELXNO POLU^AEM

Z sin 8x dx = ¡18 cos 8x + C:

dANNYJ INTEGRAL MOVNO WY^ISLITX I NEPOSREDSTWENNO, ZAMENIW dx NA 18d(8x), T.E. WNOSQ POD ZNAK DIFFERENCIALA MNOVITELX 8 I RAZDELIW NA NEGO INTEGRAL. w REZULXTATE POLU^AEM

Z sin 8x dx = 18 Z sin 8x d(8x) = ¡18 cos 8x + C:

|TO \KONOMI^NYJ I PROSTOJ PRIEM ^ASTO ISPOLXZUETSQ PRI WY^ISLENII INTEGRALOW.

pRIMER 2. wY^ISLITX INTEGRAL Z p1x ¡dxx2 .

rE[ENIE. wY^ISLIM DANNYJ INTEGRAL NEPOSREDSTWENNO, WYDELQQ DIFFERENCIAL NOWOJ PEREMENNOJ INTEGRIROWANIQ. iMEEM

Z

x dx

=

Z

1=2 d(x2)

=

Z ¡

1=2 d(1 ¡ x2)

=

p1 ¡ x2

p1 ¡ x2

p1 ¡ x2

81

= ¡12 Z (1 ¡ x2)¡1=2 d(1 ¡ x2) = ¡12 ¢ 2(1 ¡ x2)1=2 + C = ¡(1 ¡ x2)1=2 + C:

dANNYJ INTEGRAL WY^ISLQETSQ S POMO]X@ PODSTANOWKI t = 1 ¡ x2. sU]ESTWUET DRUGOJ NESLOVNYJ, NO WESXMA \FFEKTIWNYJ PRIEM, POZ-

WOLQ@]IJ UPROSTITX WY^ISLENIE INTEGRALOW. eSLI ^ISLITELX PODINTEGRALXNOJ FUNKCII f(x) RAWEN PROIZWODNOJ ZNAMENATELQ, TO SPRAWEDLIWA FORMULA

Zf0(x) dx = ln j f(x) j +C: f(x)

dEJSTWITELXNO, ISPOLXZUQ PODSTANOWKU t = f(x); dt = f0(x) dx, IMEEM

f0(x)

dt

Z

dx = Z

= ln j t j +C = ln j f(x) j +C:

f(x)

t

pRIMER 3. wY^ISLITX INTEGRAL Z

tg x dx.

rE[ENIE. tAK KAK tg x =

sin x

, TO INTEGRAL MOVNO ZAPISATX W WIDE

cos x

Z

tg x dx = Z

sin x

dx:

zAME^AQ, ^TO (

cos x

¡

cos x)0 = sin x, POLU^AEM

sin x

(

cos x)0

Z

tg x dx = Z

dx = Z

¡

dx = ln j sin x j +C:

cos x

sin x

dANNYJ

INTEGRAL

MOVNO WY^ISLITX I

S POMO]X@ PODSTANOWKI

t = sin x, I NEPOSREDSTWENNO, WYDELQQ DIFFERENCIAL NOWOJ PEREMENNOJ.

Z u

x

1

x ¢ 1

u

1

¡

¡

t

pRIMER 4. wY^ISLITX INTEGRAL

v

u

.

u

2

2

1

¡

x

1

¡

x

rE[ENIE. sDELAW PODSTANOWKU

t

=

v

1

+ x

, POLU^IM t2

= 1

+ x,

¡

t2

+ 1

t2

+ 1

µt2

+ 1

¶

(t2 + 1)2

1

x =

2

;

x =

t

¡ 1

; dx =

t

¡ 1

0, dt =

4tdt

. dALEE IMEEM

v

t2 dt

t2 + 1 ¡ 1

dt = 2 dt

1 + x

dx

= 2

= 2

Z

2

dt

=

1 x

¢ 1 x

t2 + 1

¡

t2 + 1

Z u

Z

t2 + 1

Z

Z

u

t

¡

¡

82

v

v

=2t ¡ 2 arctg t + C = 2 1 + x + C: 1 ¡ x 1 ¡ x

4.2.4.zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJu1 + x uu ut ¡ 2 arctg t

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | OTRABOTKA NAWYKOW WY^ISLENIQ INTEGRALOW.

wY^ISLITX INTEGRALY:

Z

1:

Z

cos 5x dx:

2:

sin 7x dx:

3:

Z

sin(3x + 5) dx:

4:

Z

e2x 2dx:

5:

Z

tg x dx:

6:

Z

e¡x

x dx:

7: Z

e

4x

8: Z

4

dx:

x

dx:

ex

1

x5 + 7

9: Z

cos2

3x:

10: Z

sin2 x3

:

dx¡

dx

11: Z (2 + 5x)9 dx:

12: Z

p

dx

:

2

3x

3

¡

13: Z

p2x ¡ 5 dx:

14: Z

p3 ¡ 7x dx:

15: Z

5x + 2:

16: Z

2 ¡dx3x:

dx

17: Z

p

18: Z

px

p3

x

dx:

p

dx:

+ 1

+ 1

x

x

19: Z

5x

6

20: Z

px + 1 + 1

p

¡

dx:

p

¡ 1 dx:

1 ¡ 3x

x + 1

21: Z

1 + 3 cos x dx:

22: Z

3 + sin 3x dx:

sin x

cos 3x

23:

Z

cos3 x ¢ sin x dx:

24:

Z

sin22 x ¢ cos x dx:

25:

Z

ecos x sin x dx:

26:

Z

e¡x

x2 dx:

27: Z

esin x cos x dx:

28: Z

ep

x

p

dx:

x

29: Z

earctg x

30: Z

e¡ tg xsec2x dx:

dx:

1 + x2

83

4.2.5. mETOD INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM

oPREDELENIE 3. fORMULOJ INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM W NEOPREDE- LENNOM INTEGRALE NAZYWAETSQ FORMULA

Z	Z
u dv = uv ¡	v du;	(1)

GDE u I v | DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII OT x. oNA POZWOLQET SWESTI

Z Z

WY^ISLENIE u dv K WY^ISLENI@ INTEGRALA v du, KOTORYJ MOVET OKAZATXSQ BOLEE PROSTYM DLQ INTEGRIROWANIQ.

	bOLX[U@ ^ASTX INTEGRALOW, WY^ISLQEMYH INTEGRIROWANIEM PO ^AS-
TQM, MOVNO RAZBITX NA TRI GRUPPY.				Z	P (x) arcctg x dx; Z
Z	1) iNTEGRALY	Z	P (x) arctg x dx,			P (x) ln x dx,
	P (x) arcsin x dx,	Z	P (x) arccos x dx,	GDE P (x) | MNOGO^LEN. dLQ IH

WY^ISLENIQ SLEDUET POLOVITX u, RAWNYM ODNOJ IZ UKAZANNYH FUNK-

CIJ, A dv = P (x) dx (SM. PRIMER 1).

Z Z Z

2) iNTEGRALY P (x)ekx dx, P (x) sin kx dx, P (x) cos kx dx, GDE

P (x) | MNOGO^LEN, A k | NEKOTOROE ^ISLO. dLQ IH WY^ISLENIQ SLE-

DUET POLOVITX u = P (x), A dv = ekx dx, dv = sin kx dx, dv = cos kx dx

SOOTWETSTWENNO ( SM. PRIMER 2).

3) iNTEGRALY Z	eax cos bx dx, Z			eax sin bx dx, GDE a I b | NEKOTORYE
^ISLA. |TI INTEGRALY WY^ISLQ@TSQ DWUKRATNYM INTEGRIROWANIEM PO
^ASTQM ( SM. PRIMER 3).
pRIMER 1. wY^ISLITX INTEGRAL Z						arcsin x dx.
rE[ENIE. pOLOVIM u = arcsin x; dv = dx. tOGDA								dx;	v = x
du = (arcsin x)0 dx = p1 + x2 ;						Z	dv = Z
			dx

(ZDESX W KA^ESTWE v MOVNO WZQTX L@BU@ IZ PERWOOBRAZNYH WIDA x + C, GDE C | PROIZWOLXNAQ POSTOQNNAQ. wZQTO v = x, T.E. C = 0). pO FOR-

MULE (1) IMEEM

arcsin x dx = x arcsin x ¡ Z

p1 + x2 =

Z

dx

1 (x2 + 1)

1

px2 + 1 + C:

= x arcsin x ¡

Z

dp

= x arcsin x +

2

4

1 + x2

84

pRIMER 2. wY^ISLITX INTEGRAL Z		x2ex dx.
rE[ENIE. pOLAGAQ u = x2; dv = ex dx, NAJDEM
du = (x2)0 dx = 2x dx; v = ex:
pO FORMULE (1) POLU^AEM
Z	x2ex dx = x2ex ¡ 2 Z		xex dx:	(2)

pOLU^ENNYJ INTEGRAL SNOWA WY^ISLQEM INTEGRIROWANIEM PO ^ASTQM, POLOVIW u = x; dv = ex dx. tOGDA

Z Z

xex dx = xex ¡ ex dx:

pODSTAWLQQ ZNA^ENIQ POLU^ENNOGO INTEGRALA W WYRAVENIE (2), NAHODIM

Z

x2ex dx = x2ex ¡ 2 Z

xex dx = x2ex ¡ 2(xex ¡ Z

ex dx) =

= x2ex ¡ 2xex + 2 Z

ex dx = x2ex ¡ 2xex + 2ex + C:

pRIMER 3. wY^ISLITX INTEGRAL Z

ex sin x dx.

rE[ENIE. pOLOVIM u = ex;

dv = sin x dx (MOVNO POLOVITX TAKVE

u = sin x; dv = ex dx). tOGDA

du = (ex)0 dx = ex dx; v =

¡

cos x:

pO FORMULE (1) IMEEM

Z

ex sin x dx = ¡ex cos x + Z

ex cos x dx:

(3)

x

WY^ISLQEM POWTORNYM INTEGRIROWANIEM PO ^AS

iNTEGRAL Z e cos x dx

x

dx. tOGDA

-

TQM, POLOVIW u = cos x; dv = e

Z

ex cos x dx = ex sin x ¡ Z

ex sin x dx:

(4)

iZ FORMUL (3) I (4) BUDEM IMETX

Z

ex sin x dx = ¡ex cos x+Z

ex cos x dx = ¡ex cos x+ex sin x¡Z

ex sin x dx:

85

pERENOSQ INTEGRAL IZ PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA W LEWU@, POLU^AEM

Z

2ex sin x dx = ¡ex cos x + ex sin x:

oKO^ATELXNO IMEEM

Z		x
	ex sin x dx =	e	(sin x ¡ cos x):
		2

4.2.6. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | OTRABOTKA NAWYKOW WY^ISLENIQ INTEGRALOW.

s POMO]X@ METODA INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM WY^ISLITX INTEGRALY:

1: Z

x arctg x dx:

3: Z

p1 + x

dx:

arcsin x

5: Z

x2

dx

arctg x

7:

Z

ln x dx:

9:

Z

x ln(3x + 2) dx:

11:

Z

(4x3 + 6x ¡ 7) ln x dx:

13:

Z

xe¡x dx:

15:

Z

x3e¡x dx:

17:

Z

x cos x dx:

19:

Z

(x + 1) cos 3x dx:

21:

Z

x2 sin x dx:

23: Z

x dx

xdx:

sin2 x

25: Z

ex sin

dx:

2

2: Z

arcsin x dx:

4: Z

arctg p

dx:

7x ¡ 1

6: Z

px

dx:

arcsin p

x

8:

Z

x ln x dx:

10:

Z

(x2 + 3x + 2) ln x dx:

12:

Z

ln(p

+ p

) dx:

1 ¡ x

1 + x

14:

Z

xe5x dx:

16:

Z

x2e¡x=2 dx:

18:

Z

x sin x dx:

20:

Z

x2 cos x dx:

22:

Z

x2ex dx:

24: Z

x dx

dx:

cos2 x

26: Z

(x3 + 1) cos x dx:

86

P (x)

4.3. iNTEGRIROWANIE RACIONALXNYH FUNKCIJ

eSLI ZNAMENATELX Q PRAWILXNOJ RACIONALXNOJ DROBI Q(x) ( IMEET STEPENX MNOGO^LENA W ^ISLITELE MENX[E STEPENI MNOGO^LENA W ZNAMENATELE, ESLI \TO NE TAK, TO DROBX NAZYWAETSQ NEPRAWILXNOJ ) I MOVET BYTX PREDSTAWLENA W WIDE

Q(x) = A(x ¡ ®)r(x ¡ ¯)s ¢ ::: ¢ (x2 + 2px + q)t(x2 + 2ux + v)´:::;

GDE A | KO\FFICIENT PRI STAR[EJ STEPENI MNOGO^LENA Q(x); ®; ¯; ::: | KORNI URAWNENIQ Q(x) = 0, A TREH^LENY NE IME@T WE]ESTWENNYH KORNEJ, TO \TA DROBX RAZLAGAETSQ NA SUMMU \LEMENTARNYH DROBEJ SLEDU@]IM OBRAZOM:

P (x)

A1

A2

Ar

=

+

+ ::: +

+ :::

Q(x)

(x ¡ ®)

(x ¡ ®)2

(x ¡ ®)r

::: +

M1x + N1

+

M2x + N2

+ ::: +

Mtx + Nt

+ :::; (5)

x2 + 2px + q

(x2 + 2px + q)2

(x2 + 2px + q)t

GDE A1; A2; :::; Ar; M1; N1; M2; N2; :::; Mt; Nt; ::: | NEKOTORYE ^ISLA, POD-

LEVA]IE OPREDELENI@. dLQ IH OPREDELENIQ UMNOVA@T OBE ^ASTI POSLEDNEGO RAZLOVENIQ (5) NA Q(x). tAK KAK RAWENSTWO MEVDU MNOGO^LENOM P (x) I MNOGO^LENOM, KOTORYJ POLU^ITSQ W PRAWOJ ^ASTI, SPRAWEDLIWO DLQ WSEH x, TO KO\FFICIENTY, STOQ]IE PRI RAWNYH STEPENQH x, RAWNY MEVDU SOBOJ. tAKIM OBRAZOM, POLU^IM RQD URAWNENIJ PERWOJ STEPENI, IZ KOTORYH NAJDEM NEIZWESTNYE ^ISLA A1; A2; :::; Ar; M1; N1;

M2; N2; :::; Mt; Nt; :::

iZLOVENNYJ METOD OTYSKANIQ RAZLOVENIQ DROBNO-RACIONALXNOJ FUNKCII NA SUMMU PROSTEJ[IH RACIONALXNYH DROBEJ NAZYWAETSQ ME-

TODOM NEOPREDELENNYH KO\FFICIENTOW. eSLI RACIONALXNAQ DROBX P (x)

Q(x)

NEPRAWILXNAQ, TO SLEDUET PREDWARITELXNO WYDELITX CELU@ ^ASTX, RAZDELIW MNOGO^LEN NA MNOGO^LEN STOLBIKOM.

pRIMER 1. wY^ISLITX INTEGRAL Z x4 + x3 + x2 + x + 1 dx. x(x2 + 1)2

rE[ENIE. pODINTEGRALXNAQ FUNKCIQ | PRAWILXNAQ RACIONALXNAQ DROBX. tAK KAK KWADRATNYJ TREH^LEN x2 +1 IMEET KOMPLEKSNYE KORNI,

87

TO PO FORMULE (5) IMEEM.
x4 + x3 + x2 + x + 1			=	A	+	Bx + C	+		Dx + E	;
	x(x2 + 1)2			x		x2 + 1		(x2 + 1)2

GDE A; B; C; D; E | KO\FFICIENTY, PODLEVA]IE OPREDELENI@. uMNOVAQ OBE ^ASTI RAWENSTWA NA x(x2 + 1), POLU^AEM

x4 + x3 + x2 + x + 1 = A(x2 + 1)2 + (Bx + C)(x2 + 1)x + (Dx + E)x

ILI

x4 + x3 + x2 + x + 1 = (A + B)x4 + Cx3 + (2A + B + D)x2 + (C + E)x + A:

sRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI x0; x1; x2; x3

I x4, PRIDEM K SISTEME

URAWNENIJ

8 x3

: A + B = 1;

4

: C = 1;

> x

>

>

2

>

>

> x : 2A + B + D = 1;

<

1 : A = 1:

>

>

>

>

>

>

rE[AQ \TU SISTEMU,

:

A = 1;

b = 0; C = 1;

D = 1;

E = 0,

NAJDEM

¡

PO\TOMU ISKOMOE RAZLOVENIE IMEET WID

x4 + x3 + x2 + x + 1

1

1

x

=

+

¡

:

x(x2 + 1)2

x

x2 + 1

(x2 + 1)2

sLEDOWATELXNO,

x4

+ x3 + x2 + x + 1

1

1

x

Z

dx = Z

dx + Z

dx ¡ Z

dx =

x(x2 + 1)2

x

x2 + 1

(x2 + 1)2

1

= ln j x j + arctg x +

+ C:

2(x2 + 1)

pRIMER 2. wY^ISLITX INTEGRAL Z

x dx

.

x3 + 1

rE[ENIE. pODINTEGRALXNAQ FUNKCIQ | PRAWILXNAQ RACIONALXNAQ DROBX. tAK KAK x3 + 1 = (x + 1)(x2 ¡ x + 1), PRI^EM WTOROJ SOMNOVITELX IMEET KOMPLEKSNYE KORNI, TO PO FORMULE (1) IMEEM

	x	=	A	+		Bx + D	;
	x3 + 1		x + 1		x2 ¡ x + 1

88

GDE A; B; D | KO\FFICIENTY, PODLEVA]IE OPREDELENI@. uMNOVAQ OBE ^ASTI RAWENSTWA NA (x + 1)(x2 ¡ x + 1), POLU^AEM

x = A(x2 ¡x+1)+(Bx+D)(x+1) = (A+B)x2 +(¡A+B+D)x+(A+D):

pRIRAWNIWAQ KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH I RE[AQ SISTEMU URAWNENIJ, POLU^IM: A = ¡1=3; B = 1=3; D = 1=3. tAKIM OBRAZOM,

Z	x3	+ 1	= ¡3 Z			x + 1	+ 3 Z				x2 ¡ x + 1 dx =
	x dx		1			dx	1				x + 1
		= ¡3 ln j x + 1 j +					3 Z		x2		¡ x + 1 dx:
			1				1				x + 1

dLQ WY^ISLENIQ POSLEDNEGO INTEGRALA WYDELIM W ZNAMENATELE POLNYJ KWADRAT: x2 ¡ x + 1 = (x ¡ 1=2)2 + 3=4 | I SDELAEM PODSTANOWKU

t = x ¡ 1=2. tOGDA

dt = Z

t2 + 3=4 +

2 Z

+ 3=4 =

Z

x2 ¡ x + 1 dx = Z t t2

+ 3=4

t2

x + 1

+ 1=2 + 1

t dt

3

dt

1

2

p

2t

=

ln(t

+ 3=4) +

3 arctg p

+ C =

2

3

=

1

ln(x2

x + 1) + p

arctg

2x ¡ 1

+ C:

¡

3

2

p3

tAKIM OBRAZOM, OKON^ATELXNO POLU^AEM

Z

x3 + 1

¡

3

j

j

6

¡

p3

3

x

dx =

1

ln

x + 1

+

1

ln(x2

x + 1) +

p

3

arctg

2x ¡ 1

+ C:

+ 3

pRIMER 3. wY^ISLITX INTEGRAL

Z

5x

dx.

(x2

2x + 5)2

¡

rE[ENIE. pODINTEGRALXNAQ FUNKCIQ | PRAWILXNAQ RACIONALXNAQ DROBX. tAK KAK x2 ¡ 2x + 5 NE RAZLAGAETSQ NA WE]ESTWENNYE MNOVITE-

	2	pq ¡2p2		p5 ¡ 1				2
LI PERWOJ STEPENI, TO POLOVIM z =			x + p	= x	¡ 1			=	x ¡ 1	, OTKUDA
x = 1 + 2z; dx = 2dz, A x ¡ 2x + 5		= 4(z + 1). sLEDOWATELXNO,
Z	(x2 5x2x + 5)2 dx =	Z	42(z2	+ 1)2		2dz =
	+ 3		5(1 + 2z) + 3

¡

89

= Z	8(z2 + 1)2 dz =	4 Z		(z2 + 1)2 + Z	(z2 + 1)2 :
	10z + 8	5		zdz	dz

kO WTOROMU INTEGRALU POSLEDNEGO RAWENSTWA MOVNO PRIMENITX LEGKO

PROWERQEMU@ REKURENTNU@ FORMULU

2n

¡

2 Z

(x2 + 1)n¡1 (n > 1):

Z

(x2 + 1)n = (2n

2)(x2

+ 1)n¡1 +

dx

x

2n

3

dx

¡

¡

w REZULXTATE POLU^IM

Z

(z2

+ 1)2 = ¡

2 z2 + 1;

z dz

1

1

Z

dz

=

z

+

1

arctg z:

(z2 + 1)2

2(z2 + 1)

2

tAKIM OBRAZOM,

8 z2

+ 1 +

2(z2

+ 1)

+ 2 arctg z + C =

Z

(x2 5x2x + 5)2 dx = ¡

+ 3

5

1

z

1

¡

4z ¡ 5

1

=

+

arctg z + C:

8(z2 + 1)

2

wOZWRA]AQSX K PEREMENNOJ x, POLU^AEM

2

µ

2

¶

Z

(x2 ¡ 2x + 5)2

2(x2

¡ 2x + 5)

5x + 3

dx =

2x ¡ 7

+

1

arctg

x ¡ 1

+ C:

4.3.1. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | ISPOLXZUQ IZLOVENNYJ METOD, WY^ISLITX INTEGRALY:

1:

3:

5:

7:

Zx ¡ 4

(x ¡ 2)(x ¡ 3) dx:

Z 3x2 + 2x ¡ 3 dx: x(x ¡ 1)(x + 1)

Zdx

(x + 1)(x ¡ 2) dx:

Z(x2 + 2) dx

(x + 1)2(x ¡ 1) dx:

2:

4:

6:

8:

Z2x + 3

				dx:
	(x ¡ 2)(x + 5)
Z	2x + 3
		dx:
	(x ¡ 2)3
Z	dx
					dx:
	(x ¡ 1)2(x + 1)
Z	x dx
			:
	x2 + 3x + 2

90