Игнатьев_Майорова_МА_1часть

2.funkciq

2.1.oSNOWNYE PONQTIQ

2.1.1.oPREDELENIE FUNKCII

oPREDELENIE 8. pUSTX X I Y | NEKOTORYE ^ISLOWYE MNOVESTWA. fUNKCIEJ f NAZYWAETSQ PRAWILO SOOTWETSTWIQ MEVDU \LEMENTAMI MNOVESTW X I Y , PRI KOTOROM DLQ L@BOGO ^ISLA x 2 X SU]EST- WUET EDINSTWENNOE ^ISLO y I PI[UT y = f(x). ~ISLO y NAZYWAETSQ ZNA^ENIEM FUNKCII f W TO^KE x. pEREMENNU@ y NAZYWA@T ZAWISIMOJ PEREMENNOJ, A PEREMENNU@ x | NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ (ILI ARGU- MENTOM); MNOVESTWO X | OBLASTX@ OPREDELENIQ (ILI SU]ESTWOWA- NIQ) FUNKCII, A MNOVESTWO Y | MNOVESTWOM ZNA^ENIJ FUNKCII.

oPREDELENIE 9. fUNKCIQ, WSE ZNA^ENIQ KOTOROJ RAWNY MEVDU SO- BOJ, NAZYWAETSQ POSTOQNNOJ. pOSTOQNNAQ FUNKCIQ OBOZNA^AETSQ BUKWOJ C (C = f(x)).

pRIMER 1. nAJTI OBLASTX OPREDELENIQ I MNOVESTWO ZNA^ENIJ FUNK-

CII y = sin x.

rE[ENIE. oBLASTX@ OPREDELENIQ FUNKCII y = sin x QWLQETSQ MNOVESTWO WSEH WE]ESTWENNYH ^ISEL, A MNOVESTWO ZNA^ENIJ FUNKCII ESTX MNOVESTWO WSEH ^ISEL, ZAKL@^ENNYH MEVDU ¡1 I 1, T.E. X = (¡1; +1)

I Y = [¡1; 1].

1 pRIMER 2. nAJTI OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII y = px ¡ x2 + 2+

+ lg(x ¡ 1).

rE[ENIE. tAK KAK FUNKCIQ PREDSTAWLQET SOBOJ SUMMU FUNKCIJ, TO OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII BUDET SOSTOQTX IZ WSEH TEH ZNA^ENIJ x, KOTORYE PRINADLEVAT ODNOWREMENNO OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ

1

p¡x2 + x + 2 I lg(x ¡ 1). pO\TOMU OBLASTX OPREDELENIQ ZADANNOJ FUNK-

CII OPREDELQETSQ KAK SOWOKUPNOSTX ZNA^ENIJ x, PRI KOTORYH ODNOWREMENNO WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA ¡x2 +x+2 > 0 I x¡1 > 0. |TO BUDET INTERWAL (1; 2).

11

2.1.2. ~ETNYE I NE^ETNYE FUNKCII

oPREDELENIE 10. fUNKCIQ f(x), ZADANNAQ NA SIMMETRI^NOM OTNO- SITELXNO NA^ALA KOORDINAT PROMEVUTKE, NAZYWAETSQ ^ETNOJ, ESLI DLQ L@BOGO ZNA^ENIQ x IZ \TOGO PROMEVUTKA IMEET MESTO RAWENSTWO

f(¡x) = f(x):

gRAFIK ^ETNOJ FUNKCII SIMMETRI^EN OTNOSITELXNO OSI Oy.

oPREDELENIE 11. fUNKCIQ f(x), ZADANNAQ NA SIMMETRI^NOM OTNO- SITELXNO NA^ALA KOORDINAT PROMEVUTKE, NAZYWAETSQ NE^ETNOJ, ES- LI DLQ L@BOGO ZNA^ENIQ x IZ \TOGO PROMEVUTKA IMEET MESTO RAWENSTWO

f(¡x) = ¡f(x):

gRAFIK NE^ETNOJ FUNKCII SIMMETRI^EN OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT.

sUMMA I RAZNOSTX DWUH ^ETNYH (NE^ETNYH) FUNKCIJ ESTX FUNKCIQ ^ETNAQ (NE^ETNAQ). pROIZWEDENIE DWUH ^ETNYH ILI DWUH NE^ETNYH FUNKCIJ ESTX FUNKCIQ ^ETNAQ, A PROIZWEDENIE ^ETNOJ FUNKCII NA NE^ETNU@ ESTX NE^ETNAQ FUNKCIQ.

pRIMER 1. dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ f(x) = x5 ¡ x3 + x NE^ETNAQ.

rE[ENIE. oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII: ¡1 < x < +1; f(¡x) = = (¡x)5 ¡ (¡x)3 + (¡x) = ¡x5 + x3 ¡ x = ¡(x5 ¡ x3 + x) = ¡f(x). sLEDOWATELXNO, FUNKCIQ NE^ETNAQ.

pRIMER 2. qWLQETSQ LI FUNKCIQ f(x) = x4 + x2, OPREDELENNAQ W PROMEVUTKE ¡2 · x < 10, ^ETNOJ?

rE[ENIE. |TA FUNKCIQ NE QWLQETSQ NI ^ETNOJ, NI NE^ETNOJ, TAK KAK EE OBLASTX OPREDELENIQ NE SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT, HOTQ FORMALXNO f(¡x) = f(x).

pRIMER 3. iSSLEDOWATX NA ^ETNOSTX I NE^ETNOSTX FUNKCI@ f(x) = = x2 + x ¡ 1.

12

rE[ENIE. oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII: ¡1 < x < +1; f(¡x) = = (¡x)2 + (¡x) ¡ 1 = x2 + (¡x) ¡ 1 = x2 ¡ x ¡ 1 =6 f(x), T.E. FUNKCIQ NE UDOWLETWORQET RAWENSTWAM f(¡x) = f(x) I f(¡x) = ¡f(x). zNA^IT, FUNKCIQ NE QWLQETSQ NI ^ETNOJ, NI NE^ETNOJ.

2.1.3. pERIODI^ESKIE FUNKCII

oPREDELENIE 12. fUNKCIQ f(x) NAZYWAETSQ PERIODI^ESKOJ, ESLI SU- ]ESTWUET ^ISLO T 6= 0 TAKOE, ^TO DLQ L@BOGO ZNA^ENIQ x IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII WYPOLNQETSQ RAWENSTWO

f(x + T ) = f(x):

~ISLO T NAZYWAETSQ PERIODOM FUNKCII. oBY^NO POD PERIODOM FUNK- CII PONIMA@T NAIMENX[IJ IZ POLOVITELXNYH PERIODOW, ESLI TAKOJ PERIOD SU]ESTWUET.

eSLI T | PERIOD FUNKCII, TO EE PERIODOM QWLQETSQ TAKVE I ^ISLO kT , GDE k | L@BOE CELOE ^ISLO (k = ¨1; ¨2; :::).

eSLI FUNKCII f(x) I g(x) PERIODI^ESKIE S PERIODAMI T1 I T2 SOOTWETSTWENNO, TO PERIODOM IH SUMMY, PROIZWEDENIQ, RAZNOSTI I ^ASTNOGO QWLQETSQ ^ISLO T , KRATNOE T1 I T2.

pRIMER 1. pOKAZATX, ^TO FUNKCIQ f(x) = sin(5x + 3) IMEET PERIOD

T = 25¼. rE[ENIE. iMEEM

sinµ5(x + 25¼¶ + 3) = sin(5x + 2¼ + 3) = sin((5x + 3) + 2¼) = sin(5x + 3):

2.1.4. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | NAU^ITXSQ OPREDELQTX OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCIJ, A TAKVE NEKOTORYE SWOJSTWA FUNKCIJ: ^ETNOSTX, NE^ETNOSTX, PERIODI^NOSTX.

nAJTI OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ, ZADANNYH FORMULAMI:

13

1: y = 3x + 2:

2: y =

3x ¡ 1

3: y = p

+

1

:

3x

1

:

5x + 6

¡

p5

¡

x

4: y = p

:

5: y = p

:

6: y = x + cos 2x:

x2 ¡ 5x + 6

4 ¡ x2

7: y = ctg

x

:

8: y = arccos(x + 2):

2

oPREDELITX, KAKAQ IZ FUNKCIJ QWLQETSQ ^ETNOJ, NE^ETNOJ I KAKAQ

NE QWLQETSQ NI ^ETNOJ, NI NE^ETNOJ:				2	¶		:	11: y = µ	3	¶	¡ 3x:
9: y = cos x + x sin x:	10: y = 2x + µ
				1		x			1		x
12: y = 5 log2(x + 1):	13: y = log2	2	¡ x				:	14: y = 5¡x2:
			+ x
15: y = x3 + x2:	2
	16: y = x2 + 3x ¡ 1: 17: y = x3 + 2x:
nAJTI PERIOD FUNKCIJ:
18: y = sin 4x:	19: y = sin x + cos 2x:							20: y = sin 3x + sin 2x:
21: y = sin(3x + 1):	22: y = sin2(x=3):

2.2.pREDEL FUNKCII.

2.2.1.oPREDELENIE PREDELA FUNKCII I EGO MODIFIKACII sNA^ALA DADIM DWA \KWIWALENTNYH OPREDELENIQ PREDELA FUNKCII.

oPREDELENIE 13. pUSTX FUNKCIQ y = f(x) OPREDELENA W OKRESTNOS- TI NEKOTOROJ TO^KI a (ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET SAMOJ TO^- KI a). tOGDA ^ISLO b NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII W TO^KE a, ESLI DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA " NAJDETSQ TAKOE POLOVITELX- NOE ^ISLO ±, ^TO PRI WSEH x IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII, UDOWLE- TWORQ@]IH NERAWENTWU j x¡a j< ±, BUDET WYPOLNQTXSQ NERAWENSTWO j f(x) ¡ b j< ".

oPREDELENIE 14. pUSTX FUNKCIQ y = f(x) OPREDELENA W OKRESTNOS- TI NEKOTOROJ TO^KI a (ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET SAMOJ TO^- KI a). tOGDA ^ISLO b NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII W TO^KE a, ESLI DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI xn ! a IMEET MESTO f(x) ! b.

14

eSLI b | PREDEL FUNKCII f(x) W TO^KE a, TO W \TOM SLU^AE PI[UT:

b = lim f(x).

x!a

dALEE DADIM OPREDELENIQ ODNOSTORONNIH PREDELOW I PREDELA FUNKCII NA BESKONE^NOSTI.

oPREDELENIE 15. pUSTX FUNKCIQ f OPREDELENA NA NEKOTOROM POLU- INTERWALE (a; b]. ~ISLO c NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W TO^KE a

SPRAWA (PI[UT c = lim f(x)), ESLI DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI

x!a+

xn ! a (xn > a) IMEET MESTO f(xn) ! c. aNALOGI^NO OPREDELQETSQ

PREDEL FUNKCII f W TO^KE a SLEWA lim f(x).

x!a¡

zAMETIM,		^TO lim f(x)			SU]ESTWUET TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
				x!a
lim f(x) = lim f(x) = lim f(x).
x a	¡	x	!	a+	x!a
!

oPREDELENIE 16. ~ISLO b NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f NA BES-
KONE^NOSTI ( PI[UT b = xlim f(x)), ESLI PRI x ! 1 f(x) ! b. aNA-
!1	lim f(x);	lim f(x).
LOGI^NO OPREDELQ@TSQ PREDELY
	x!+1	x!¡1

w ZAKL@^ENIE SFORMULIRUEM OPREDELENIE NESOBSTWENNOGO PREDELA FUNKCII.

oPREDELENIE 17. pUSTX FUNKCIQ f(x) OPREDELENA NA NEKOTOROJ OK- RESTNOSTI TO^KI a, ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, SAMOJ TO^KI a.

tOGDA lim f(x) = 1, ESLI PRI x ! a f(x) ! 1.

x!a

eSLI lim f(x) = 1 I W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a FUNKCIQ

x!a

f(x) > 0 ( SOOTWETSTWENNO f(x) < 0), TO PI[UT lim f(x) = +1

x!a

(SOOTWETSTWENNO lim f(x) = ¡1). tAKIE FUNKCII NAZYWA@TSQ BES-

x!a

KONE^NO BOLX[IMI PRI x ! a.

w OTLI^IE OT NIH FUNKCII, DLQ KOTORYH lim f(x) = 0, NAZYWA@T

BESKONE^NO MALYMI PRI x ! a.

x!a

		2.2.2. sWOJSTWA PREDELOW FUNKCIJ
sWOJSTWA PREDELA FUNKCII:
1.	eSLI SU]ESTWUET PREDEL FUNKCII, TO ON EDINSTWENNYJ.
eSLI SU]ESTWU@T lim f(x) I lim g(x), TO
	lim(f(x)		x!a	x!a
2.		¨	g(x)) = lim f(x)		lim g(x).
	x!a		x!a		¨ x!a
3.	lim(f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x).
	x!a		x!a	x!a

15

4.lim(c f(x)) = c lim f(x).

x!a

x!a

5. lim

f(x)

=

lim f(x)

; ESLI lim g(x) = 0.

x!a

x a g(x)

lim g(x)

x

!

a

6

!

x!a

rASSMOTRIM PRIMERY NA NAHOVDENIE PREDELA S POMO]X@ SWOJSTW 1{ 5.

pRIMER

1.

nAJTI lim(x5

+

x

x(x

1) + 3x + 4).

x + 2 ¡

¡

x!2

rE[ENIE. s U^ETOM SWOJSTW 2 { 5 IMEEM

lim(x5

+

x

x(x

1) + 3x + 4) =

x + 2 ¡

¡

x

2

!

x

= lim x5 + lim

lim x(x

¡

1) + lim 3x + lim 4 =

x!2

x!2 x + 2

¡ x!2

x!2

x!2

lim x

= (lim x)5

+

x!2

lim x

lim(x

¡

1) + 3 lim x + 4 =

x!2

lim(x + 2) ¡ x!2

¢ x!2

x!2

x!2

2

5

2(lim x

lim 1) + 3

2 + 4 =

= 2

+ lim x + lim 2 ¡

¢

x!2

¡ x!2

x!2

x!2

= 25 +

2

1

¡ 2(2 ¡ 1) + 6 + 4 = 40

:

2 + 2

2

sLEDUET OBRATITX WNIMANIE NA WAVNOE OGRANI^ENIE W SWOJSTWE 5 (W PREDELE ^ASTNOGO).

pRIMER 2. nAJTI lim x2 ¡ 3 . x!2 (x ¡ 2)2

rE[ENIE. zDESX SWOJSTWO 5 NE PRIMENIMO, POTOMU ^TO PREDEL ZNAMENATELQ RAWEN NUL@. nO TAK KAK PRI x ! 2 ^ISLITELX QWLQETSQ WELI- ^INOJ OGRANI^ENNOJ, A ZNAMENATELX STREMITSQ K NUL@, TO WSQ DROBX

BUDET NEOGRANI^ENNO WOZRASTATX, T.E. lim x2 ¡ 3 = 1. x!2 (x ¡ 2)2

2.2.3. pERWYJ I WTOROJ ZAME^ATELXNYE PREDELY

pERWYJ ZAME^ATELXNYJ PREDEL: lim					sin x			= 1. eGO SLEDSTWIQ:
				x!0		x
lim	tg x	= 1;	lim	arcsin x		= 1;			lim	arctg x	= 1:
				x						x
x!0 x			x!0						x!0

16

x!12

wTOROJ ZAME^ATELXNYJ PREDEL: lim µ1 + 1¶x = e ( e | OSNOWANIE

x!1 x

NATURALXNOGO LOGARIFMA).

µ¶1

sLEDSTWIE: lim 1 + x x = e. oTMETIM SLEDU@]IE POLEZNYE FORMU-

x!0

LY PRI n > 0 I a > 1:

lim	xn	= 0;	lim	ln x		= 0;	lim xn ln x = 0:
				xn
x!+1 an			x!+1				x!+1

2.2.4. pRIMERY NA NAHOVDENIE PREDELOW FUNKCIJ

t I P 1. pREDELY NERAZRYWNYH FUNKCIJ ILI SWEDENIE K PREDELAM NERAZRYWNYH FUNKCIJ.

x2 + x ¡ 1 pRIMER 1. nAJTI lim 2x + 1 4 .

rE[ENIE. tAK KAK POD ZNAKOM PREDELA STOIT NEPRERYWNAQ W TO^KE

x =

1

FUNKCIQ, TO, ISPOLXZUQ OPREDELENIE NEPRERYWNOJ FUNKCII, IME-

2

EM:

x2

+ x ¡ 41

41 + 21 ¡ 41

1

lim

=

=

:

x!21

2x + 1

2 ¢ 21 + 1

4

pRIMER 2. nAJTI lim

x3

¡ 1

.

¡ 1

x!1 x2

x3

1

rE[ENIE. fUNKCIQ

x2

¡

PRI x = 1 NEOPREDELENA µ"NEOPREDELENNOSTX

1

0

¡

TIPA

" ¶ I, SLEDOWATELXNO, NE QWLQETSQ NEPRERYWNOJ W \TOJ TO^KE. nO

0

PRI WSEH DRUGIH ZNA^ENIQH x

x3 ¡ 1

=

(x ¡ 1)(x2 + x + 1)

=

x2 + x + 1

:

x2 ¡ 1

(x ¡ 1)(x + 1)

x + 1

pOLU^ENNAQ FUNKCIQ OPREDELENA I NEPRERYWNA W TO^KE x = 1, PO\TOMU

lim	x3 ¡ 1	= lim	x2 + x + 1	=	1 + 1 + 1	=	3		:
			x + 1		1 + 1		2
x!1 x2 ¡ 1		x!1

17

pRIMER 3. nAJTI lim x2 ¡ x ¡ 2 . x!¡1 x2 + 4x + 3

rE[ENIE. tAK KAK MNOGO^LENY x2 ¡ x ¡ 2 I x2 + 4x + 3 IME@T KORNI x1 = ¡1; x2 = 2 I, SOOTWETSTWENNO, x1 = ¡1; x2 = ¡3, TO

	x2 ¡ x ¡ 2	=	(x + 1)(x ¡ 2)	:
	x2 + 4x + 3		(x + 1)(x + 3)

tAK KAK FUNKCIQ, STOQ]AQ POD ZNAKOM PREDELA, RASSMATRIWAETSQ TOLXKO PRI x =6 ¡1, TO x + 1 =6 0. pO\TOMU MOVNO SOKRATITX NA x + 1

(x + 1)(x ¡ 2)	=	x ¡ 2	:
(x + 1)(x + 3)
	x + 3

pOLU^IM NEPRERYWNU@ W TO^KE x = ¡1 FUNKCI@, PO\TOMU

lim

x2 ¡ x ¡ 2

= lim

x ¡ 2

=

¡1 ¡ 2

=

¡

3

:

1 + 3

2

x 1 x2 + 4x + 3

x

1 x + 3

!¡

!¡

¡

t I P 2. iSPOLXZOWANIE SWOJSTW B. M. I B. B. WELI^IN

pRIMER 4. nAJTI lim

x4

+ 3x

.

¡ 1

x!1 2x5 + x3

rE[ENIE. zDESX TREBUETSQ NAJTI PREDEL OTNO[ENIQ DWUH BESKONE^NO BOLX[IH WELI^IN, O KOTOROM ZARANEE NI^EGO OPREDELENNOGO SKAZATX NELXZQ µ "NEOPREDELENNOSTX TIPA 11" ¶.

pREOBRAZUQ FUNKCI@ POD ZNAKOM PREDELA I ISPOLXZUQ SWOJSTWA B.M. I B.B. WELI^IN, IMEEM

lim

x4 + 3x

x!1 2x5 + x3 ¡ 1

pRIMER 5. nAJTI

= lim	x4(1 +			3	)				= lim	1 +			3				= 0:
				3									3
				x								x
		1				1					1				1
x!1 x5(2 +			¡				)		x!1 x(2 +				¡			)
		x2				x5					x2				x5

lim (px + 3 ¡ px + 2).

x!1

rE[ENIE. tAKOGO TIPA PRIMERY RE[A@TSQ PEREWODOM IRRACIONALXNOSTI IZ ^ISLITELQ W ZNAMENATELX I (ILI), NAOBOROT, IZ ZNAMENATELQ W ^ISLITELX. zDESX IMEEM PREDEL RAZNOSTI DWUH POLOVITELXNYH B.B. WELI^IN ("NEOPREDELENNOSTX TIPA 1 ¡ 1"). oT \TOJ NEOPREDELENNOSTI IZBAWIMSQ, UMNOVIW I ^ISLITELX, I ZNAMENATELX WYRAVENIQ NA

18

p

p

=

(p

¡ p

x + 2)(p

+ p

x + 3

x + 3

x + 2)

=

x + 3

x + 2

¡

px + 3 + px + 2

= x + 3 ¡ (x + 2)

=

1

:

p

+ p

p

+ p

x + 3

x + 2

x + 3

x + 2

1

sLEDOWATELXNO

lim (p

p

= 0.

x + 3

x + 2) = lim

, x!+1

¡

x!1 px + 3 + px + 2

FUNKCI@ px + 3 + px + 2, ^TOBY WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ RAZNOSTI

KWADRATOW:

zAME^ANIE. eSLI W PRIMERAH 4 I 5 OT PEREMENNOJ x PEREJTI K NO-

1

WOJ PEREMENNOJ y PO FORMULE x =

, TO WMESTO x ! 1 BUDEM IMETX

y

1

y =

! 0 I PRIMERY 4 I 5 MOGUT BYTX OTNESENY K TIPU 1. rEKOMEN-

x

DUEM PRIMENITX SAMOSTOQTELXNO \TOT SPOSOB DLQ RE[ENIQ PRIMEROW 4

I 5.

p3

+ p3

pRIMER 6. nAJTI lim

.

x + 2

x ¡ 2

x!0

px2 + 1 ¡ 1

rE[ENIE. oT NEOPREDELENNOSTI

0

IZBAWIMSQ, UMNOVIW FUNKCI@, STO-

0

Q]U@ POD ZNAKOM PREDELA TAKIM OBRAZOM, ^TOBY ^ISLITELX DOPOLNITX

DO SUMMY KUBOW, A ZNAMENATELX | DO RAZNOSTI KWADRATOW:

3

(p3 x + 2 + p3 x

2)(

(x + 2)2

2)(x + 2) + 3 (x

2)2)

¡

3

¡

r(x

¡

¡

lim

q

q

£

x

!

0

3 (x + 2)2

3

2)(x + 2) +

3

(x

2)2

r(x

¡

¡

q

¡

p

+ 1

q

x2 + 1

=

£

(p

¡ 1)(p

+ 1)

x2 + 1

x2 + 1

(x + 2 + x ¡ 2)(p

+ 1)

= lim

x2 + 1

=

x

0

( 3 (x + 2)2

3

2)(x + 2) +

3

(x

2)2)(x2 + 1

1)

!

¡

r(x

¡

¡

¡

q

2x(p

q

= lim

x2 + 1

+ 1))

:

x

0

( 3

(x + 2)2

3

2)(x + 2) +

3

(x

2)2)x2

!

¡

r(x

¡

¡

q

q

pOSLE SOKRA]ENIQ NA x PREDEL ^ISLITELQ RAWEN 4, A PREDEL ZNAMENATELQ | NUL@. pO\TOMU

lim	p3			+ p3
		x + 2				x ¡ 2	=		:
		p						1
x 0			2	+ 1 ¡ 1
!			x

19

t I P 3. iSPOLXZOWANIE PERWOGO ZAME^ATELXNOGO PREDELA

pRIMER 7. nAJTI lim

sin 3x

.

x!0

5x

rE[ENIE.

tAK

KAK lim

sin y

= 1,

TO

lim

sin 3x

= 1.

sLEDOWATELXNO,

y!0 y

x!0 3x

lim

3 sin 3x

=

3

lim

sin 3x

=

3

.

3 ¢ 5x

5

x!0

5 x!0 3x

pRIMER 8. nAJTI lim

1 ¡ cos2 x

.

x!0

1 ¡ cos 2x

x

rE[ENIE

.

tAK KAK

1 ¡ cos x = 2 sin

2

I lim cos x = 1 (FUNKCIQ cos x

2

x!0

NEPRERYWNA), TO S ISPOLXZOWANIEM PERWOGO ZAME^ATELXNOGO PREDELA

IMEEM:

1 ¡ cos2 x

(1 ¡ cos x)(1 + cos x)

lim

= lim

=

1 ¡ cos 2x

x!0

x!0

1 ¡ cos 2x

= lim

2 sin2 x2 (1 + cos x)

= lim

sin2 x2 (1 + cos

x)

=

1 ¢ 2

=

1

:

2

4 ¢ 1

x!0

2 sin2 x

x!0

4(x2 )2 sinx2 x

2

pRIMER 9. nAJTI lim

sin x ¡ sin 3x

.

x!0 cos 2x ¡ cos 4x

rE[ENIE. iSPOLXZUEM FORMULY RAZNOSTI SINUSOW I KOSINUSOW:

lim

2 cos 2x sin(¡x)

=

lim

cos 2x

=

¡1

:

¡2 sin 3x sin(¡x)

x!0

¡ x!0 sin 3x

pRIMER 10. nAJTI lim sin 4x. x!¼ tg 5x

rE[ENIE. tAK KAK x ! ¼, A NE K 0, TO PRIMENITX SRAZU PERWYJ ZAME^A- TELXNYJ PREDEL NELXZQ. sDELAEM PO\TOMU ZAMENU PEREMENNOJ: ¼¡x = y,

OTKUDA x = ¼ ¡ y. tOGDA PRI x ! ¼

y ! 0 I

lim

sin 4(¼ ¡ y)

= lim

¡ sin 4y

= lim

4y

=

4

:

¡ tg 5y

5 ¢ 4y ¢ tg5y5y

y!0 tg 5(¼ ¡ y)

y!0

y!0

5

t I P 4. iSPOLXZOWANIE WTOROGO ZAME^ATELXNOGO PREDELA

x + 2

x

pRIMER 11. nAJTI xlim

µ

¶

.

2x

¡

1

!1

20