Игнатьев_Майорова_МА_1часть

rE[ENIE. wYDELIM U DROBI CELU@ ^ASTX:

x!1µ

2 ¢ 2x ¡ 1

¶

x!1

2x µ

2x ¡ 1

¶

x!1

2x µ

2x ¡ 1¶

lim

1

x + 2

x

= lim

1

2x ¡ 1 + 5

x

= lim

1

1 +

5

x:

1

ylim µ1 +

¶

y

~TOBY ISPOLXZOWATX WTOROJ ZAME^ATELXNYJ PREDEL

= e,

y

2x ¡ 1

!1

W POKAZATELE WYDELIM WYRAVENIE

:

xlim 2x

µ1 + 2x

1¶

5

¶

µ

¶¢25

2x¡51+1 ¢25

= xlim 2x µ1 + 2x

5

1

=

1

5

1

2x5¡1

+51

!1

¡

1¶

!1

1

¶

5 ¶

¡

¶

= 0:

= xlim 21x µµ1 + 2x

5

5

µ1 + 2x

5

2 = 0 ¢ µe ¢ (1 + 0)5

2

2x¡1

1

5

1

5

!1

¡

¡

2.2.5. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | OTRABOTKA NAWYKOW NAHOVDENIQ PREDELOW RAZLI^NYH FUNKCIJ.

iSPOLXZUQ OPREDELENIE, DOKAZATX, ^TO:

1: lim(3x	¡	5) = 1:	2:	lim(2x	¡	5) = 7:	3: lim(3x + 5) = 11:
x!2				x!2			x!2

nAJTI PREDELY FUNKCIJ:

4: lim

x3 + 3x2 + 2x

:

x2 ¡ x ¡ 6

x!¡2 2

6: lim

x

¡ 2x ¡ 8

:

x!4 x2

¡

5x + 4

2

8: lim

(2x ¡ 1)x

1

:

x

1

2x

2 + x

¡

!

2

x

2

10: lim

¡ 1

:

x!1 2x2 4¡ x ¡ 1

12: lim

x

¡ 5x

:

x

x!1 x5 + 5x2

¡

p1 + x

2

14: lim

¡ 1

:

x!0 p

x

1 + x ¡ 1

16: lim

:

x!0

x2

5: lim

8x3 ¡ 1

:

5x + 1

x

1

x2

¡

!

2 6 2

7: lim

x

¡ 5x + 4

:

x!1 x3 + x2

¡

2x

3

9: lim

x + x

:

4

2

x!1 x3

¡ 3x2

+ 1

11: lim

x

¡ 2x ¡ 4x + 8

:

x!1

x4 + 16

13: lim

1 + x ¡ 3x3

:

1 + x2 + 3x3

x!1

15: lim

p3

¡ 1

:

1 + x2

x2

x!0

17: lim

x ¡ p

x

:

x!0 px ¡ 1

21

18: lim

p

¡ p

:

a + x

a

x!0

p

x

p

2

2

¡ 1):

20: xlim (

x

+ 1 ¡

x

!1

lim (

(x + 2)(x

¡

1)

¡

x):

22: x!1 q

3

x

24: lim

1

¡ cos

:

x sin 2x

x!0

26: lim

1

+ sin x ¡ cos x

:

x!0

1

2 sin x

2

cos x

¡

x

¡

x + 1

28: xlim

µ

¶

:

x2

¡

1

!1

x+1

30: lim

µ

3x ¡ 4

¶

3

:

3x + 2

x

!1

19: xlim (p

¡ p

x ¡ 2 + x2

x2 + 1):

!1

21: xlim x(p

¡ x):

x2 + 1

!1 p

p

x

2

¡ 2x ¡ 1 ¡

2

23: xlim (

x ¡ 7x):

!1

tg x

25: lim

:

3

x!0 q(1 ¡ cos x)2

27: lim

tg x ¡ sin x

:

x!0

x3

x + 1

2x

1

29:

xlim µ

¶

¡

:

x

¡

2

!1

x

x + 1

31:

xlim µ

¶ :

2x

¡

1

!1

2.3.nEPRERYWNYE I BESKONE^NO MALYE FUNKCII

2.3.1.nEPRERYWNOSTX FUNKCII. kLASSIFIKACIQ TO^EK RAZRYWA

oPREDELENIE 18. fUNKCIQ f(x) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE x = a, ESLI:

1)ONA OPREDELENA W TO^KE x = a;

2)SU]ESTWUET PREDEL FUNKCII W TO^KE x = a;

3)\TOT PREDEL RAWEN ZNA^ENI@ FUNKCII W TO^KE x = a.

iNYMI SLOWAMI, FUNKCIQ f(x) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE a,

ESLI lim f(x) = f(lim x) = f(a).
x!a	x!a

pUSTX FUNKCII f(x) I g(x) NEPRERYWNY W TO^KE x = a. tOGDA W \TOJ

TO^KE NEPRERYWNY TAKVE FUNKCII f(x)¨g(x), f(x)g(x), f(x) (g(x) =6 0). g(x)

oPREDELENIE 19. eSLI lim f(x) = f(a), TO W TO^KE x = a FUNK-

x!a+

CIQ f(x) NEPRERYWNA SPRAWA, ESLI lim f(x) = f(a), TO FUNKCIQ f(x) W TO^KE x = a NEPRERYWNA SLEWA. x!a¡

uSLOWIQ NEPRERYWNOSTI FUNKCII W TO^KE x = a:

1)SU]ESTWU@T PREDELY SLEWA I SPRAWA OTNOSITELXNO TO^KI a;

2)\TI PREDELY RAWNY MEVDU SOBOJ;

22

3) FUNKCIQ W TO^KE a OPREDELENA I EE ZNA^ENIE W TO^KE a RAWNO ZNA^E-

NIQM PREDELOW SLEWA I SPRAWA, T.E. lim f(x) = lim f(x) = f(a).

x!a+ x!a¡

eSLI NARU[ENO HOTQ BY ODNO IZ \TIH USLOWIJ, TO FUNKCIQ f(x) W TO^KE x = a RAZRYWNA, A TO^KA x = a NAZYWAETSQ TO^KOJ RAZRYWA FUNKCII f(x). rAZLI^A@T:

1) TO^KI RAZRYWA PERWOGO RODA, DLQ KOTORYH SU]ESTWU@T KONE^- NYE ODNOSTORONNIE PREDELY, NO ONI NE RAWNY MEVDU SOBOJ; PRI^EM

RAZNOSTX lim f(x)			lim f(x) NAZYWAETSQ SKA^KOM FUNKCII W TO^KE
x = a;		x!a¡	¡ x!a+
2)		USTRANIMYE TO^KI RAZRYWA, W KOTORYH WYPOLNENO USLOWIE:
lim f(x) = lim f(x);
x!a¡		x!a+
3)	TO^KI RAZRYWA WTOROGO RODA (ILI TO^KI BESKONE^NOGO RAZRYWA),

W KOTORYH HOTQ BY ODIN IZ ODNOSTORONNIH PREDELOW RAWEN BESKONE^- NOSTI.

rASSMOTRIM TEPERX NESKOLXKO PRIMEROW RAZRYWNYH FUNKCIJ. oPREDELIM DLQ NIH TO^KI RAZRYWA I ISSLEDUEM HARAKTER \TIH TO^EK.

	1
pRIMER 1. f(x) = (1 + x)x .
					1
rE[ENIE. fUNKCIQ f(x) = (1 + x)x W TO^KE x = 0 NE OPREDELENA ("NE-
								1
OPREDELENNOSTX TIPA 11"). nO SU]ESTWUET lim f(x) = lim(1 + x)x = e.
							x!0	x!0
pO\TOMU RAZRYW W TO^KE x = 0 QWLQETSQ USTRANIMYM; EGO MOVNO USTRA-
NITX, POLOVIW f(0) = e.
8	1			PRI	x < 1;
>
<
pRIMER 2. f(x) = >	x			PRI		¡
> x + 2					x > ¡1:
>
:

rE[ENIE. fUNKCIQ OPREDELENA DLQ WSEH ZNA^ENIJ x. nO W TO^KE x = ¡1 ONA TERPIT RAZRYW PERWOGO RODA. dEJSTWITELXNO,

lim f(x) =		lim			1		=	¡	1;	lim f(x) =	lim x + 2 = 1:
				x
x 1	¡	x 1	¡							x 1+	x 1+
!¡		!¡								!¡	!¡

rAZRYW FUNKCII PRI x = ¡1 KONE^EN I SKA^OK FUNKCII RAWEN

lim f(x)	lim f(x) = 1			¡	( 1) = 2:
x!¡1+	¡ x!¡1¡				¡
	1
pRIMER 3. f(x) = 2			.
		x¡3

23

rE[ENIE. fUNKCIQ W TO^KE x = 3 NE OPREDELENA. nAJDEM ODNOSTORONNIE PREDELY EE W \TOJ TO^KE:

1

1

lim 2

= +

1

; TAK KAK

lim

= +

1

;

x¡3

x!3+

x!3+ x ¡ 3

1

1

lim 2

= 0;

TAK KAK lim

=

:

x¡3

x

3

x 3

¡

x

3

¡

¡

¡1

!

!

w TO^KE x = 3 FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ RAZRYW.

pRIMER 4. f(x) =

1

.

x

x ¡ 1 ¡

3

x+1

rE[ENIE. tO^KAMI

RAZRYWA DANNOJ

FUNKCII

QWLQ@TSQ TO^KI

x = ¡1; x = 0; x = ¡2; x = 2, KOTORYE OBRA]A@T W NULX ZNAMENA-

1

1

3

TELI DROBEJ

,

I SUMMU x ¡ 1 ¡

, STOQ]U@ W ZNAMENATELE

x + 1

x

x + 1

ISHODNOJ FUNKCII.

nAJDEM ODNOSTORONNIE PREDELY W \TIH TO^KAH:

lim

1

= 0;

lim

1

= 0:

x

x

3

3

x!¡1+ x ¡ 1 ¡

x!¡1¡ x ¡ 1 ¡

x+1

x+1

tAK KAK \TI PREDELY SU]ESTWU@T I RAWNY, TO W TO^KE x = ¡1 IMEEM USTRANIMYJ RAZRYW. dALEE,

	lim	1			= ;
		x
			3
	x!0+ x ¡ 1 ¡				¡1
			x+1

SLEDOWATELXNO, W TO^KE x = 0 | RAZRYW WTOROGO RODA (BESKONE^NYJ);

lim

1

=

lim

1

=

x

1

;

x

1

;

3

3

x!¡2+ x ¡ 1 ¡

x!2+ x ¡ 1 ¡

x+1

x+1

T.E. I W TO^KAH x = ¨2 IMEEM BESKONE^NYE RAZRYWY.

2.3.2. sRAWNENIE BESKONE^NO MALYH FUNKCIJ oPREDELENIE 20. fUNKCIQ ®(x) NAZYWAETSQ B. M. PRI x ! x0 (ILI W

TO^KE x0), ESLI lim ®(x) = 0. pUSTX ®(x) I ¯(x) | DWE B. M. FUNKCII

x!x0

PRI x ! x0. tOGDA:

24

= lim xk¡1 = 0, TAK KAK PO USLOWI@

x!0

1) ESLI lim ®(x) = 0, TO ®(x) NAZYWAETSQ B. M. BOLEE WYSOKOGO

x!x0 ¯(x)

PORQDKA, ^EM ¯(x);

2) ESLI lim ®(x) = A =6 0 (A | ^ISLO), TO ®(x) I ¯(x) NAZYWA@TSQ

x!x0 ¯(x)

B. M. ODNOGO PORQDKA;

3) ESLI lim ®(x) = 1, TO ®(x) I ¯(x) NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI

x!x0 ¯(x)

B. M. |KWIWALENTNOSTX OBOZNA^AETSQ TAK: ®(x) » ¯(x) PRI x ! x0;

4) ESLI lim ®(x) = A =6 0, TO ®(x) NAZYWAETSQ B. M. n-OGO PORQDKA

x!x0 ¯n(x)

OTNOSITELXNO ¯(x).

aNALOGI^NYE OPREDELENIQ IME@T MESTO DLQ SLU^AEW x ! x0¡,

x ! x0+, x ! ¡1, x ! +1, x ! 1.

pRI SRAWNENII B. M. FUNKCIJ ^ASTO ISPOLXZU@T SIMWOL "o"( ^ITAETSQ "O MALOE "). eSLI FUNKCIQ ®(x) W TO^KE x0 | B. M. BOLEE WYSOKOGO PORQDKA, ^EM B. M. ¯(x) W \TOJ VE TO^KE, TO \TO USLOWNO ZAPISYWA@T TAK: ®(x) = o(¯(x)). nAPRIMER, x2 = o(x) PRI x ! 0.

pRIMER 1. dOKAZATX, ^TO PRI x ! 0 FUNKCIQ xk (k > 1) | B. M. BOLEE WYSOKOGO PORQDKA, ^EM x.

rE[ENIE. dEJSTWITELXNO, lim xk

x!0 x

k ¡ 1 > 0.

pRIMER 2. dOKAZATX, ^TO PRI x ! 0 FUNKCII sin kx I lx (k =6 0, l =6 0) | B. M. ODNOGO PORQDKA.

rE[ENIE. w SAMOM DELE,

lim

sin kx

=

k

lim

sin kx

=

k

¢

1 =

k

= 0:

lx

l

kx

l

l

x!0

x!0

6

pRIMER 3. dOKAZATX, ^TO PRI x ! 0 FUNKCII sin x I tg x | \KWIWALENTNYE B. M. (sin x » tg x PRI x ! 0).

rE[ENIE. dEJSTWITELXNO,

lim	sin x		= lim	sin x	= lim cos x = 1:
				sin x
x!0 tg x			x!0 cos x x!0

25

pRIMER 4. oPREDELITX PRI x ! 0 PORQDOK B. M. FUNKCII cos 3x¡cos x OTNOSITELXNO B. M. x.

rE[ENIE. tREBUETSQ NAJTI ^ISLO n TAKOE, ^TOBY lim

cos 3x ¡ cos x

BYL KONE^NYM I NE RAWNYM NUL@. iMEEM

x!0

xn

lim

cos 3x ¡ cos x

= lim

¡2 sin 2x sin x

=

x!0

xn

x!0

xn

=

¡

2 lim

sin 2x

lim

sin x

lim

1

= 2

2

¢

1

lim

1

=

¡

4 lim x2¡n:

x!0

x

x!0

x x!0 xn¡2

¡ ¢

¢ x!0 xn¡2

x!0

pRI n < 2

lim x2¡n = 0, ^TO NE PODHODIT, PRI n > 2

lim x2¡n

=

1

,

x!0

x!0

^TO TAKVE NE GODITSQ. tOLXKO PRI n = 2 lim x2¡n = 1 I ISKOMYJ PREDEL

x!0

RAWEN ¡4, T.E. KONE^EN I OTLI^EN OT NULQ. iTAK, n = 2 I FUNKCIQ

cos 3x ¡ cos x QWLQETSQ B. M. 2-OGO PORQDKA OTNOSITELXNO B. M. x PRI x ! 0.

pRIMER 5. s POMO]X@ ZAMENY NA \KWIWALENTNYE FUNKCII NAJTI PRE-

DEL lim ln(1 + 3x).
x!0	sin 5x

rE[ENIE. pOSKOLXKU ln(1 + 3x) » 3x; sin 5x » 5x PRI x ! 0, TO

	lim	ln(1 + 3x)	= lim	3x		=	3	:
		sin 5x		5x			5
	x!0		x!0

2.3.3. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | RASSMOTRENIE PRIMEROW NA NAHOVDENIE I KLASSIFIKACI@ RAZRYWOW FUNKCIJ, A TAKVE OPREDELENIE PORQDKOW MALOSTI FUNKIJ.

oPREDELITX TO^KI RAZRYWA FUNKCIJ I ISSLEDOWATX HARAKTER \TIH TO^EK RAZRYWA:

32: y =			x
					:
		(1 + x)2
34: y =	8		x2	+ 4;
	> x			+ 2;
	>
	>
	<		2x;
	>
	>
	>
	:

x < ¡1; ¡1 · x < 1; x ¸ 1:

33: y =			x2 + 1		:
		x2 ¡ 3x + 2
35: y =	8		x2+ 2;			x · ¡1;
	>		x + 1;			1 < x 1;
	>			¡		·
	>
	<		¡x + 3;			x > 1:
	>
	>
	>
	:

26

oPREDELITX PRI x ! 0 PORQDKI B. M. FUNKCIJ OTNOSITELXNO B. M. FUNKCII x:

36: x sin 3x: p

38: ( 5 1 + x ¡ 1)10 cos ¼x:

40: (2x ¡ 1) ln(1 + sin 5x):

42: e¡x2 ¡ p1 ¡ x2:

r

44: 5 1 + ln2(1 + x2) ¡ cos p

46: ( 7 1 ¡ 2x ¡ 1)100 arctg

x2: x:

37: x ln(1 + 2x):

39: tg x ¡ sin x:

41: (3x ¡ 1) ln cos 2x: 43: ln(1 + 3x) ¡ 3x: 45: ln2(1 + x) ¡ ex2 + 1:

2.4.wOPROSY DLQ SAMOKONTROLQ

1.~TO TAKOE FUNKCIQ?

2.kAKIE FUNKCII NAZYWA@TSQ ^ETNYMI, NE^ETNYMI, PERIODI^ESKIMI?

3.~TO NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII?

4.pERE^ISLITX SWOJSTWA PREDELA FUNKCII

5.kAKIE SU]ESTWU@T MODIFIKACII PREDELA FUNKCII?

6.nAPISATX PERWYJ ZAME^ATELXNYJ PREDEL I EGO SLEDSTWIQ.

7.kAKOJ WID IMEET WTOROJ ZAME^ATELXNYJ PREDEL I EGO SLEDSTWIE?

8.dATX OPREDELENIE NEPRERYWNOJ FUNKCII W TO^KE. pERE^ISLITE SWOJSTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ.

9.oPREDELITX ODNOSTORONNIE PREDELY.

10.pERE^ISLITX USLOWIQ NEPRERYWNOSTI FUNKCII W TO^KE.

11.~TO TAKOE RAZRYWNAQ FUNKCIQ?

12.kAKIE ZNAETE TO^KI RAZRYWA FUNKCII?

13.kAKIE FUNKCII NAZYWA@TSQ B. M. I KAKIE \KWIWALENTNYMI?

14.pERE^ISLITX MODIFIKACII PONQTIQ BESKONE^NO MALOJ FUNKCII.

27

2.5. kONTROLXNYE ZADANIQ

nAJTI OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCIJ, ZADANNYH FORMULAMI:

1: y = x3 + 5x + 6: 2: y = px ¡ 2 + p2 ¡ x: 3: y = p2 ¡ 3x + lg x:

1
4: y =	p		:	5: y = sin 3x:	6: y = tg x:
		x2 ¡ 3x
7: y = arcsin x:				8: y = arctg(2x + 1):	9: y = log2(¡x):

oPREDELITX, KAKAQ IZ FUNKCIJ QWLQETSQ ^ETNOJ, NE^ETNOJ I KAKAQ NE QWLQETSQ NI ^ETNOJ, NI NE^ETNOJ:

10: y = x ¢ 2¡x:

11: y = 2xsin2x ¡ 3x3

: 12: y =

x

:

sin x

2

3x + 3¡x

15: y = x2 ¡ x:

13: y = x ¢ 4¡x

: 14: y =

:

3x

¡

3¡x

16: y = lg cos 2x:

17: y = x

4

2

+ 3:

p

):

2

¡ 2x

18: y = lg(x +

1 + x

nAJTI PERIOD FUNKCIJ:

19: y = tg(x=2):

20: y = cos23x:

21: y =j sin x j :

22: y = sin4x + cos4x: 23: y =

¯cos

x

¯ :

¯

2

¯

¯

¯

¯

¯

nAJTI PREDELY FUNKCIJ:

¯

¯

24: lim

x ¡ 1

25: lim p

:

x:

x!2 px ¡ 1

x!2

x

3

+ 3x + 1

26: lim

x ¡ 2

+ x

:

27: lim

:

1

x

x 2µx2

+ 3

¶

x 1

¡2

!

3

¡ 3x + 1

!

¡ 3

28: lim

x

+ 1 :

29: lim

x

:

x 0µ

x

¡

4

¶

x p

x4 + x2 + 1

3

!

3x

2

!

x

2

30: lim

+ 2x

:

31: lim

¡ 2x + 1

:

x!¡2 x2 ¡ x ¡ 6

x!1

x3 ¡ x

32: lim

(x ¡ 1)p

2 ¡ x

:

33: lim

(x ¡ 2)p

3 ¡ x

:

x!1

2

x2 ¡ 1

x!2

x2

¡ 4

34: lim

x ¡ 4x + 4

:

35: lim

px ¡ 2(x ¡ 3)

:

x!2

x3

¡

4x

x!8

2

x2

¡

9

2

x

+ 5

36: lim

2x

¡ x ¡ 1

:

37: lim

:

3

x!1

x + 1

x!2 x2

¡

2

3x

2

38: lim

¡ 4x

1 :

39: lim

x ¡ 2x

:

5x3 + 3 ¡

x2 ¡ 4

x!0µ

¶

x!2

2

+ x)

x

(x + 1)(x

40: xlim1µ2x ¡

3

¶:

41: xlim1

:

x2 + 2x + 1

x2 + 2x + 1

!¡

!¡

28

42:

lim

x2 + 4x + 4

:

x2 ¡ 4

x!¡2

4

44: lim

x

¡ 1

:

x!1 x3 ¡3 1

46: lim

x

¡ 8

:

x!2 x2 ¡23x + 2

48:

lim

2x ¡ x ¡ 1

:

1

2

¡ 3x ¡ 2

x!¡

2

2x2

50:

lim

2x

+ 3x + 1

:

x

1

2x2

¡

x

¡

1

!¡

2

4

52: lim

x ¡ 3x + 2

:

x!1 x35 ¡ 4x + 3

54: lim

x ¡ 3x + 2

:

x!1 x4

¡

4x + 3

3

3

56: lim

p1 + x ¡ p1 ¡ x

:

x!0

p

x

58: lim

1 + x2

¡ 1

:

x!0 px2 + 16 ¡ 4

60:

lim

p

1 ¡ x

¡ 3

:

x!¡8

2 + p3 x

62: xlim (x ¡ p

x2 ¡ x + 1):

!1

64: xlim (p

¡ p

):

x2 + 1

x

!1

1

1

66:

lim

x!0µsin x ¡ tg x¶:

68: lim

sin 5x ¡ sin 3x

:

x!0

p

sin x

70: lim

¡ p

:

2

1 + cos x

x!0

sin2 x

72: lim

1 ¡ pcos x

:

x!0

x2

74:

lim

cos x

:

¼

3

x! 2

q(1 ¡ sin x)2

76: lim

¼

¡

x

tg x:

x ¼2 µ 2

¶

!

x ¡ a

¼x

78: lim

sin

tg

:

2a

x aµ

2

¶

!

sin(x ¡ ¼6 )

80: lim

:

¼

p3

¡ cos x

x! 6

2

43: lim

x3 ¡ 8

:

x!2 x2

4¡ 4

45: lim

x

¡ 16

:

2

¡

8

x!¡2 x3

47: lim

x

¡ 5x + 6

:

x!3 x22¡ 8x + 15

49: lim

x

¡ 3x + 2

:

x!2 x2 + 3x

¡

10

x

3

51: lim

¡ 2x ¡ 1

:

x!1 1 + 2x ¡5

x3

53: lim

(1 + x)

:

+ x5

x!1 x2

55: lim

x2

+ 5x ¡ 6

:

x!1 x2

¡

7x + 13

p

2

57: lim

1 + x

¡ 2

:

x!0

p

x ¡ 5

59: lim

1 + 2x

¡ 3

:

x!4

px ¡ 2

61: xlim (p

¡ p

x2 ¡ 2

x2 + 1):

!1

63: xlim (p

¡ p

x + 3

x ¡ 2):

!1

65: xlim (p

¡ p

):

x + a

x

!1

67: lim

tg x ¡ sin x

:

x!0

sin3 x

69: lim

cos x ¡ cos 3x

:

x!0

x2

¼x

lim(1

¡

x) tg

:

2

71: x!1

73: lim

1 ¡ sin x

:

x!¼2

¼2

¡ x

75: lim

sin 3x

:

x!¼ sin 2x

77: lim

sin x

:

2

x!¼ 1 ¡

¼x2

79: lim

cos x ¡ sin x

:

x!¼4

cos 2x

81: xlim

µ1 ¡ x2

¶

:

1

x

!1

29

82: xlim	µ1 + x¶						:
			1			x2
!1	2	+ 1			¶		x¡1
x	µx2
84: lim	x	¡ 1					x+1 :
!1

86: lim tg 2x tg(¼ ¡ x):

x!¼4 4

83: xlim	µ2x			1		¶		:
		x + 1						x
!1			¡+
	x2			1			x2
85: xlim	µ				¶			:
		x2		2
!1			¡	4x + 2					¶	:
87: xlim	µx2
	x2		¡	2x + 1						x
!1			¡

oPREDELITX TO^KI RAZRYWA FUNKCIJ I ISSLEDOWATX HARAKTER \TIH TO- ^EK RAZRYWA:

x1

¡

1

1

x2

¡

1

88: y =

x+1

:

89: y = arcctg

: 90: y =

:

1

x2 ¡ 3x + 2

x

1

1 x

x2

¡

1

¡

91: y =

: 92: y =

x

x+1

:

x2 ¡ 3x + 2

1

x+1

oPREDELITX PRI x ! 0 PORQDKI BESKONE^NO MALYH FUNKCIJ OTNOSITELXNO B. M. FUNKCII x:

93: x2 cos x:

96: (p4 1 + x2 ¡ 1) tg x3: 99: sin x2 ¡ cos x + ex:

102: sin3 x ln x + 1 : 3x + 1

94:	x5		arcsin x:			95: ln	1		+ x	:
	7
	x x+ 1			x	+ 1):		1		¡ x
						3
97: (e ¡ 1) ln(e						98: p1 + x ¡ 1 ¡ x=3:

100: sin2x ¡ ln(1 + x2): 101: ex2 ¡ 1 ¡ x3:

1 ¡ 3x

103: ln 1 + x2 + 3x:

30