Игнатьев_Майорова_МА_1часть

11.~TO NAZYWAETSQ DIFFERENCIALOM FUNKCII?

12.pERE^ISLITX SWOJSTWA DIFFERENCIALA.

13.kAK I PO KAKOJ FORMULE WYPOLNQ@TSQ PRIBLIVENNYE WY^ISLENIQ FUNKCII.

14.~TO NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ I DIFFERENCIALOM WYS[IH PORQDKOW.

15.sFORMULIROWATX TEOREMY fERMA, rOLLQ, kO[I, lAGRANVA.

16.sFORMULIROWATX PRAWILO lOPITALQ.

17.nAPIASTX FORMULY tEJLORA I mAKLORENA.

18.dATX OPREDELENIE I PRIWESTI PRIMER WERTIKALXNOJ ASIMPTOTY GRAFIKA FUNKCII.

19.sFORMULIROWATX OPREDELENIE I PRIWESTI PRIMER NAKLONNOJ ASIMPTOTY GRAFIKA FUNKCII PRI x ! ¨ + 1.

20.sFORMULIROWATX TEOREMU, WYRAVA@]U@ NEOBHODIMYE I DOSTATO^NYE USLOWIQ SU]ESTWOWANIQ NAKLONNOJ ASIMPTOTY GRAFIKA FUNKCII.

21.dATX OPREDELENIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA FUNKCII.

22.~TO TAKOE TO^KI WOZMOVNOGO \KSTREMUMA?

23.sFORMULIROWATX TEOREMU, WYRAVA@]U@ NEOBHODIMOE USLOWIE \K- STREMUMA.

24.sFORMULIROWATX TEOREMY, WYRAVA@]IE DOSTATO^NOE USLOWIE \K- STREMUMA FUNKCII.

25.dATX OPREDELENIE NAPRAWLENIQ WYPUKLOSTI GRAFIKA FUNKCII.

26.dATX OPREDELENIE TO^KI PEREGIBA GRAFIKA FUNKCII.

27.sFORMULIROWATX DOSTATO^NYE USLOWIQ WYPUKLOSTI I PEREGIBA GRAFIKA FUNKCII.

28.pRIWESTI SHEMU POSTROENIQ GRAFIKA FUNKCII y = f(x).

71

3.7. kONTROLXNYE ZADANIQ

w ZADA^AH NAJTI PROIZWODNYE y0.

2

1

¶p3x + x2:

1: y = µ

¡

27x

9x2

3: y = sin3 5x ¢ cos5 3x:

5: x3 + y3 + 3xy = 0:

7: y = ln

5 + p

25 ¡ x2

:

x

9: y = (sin 3x)x:

11: y = vx + px:

u

ux

px

u

t

cos¡4

5x

:

13: y = e¡

15: x2=3 + y2=3 = 1:

17: y = (1 + ctg23x)e¡x:

			x
19: y = (arcsin p							)x:
				3
	p
21: y =		1 + 3x2			:
	2 + 3x2
	2		p
								4	+ 1):
23: y = ln(x +					x

25: y + arctg 3x + arcsin 2y = 0:

		e¡p
27: y =				x
							:
		1 + e2x3
29: y = (tg x)ctg x:									:
31: y =	µ1 + 1						x x¶
	1					+ x			3
33: y = ln				tg¡2					:
			1 + sin2 x

35: (x + 1)3 + (y + 1)3 ¡ xy = 0:

r

37: y = 3 (1 + sin3 2x)2: 39: y = (arcsin 3x)x2:

2: y = 3arctg3(4x+1):

4: y = (tg 2x)x:

v

u

u1 + x

6: y = x 3t1 ¡ x:

8: y = tg36x ¡ e1=x:

10: sx3 + sy3 = 1:

12: y = x arcsin 2x + 1: 3

14: y = (arctg 2x)sin 3x:

v

u

u x + 3

16: y = 3t3x ¡ 5:

18: y = ln(arctg x2 + cos2 4x):

	20: (x + y)2 + (x ¡ 3y)3 = 0:
	22: y = e¡x2 cos3(2x + 3):
	24: y = (tg 2x)sin 3x:
		p
	26: y =		1 + cos3 x	:
		1 + sin 3x

28: y = x arcsin 2x + arctg33x:

30: y ln x ¡ x ln y = ln xy: 32: y = e¡1= cos x:

34: y = (arctg x)arcsin x:

x

36: y = (x + 1)2(x2 + 1)3 : 38: y = (1 + tg2x)earctg2 x: 40: x ln(1 + y2) + y ln x2 = 0:

72

41: y = 5qx + x 3px:

3

43: y = x arctg 5x + ln tg x:

45: x2y ¡ y2x + (x ¡ y)3 = 0:

47: y = ex=p3arctg2x:

42: y = 3x cos3 x:

p

44: y = (sin 3x) x:

v

u

u 1 + sin 3x

46: y = 3t3 + 2 sin 3x:

3

48: y = tg x tg 3x:

49: y = (arcsin x)ln x:

nAJTI y0 I y00:

51: y = xx ¡+ 11e¡x:

53: y = arctg(x2):

55: y = x2 ln x:

	57: y =	p
				4 ¡ x2				:
					x
	59: y = ln ctg 4x:
		q
	3 (1						x)2:
	61: y =		ctg 3x¡
	63: y = 2					:

65: y = xe1=x:

67: y = xe¡x:

69: y = ln ln x: nAJTI PROIZWODNYE yx0

50: (y2 ¡ x2)3 ¡ x2y ¡ y ¡ x = 0:

52: y = t ¡ ln sin t; x = t + ln cos t:

54: y = sin3 t;

x = 2t ¡ sin 2t:

56: y = cos3 t;

x = t +

1

sin 2t:

2

58: y = t3 + 8t ¡ 1; x = t5 + 2t:

60: y =

t2

+

1

; x =

1

t3 +

1

t2

+ t:

2

t

3

2

62: y =

arccos 2t; x = arcsin(t2

¡

1):

3

+ t; x = t

2

+ t + 1:

64: y = t

66: y =

1

;

x = ctg t:

cos2 t

68: y =

t2

; x =

2 ¡ t

:

2 + t2

2 + t2

70: y = sin3 2t; x = 2 cos3 2t:

PARAMETRI^ESKI ZADANNYH FUNKCIJ:

71: x = 1 ¡ t2;

y = t ¡ t3:

72: x =

t +

1

;

y =

t ¡ 1

:

t

t

73: x = ln 1 + t2;

y = t ¡ arctg t:

74: x =

1 + t2

;

y =

t

:

t2 ¡ 1

t2 ¡ 1

75: x = et sin t;

y = et cos t:

76: x =

3at

;

y =

3at2

:

1 + t3

1 + t3

w SLEDU@]IH ZADA^AH NAJTI UGLY MEVDU ZADANNYMI KRIWYMI W TO^- KAH IH PERESE^ENIQ.

73

2

3

2

4x;

x + y = 3:

77: y = 6x ¡ 5x ; y = x :

78: y =

2

2

x

; y = 4

2

x

:

79: y = x ln x; y = 2

ln x:

80: y = x

¢

¢

2

x:

81: y = cos x; y = cos

w SLEDU@]IH ZADA^AH NAJTI PRIBLIVENNOE ZNA^ENIE UKAZANNOJ WELI- ^INY.

82: sin 62±:

83: p

:

84: cos 58±:

85:

5p

:

86: sin 31±:

82

726

iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ, WY^ISLITX PREDELY:

87: lim

ex ¡ 1

:

88: lim

ex ¡ e¡x

:

x!0

x

x!0 ln(1 + x)

89: lim

ex ¡ esin x

:

90: lim

ln(1 + 1=x2)

:

2 arctg x

x 0 x

¡

sin x

x!1 ¼

¡

!

ln x

e

x

91:

lim

92:

lim

:

:

x!+1

x

¼

x!+1 x

93: lim

tg

2 x

:

94: lim

ln(x ¡ a)

:

x!1 ln(1 ¡ x)

x!a ln(1 ¡ x)

¼

95:

lim(arcsin x ctg x):

96: lim(1

¡

x) tg

x:

2

x!0

x!1

97: x!1µx2 ¡ 1 ¡ x ¡ 1¶

x!0

1

lim

2

1

:

98: lim(sin x)x:

100: lim x

99:

lim(1 + x)ln x:

1

¡

x:

x!0 1

¶

x!1

101: x!0µx2 ¡

x!0

lim

ctg2x :

102: lim(tg x ln x):

103: lim

ex ¡ e¡x ¡ 2x

:

x!0

sin x ¡ x

w SLEDU@]IH ZADA^AH ISSLEDOWATX UKAZANNYE FUNKCII I POSTROITX IH GRAFIKI.

x3 104: y = x2 ¡ 1:

106: y = 5(x ¡ 2): x2

108: y = (1 + x2)ex:

110: y = x + arctg x:

112: y = (x + 2)e1=x:

4

105: y = x2 ¡ 4:

1 ¡ x3

107: y = x2 : 109: y = (2x ¡ 3)e¡x:

111: y = x2 ¡ 1: x + 1

1

113: y = (1 ¡ x2):

74

p

114: y = x6+x2: x

116: y = (1 ¡ x2):

x2 118: y = (x2 ¡ 1):

115: y = px2 ¡ 1 ¡ px2 + 1:

117: y = ex : x

75

m o d u l x III.

4.integrirowanie

4.1.pERWOOBRAZNAQ I NEOPREDELENNYJ INTEGRAL

4.1.1.oSNOWNYE OPREDELENIQ

oPREDELENIE 1. fUNKCIQ F (x) NAZYWAETSQ PERWOOBRAZNOJ DLQ FUNK- CII f(x) NA PROMEVUTKE X, ESLI DLQ L@BOGO x 2 X WYPOLNQETSQ RAWENSTWO F 0(x) = f(x):

pRIMER 1. fUNKCIQ F (x) = cos x QWLQETSQ PERWOOBRAZNOJ DLQ FUNKCII f(x) = ¡ sin x NA X = (¡1; +1), TAK KAK PRI L@BOM x (cos x)0 = = ¡ sin x:

oPREDELENIE 2. eSLI FUNKCIQ F (x) | PERWOOBRAZNAQ DLQ FUNKCII f(x), TO MNOVESTWO FUNKCIJ F (x) + C, GDE C | PROIZWOLXNAQ PO- STOQNNAQ, NAZYWAETSQ NEOREDELENNYM INTEGRALOM OT FUNKCII f(x)

I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM

Z

f(x) dx = F (x) + C:

pRI \TOM FUNKCIQ f(x) NAZYWAETSQ PODINTEGRALXNOJ FUNKCIEJ, f(x) dx | PODINTEGRALXNYM WYRAVENIEM, A PEREMENNAQ x | PERE- MENNOJ INTEGRIROWANIQ.

wOSSTANOWLENIE FUNKCII PO EE PROIZWODNOJ, ILI, ^TO TO VE, OTYSKANIE NEOPREDELENNOGO INTEGRALA, NAZYWAETSQ INTEGRIROWANIEM. iNTEGRIROWANIE | OPERACIQ, OBRATNAQ DIFFERENCIROWANI@.

4.1.2. sWOJSTWA NEOPREDELENNOGO INTEGRALA

µZ ¶0

1. f(x) dx = f(x):

Z

2. d f(x) dx = f(x) dx:

Z

3.dF (x) = F (x) + C:

ZZ

4.	kf(x) dx = k f(x) dx:
5.	Z µf(x) ¨ g(x)¶ dx = Z	f(x) dx ¨ Z	g(x) dx:

76

1: Z						4.1.3. tABLICA OSNOWNYH INTEGRALOW
			1 dx = x + C:
	Z					x®+1
2.		x® dx =						+ C	(® 6= ¡1):
						® + 1
3.	Z		x = ln j x j +C						(x 6= 0):
		dx
	Z					ax
4.		ax dx =					+ C		(0 < a 6= 1):
					ln a
5.	Z	ex dx = ex + C:
	Z

6.sin x dx = ¡ cos x + C:

7.

Z

dx

= tg x + C:

cos2 x

8.

Z

dx

= ¡ ctg x + C:

sin2 x

9.

Z

p

dx

= arcsin x + C:

1 x2

Z

¡

10.

dx

= arctg x + C:

1 + x2

11.

Z

px2 ¨ k = ln j x + px2 ¨ k j +C:

dx

12.

Z

dx

=

1

ln ¯

x ¡ a

¯ + C (a = 0):

2

2

x

a

2a

¯

x + a

¯

6

dx¡

1

¯

x

¯

¯

¯

Z

¯

¯

13.

=

arctg

+ C:

x2 + a2

a

a

Z

dx

x

14.

p

= arcsin

+ C:

a

a2 ¡ x2

15.

Z

tg dx = ¡ln j cos x j +C:

Z

16.ctg dx = ln j sin x j +C:

4.2.oSNOWNYE METODY INTEGRIROWANIQ

4.2.1. nEPOSREDSTWENNOE INTEGRIROWANIE

wY^ISLENIE INTEGRALOW S POMO]X@ TABLICY PROSTEJ[IH INTEGRALOW I OSNOWNYH SWOJSTW NEOPREDELENNYH INTEGRALOW NAZYWAETSQ NEPOSREDSTWENNYM INTEGRIROWANIEM.

77

pRIMER 1. wY^ISLITX INTEGRAL

¶ dx:

Z µ3 sin x + 6 ¡ 12x3 + x ¡ x2 + 1

2

4

rE[ENIE. pRIMENIW SWOJSTWA 3 I 4, IMEEM

+ 1

¶ dx =

Z µ3 sin x + 6 ¡ 12x3 + x ¡ x2

2

4

= 5 Z

sin x dx + 6 Z

1 dx ¡ 12 Z

x3 dx + 2 Z

x dx ¡ 4 Z

x2 + 1 dx:

1

1

dALEE, ISPOLXZUQ SOOTWETSTWENNO FORMULY 6, 1, 2, 3, 11 TABLICY OSNOWNYH INTEGRALOW, NAHODIM:

Z

5sin x dx = ¡5 cos x ¡ 5C1;

Z

61 dx = 6(x + C2) = 6x + 6C2;

¡12 Z x3 dx = ¡12µ3 + 1 + C3¶ = ¡3x4 ¡ 12C3;
					x3+1
		2 Z	x dx = 2 ln j x j +C4;
			1
¡4 Z	x2 + 1 dx = ¡4(arctg x + C5) = ¡4 arctg x ¡ 4C5:
	1
tAKIM OBRAZOM,							¡ x2 + 1		¶ dx =
	Z µ3 sin x + 6 ¡ 12x3 + x
			2				4

= ¡5 cos x+6x¡3x4+2 ln j x j ¡4 arctg x+(¡5C1+6C2¡12C3+C4¡4C5):

oBY^NO WSE PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE SUMMIRU@T, REZULXTAT OBOZNA-

^A@T ODNOJ BUKWOJ: C = ¡5C1 + 6C2 ¡ 12C3 + C4 ¡ 4C5, PO\TOMU OKON- ^ATELXNO POLU^AEM

Z µ3 sin x + 6 ¡ 12x3 + x	¡ x2 + 1		¶ dx =
2	4

= ¡5 cos x + 6x ¡ 3x4 + 2 ln j x j ¡4 arctg x + C:

pRIMER 2. wY^ISLITX INTEGRAL Z	cos 2x
		dx:
	cos2 x sin2 x

78

rE[ENIE. iNTEGRAL NE TABLI^NYJ, PO\TOMU PREOBRAZUEM EGO. tAK KAK cos 2x = cos2 x ¡ sin2 x; TO INTEGRAL MOVNO ZAPISATX W WIDE

cos 2x

cos2 x sin2 x

dx = Z µ

1

1

¶ dx:

Z

dx = Z

¡

+

cos2 x sin2 x

cos2 x sin2 x

sin2 x

cos2 x

pRIMENQQ SWOJSTWO 4, IMEEM

cos2 x dx:

Z µsin2 x + cos2 x¶ dx = Z sin2 x dx + Z

1

1

1

1

pOLU^ILI DWA TABLI^NYH INTEGRALA. pO FORMULAM 8 I 9 NAHODIM

cos 2x

1

1

Z

dx = Z

dx + Z

dx = tg x + ctg x + C:

cos2 x sin2 x

sin2 x

cos2 x

pRIMER 3. wY^ISLITX INTEGRAL Z

x2 + x + 4

dx:

x(x2 + 4)

rE[ENIE. tAK KAK x2 + x + 4 = (x2 + 4) + x; TO

x2 + x + 4

(x2 + 4) + x

x2 + 4

x

Z

dx = Z

dx = Z

dx + Z

dx =

x(x2 + 4)

x(x2 + 4)

x(x2 + 4)

x(x2 + 4)

1

1

= Z

dx + Z

dx:

x

x2 + 4

pO FORMULAM 2 I 14 POLU^AEM

x2 + x + 4

1

1

1

x

Z

dx = Z

dx + Z

dx = ln j x j +

arctg

+ C:

x(x2 + 4)

x

x2 + 4

2

2

4.2.2. zADANIQ DLQ PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ

cELX PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ | PRIMENQQ METOD NEPOSREDSTWENNOGO INTEGRIROWANIQ, WY^ISLITX INTEGRALY:

17: Z

(x2 + 3x3 + x + 1) dx:

19: Z

µ

1 + x2 ¡ p1

3

x2

¶ dx:

2

e¡x

¡

21: Z

exµ2 ¡

¶ dx

x3

dx

23: Z

µsin 2

+ cos 2

¶

2

x

x

18: Z	µx4 + p5 x + 3px + x2								+ x¶ dx:
								1		1
20: Z (2x + 3x) dx
22: Z (sin x + 5 cos x) dx
24: Z		cos 2x
					dx
		cos2 x sin2 x

79

	Z			x4
	25:			1 + x2				dx
	27:			1 ¡ sin3 x						dx
				sin2 x
	Z
	29: Z	sin2				x
							dx
						2
	31: Z	2
			x					dx
			x2 + 1							+1x2 + 3
	33: Z	µp1 4 1¡1x2
										1

35: Z µ

+

+

¶ dx

x

x2

x3

37: Z 4xµ3 + px3 ¶ dx

4¡x

8 + 1

39: Z

5x

dx

x4

tg2 x + 4

41: Z

3

dx

sin2 x

43: Z

2xex dx

45: Z

3x

4

+ 3x3 + 1

dx

x2

+ 1

4

x2

47: Z

¡2x + 4

¡ 1

dx

1 x2

x + 5¡

49: Z

2

x

dx

10x

¶

dx

Z

cos2 x

26:

3 ¡ 2ctg2x

dx

28: Z

ctg2x dx

p

p

x2

1

x2

30: Z

1 +p

¡

¡

1 ¡ x4

32: Z µ

1

+ p

1

x2

25

¡

x2 + 5

34: Z

2

x21¡ 1 dx1

x + 2

36: Z µ

p

¡

p4

¶ dx

x

x3

38: Z

e

µ1 + cos2 x¶ dx

x

e¡x

(p

¡ 1)3

40:

x

dx

Z

x

¡ cos 2

¶

dx

42: Z

µsin 2

x

x

2

44: Z

cos5

2

x

dx

2

dx

46: Z

x x¡2 + 1

x + 1

4 + 3x2

1

48: Z

¡3x ¡

dx

x2 ¡ 1

50: Z

dx

:

16 ¡ x4

dx

¶

dx

4.2.3. mETOD PODSTANOWKI

mETOD PODSTANOWKI ( ILI ZAMENY PEREMENNYH) ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO ZAMENQ@T x NA '(t), GDE '(t) | NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ, POLAGA@T dx = '0(t) dt I POLU^A@T

Z Z

f(x)dxjx='(t) = f('(t))'0(t) dt:

pRI \TOM POLU^A@T ISKOMU@ FUNKCI@, WYRAVENNU@ ^EREZ PEREMENNU@ t. dLQ WOZWRA]ENIQ K PEREMENNOJ x NEOBHODIMO ZAMENITX t ZNA^E- NIEM t = Ã(x), KOTOROE NAHODITSQ IZ SOOTNO[ENIQ x = '(t).

80