книги / Справочник по производственному контролю в машиностроении

Выявление внутренних дефектов металлов		851
Б е т а т р о н н а я у- д е ф е к т о с к о п и я	|2 ). Бетатрон пред­
ставляет собой установку для получения у-лучен	высокой	энергии.

Бетатронное у-излучение, примененное для дефектоскопии, позволяет:

1)увеличить толщину просвечиваемого стального изделия до 500 мм

иболее;

2)обнаружить в стали толщиной св. 200 мм дефекты протяжен­ ностью менее чем 1% от общей толщины образца;

3)уменьшить экспозицию просвечивания и получить четкую и

резкую картину изображения дефекта;

4)при наличии неравномерной толщины просвечиваемого участка можно не выравнивать эту толщину, т. е. не применять специальных компенсаторов;

5)применять защитные меры только во время работы бетатрона.

Преимущества при	просвечивании бетатроном	по сравнению
с у-лучами источника	кобальта-60 показаны в табл.	14.5.
		Т А Б Л И Ц А 14 .5

В р е м я э к с п о з и ц и и , не о б хо д и м о е д л я п р о св е ч и в а н и я с т а л ь н ы х и з д е л и й у - л у ч а м и и с т о ч н и к а к о б а л ь та - 6 0 а к т и в н о с т ь ю 30 г * э к в р а д и я и б е та тр о н а 22 М э В

		с и н т е н с и в н о с т ь ю 70 Р м и н *м
	В р е м я э к с п о з и ц и и				Т о л щ и н а	В р е м я э к с п о з и ц и и
Т о л щ и н а
с т а л и в мм	б е та тр о н		ко -		с т а л и в мм	б е та тр о н		к о ­
	22 М э В		б а л ь т - 6 0			22 М э В	б а л ь т - 6 0
50	1,3	с	0 ,6 6	ч	400	57 мин	10	000	ч
100	3 ,6	с	2 ,8 8	ч	500	7 ,1 5 ч	2 0 0	000	ч
200	47	с	46	ч

К числу недостатков бетатронного излучения относятся небольшая площадь облучения, что, однако, компенсируется небольшим временем экспозиции, и высокая стоимость по сравнению с применением радио­ активного препарата.

Список литературы

1.Голодаев Б. Г. Ультразвуковой контроль крупногабаритных изделий. М., «Машиностроение», 1968, 40 с.

2.Гораздовский Т. Я. Физические методы неразрушающего кон­

троля качества стальных заготовок. М., Металлургиздат, 1970, 64 с.

3.Гурвич А. К- Ультразвуковая дефектоскопия сварных соедине­ ний. Киев, Госиздат технической литературы УССР, 1972, 225 с.

4.Еремин Н. И. Магнитная порошковая дефектоскопия. М.,

«Машиностроение», 1972, 71 с.

5.Ермолов И. Н. Методы ультразвуковой дефектоскопии (в 2-х частях). М., Московский горный институт, 1968, 382 с.

6.Карякин А. В. и Боровиков А. С. Люминесцентная и цветная

дефектоскопия. М.,	«Машиностроение»,			1972, 240 с.
7. Мак-Гонейгл	У.	Испытания	без	разрушения. Пер. с англ.
М., «Машиностроение»,		1965, 352	с.

862Контроль механических свойств металлов и пластмасс

§.Неразрушающие испытания. Справочник. М., «Энергия», 1965,

157 с.

9.Соколов В. С. Дефектоскопия материалов. М., Госэнергоиздат, 1961, 328 с.

10.Хинели Д. Методы испытания материалов без разрушения.

Пер. с англ. М., Металлургиздат, 1968, 408 с.

11.Чернов А. П. Методы неразрушающего контроля. М., Гос­ комитет стандартов, 1972, 51 с.

12.Шапошников Н. А. Механические испытания металлов.

М.—Л., Машгиз, 1954, 443 с.

13.Шебеко М. П. и Яковлев А. П, Контроль качества сварных со­ единений. М., Стройиздат, 1972, 120 с.

14.Шрайбер Д. С. Ультразвуковая дефектоскопия. М., Метал­

лургиздат, 1965, 391 с.

ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ПРИ АНАЛИЗЕ И КОНТРОЛЕ КАЧЕСТВА, ИЗМЕРЕНИЯХ И ИСПЫТАНИЯХ

I.ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Теория вероятностей и математическая статистика позволяют ре­ шать ряд задач, главнейшие из них:

1) оценка результатов измерений и испытаний и сравнение пока­ зателей точности оценки;

2)установление целесообразных допусков на показатели качества продукции и оценка их выполнимости;

3)статистический анализ и регулирование технологических процес­

сов (изготовления), в	том числе автоматизированных;
4) установление взаимосвязи между показателями качества или
свойствами продукции,	а также параметрами процессов производства;

5)оценка значимости неоднородности показателей качества про­ дукции, а также надежности элементов системы или частей машины;

6)определение области применения и выбор метода статистического приемочного контроля качества.

2.ВЫБОРКА И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Основные понятия и классификация выборок1

С л у ч а й н ы м называют такое явление или событие, которое при реализации определенного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, и имеет определенную вероятность появления. Так, если при серийном производстве разрешаются любые значения раз­ меров (в границах допусков) деталей, то получение определенного раз­ мера у одной из деталей серии является случайным событием.

Математическая статистика, основанная на теории вероятностей, рассматривает и описывает совокупности случайных явлений, событий или предметов, которые значительным числом признаков и свойств од­ ного рода представляют нечто целое, а по другим признакам и свой­ ствам разбиваются на отдельные единицы или группы определенной численности. Так, цилиндрические втулки, обладая рядом общих признаков и свойств, присущих именно втулкам определенного наиме­ нования, могут быть разбиты на различные группы по любому из сле­ дующих параметров: размерам диаметра наружного или внутреннего, длине, твердости материала, массе и т. п.

Множество изделий, объединенных любым признаком, называется о б щ е й (генеральной) с о в о к у п н о с т ь ю . Общая совокупность

1 П р е д п о л а га е т с я з н а н и е ч и т а те л е м о с н о в н ы х п о л о ж е н и й те о р и и в е р о я тн о ­ с те й и м а те м а ти ч е с к о й с т а т и с т и к и [ 7 , 9 , 10, 15, 16, 1 9 ].

854 Математическая статистика при анализе и контроле

предполагается достаточно большой (конечной) или неограниченной (бесконечной). К последней, например, можно отнести совокупность, образуемую из наблюдений при измерении детали, наудачу взятой из некоторой группы их, если измеренная деталь каждый раз возвращается обратно в группу.

В теории вероятностей изучаются абстрактные генеральные сово­ купности, которые отражают реальные совокупности явления или со­ бытий.

В ы б о р о ч н о й с о в о к у п н о с т ь ю или выборкой (про­ бой) называют определенное количество единиц общей совокупности (продукции), взятых в определенном порядке. Количество единиц (членов) продукции или количество произведенных измерений или ис­ пытаний называется о б ъ е м о м в ы б о р к и и обозначается через л,

пс или N.

Наблюдения некоторой величины, одинаковые или близкие друг к другу, обычно объединяют в один класс (разряд). Число значений

одного разряда называют ч а с т о т о й		л*. Последнюю, выраженную
в долях или процентах от общего количества единиц N выборки, назы­
вают ч а с т о с т ь ю	100%	При соблюдении определенных

условий частость имеет тенденцию приближаться к вероятности (Р, вер; р) [4, 9, 10, 15].

Частоты и частости определенного процесса обладают известной устойчивостью, что позволяет производить математическое описание совокупности и выявить присущие им закономерности.

Порядок образования выборок должен полностью соответствовать

поставленным	задачам исследования общей совокупности,			(т. е.
быть репрезентативными или		представительными).	Так,	выбран­
ные участки	для измерения	твердости изделия	должны	согла­

совываться с уловиями эксплуатации этого изделия. Для оценки точ­ ности изготовления деталей выборку целесообразно производить непо­

средственно после	изготовления деталей, т. е. до отбраковки.
С л у ч а й н о	й в ы б о р к о й	называется такая, при соста­

влении которой для любой единицы продукции обеспечивается равная вероятность быть отобранной и включенной в выборку. В производ­ ственных условиях для образования случайной выборки производят отбор, пользуясь таблицами случайных чисел [10], или отбирают наугад детали из различных частей ящика или нескольких ящиков с раз­ личных полок стеллажей, в различные периоды изготовления деталей и т. п. Если детали при промывке перемешивают, то этим одновре­ менно облегчают отбор в случайном порядке. Случайные выборки предпочтительны для приемочного контроля.

П р и с т р а с т н о й в ы б о р к о й считается такая, при которой отдают предпочтение одним единицам партии перед другими (например, отбор закаленных деталей, имеющих твердость более чем определен­ ная величина).

Различают также следующие категории производственных выборок.

1.Поверочная, когда производят многократные измерения одного

итого же объекта в определенном участке и при одинаковых условиях.

2.Выборка из случайно отобранных деталей (единовременная), когда для оценки показателя качества извлекается однократно часть продукции (обычно выборки объемом 50—200 экз.). Указанная выборка

Выборка и распределение

855

может являться общепроизводственной, при которой в случайном по­ рядке производят отбор от ряда станков (агрегатов) деталей равного объема или пропорционально производительности станков. Подобная выборка рекомендуется ГОСТ 16407—70 для оценки совместного влия­ ния случайных и систематических факторов и названа выборкой из случайно отобранных деталей, изготовленных группой станков, выпол­ няющих одну и ту же операцию при различных настройках.

Выборка из случайно отобранных деталей, изготовленных на одном станке (определенном агрегате), может быть названа одноагрегатной. Если отбор производят только с одной настройки и за период автоматиче­ ской работы агрегата, без подналадок, то такую выборку можно назы­ вать однонастроечной.

Выборка может быть межоперационной, применяемой для изу­ чения показателей качества на различных операциях (установках, Позициях и т. д.) изготовления продукции.

3. Мгновенная (текущая), когда для той же оценки извлекается выборка малого объема (обычно 3—20 экз.), составленная из единиц деталей, изготовленных последними к моменту отбора в короткий про­ межуток времени [2].

Приведенные типы выборок могут комбинироваться: например, одноагрегатиая одионастроечная выборка и т. п.

С л у ч а й н о й в е л и ч и н о й X называют такую переменную величину, которая принимает различные значения (при фиксирован­ ном комплексе условий их появления) с определенными вероятностями.

Случайные величины разделяются на п р е р ы в н ы е и н е п р е ­ р ы в н ы е . Количество бракованных единиц в партии является пре­ рывной случайной величиной, так как она может принимать лишь

целые значения,	а размер детали — непрерывной			случайной	вели­
чиной, поскольку она может принимать			любое значение.
	Законы распределения
З а к о н о м	р а с п р е д е л е н и я называют зависимость между
возможными значениями x lf х 2,		. . . , х^	случайной	величины	X и
соответствующими	вероятностями	р 2,	. . . , pk для каждого		зна­

чения х

Px = y = f (*); X — хп i = 1,2,

Для непрерывной случайной величины закон распределения за-

дается так называемой плотностью		вероятности
..	вер ( х ^ Х <		х + dx)
px — h m	— — ^	,	-----!----- - ,
dx>0		dx

где в числителе дроби — вероятностный элемент, т. е. вероятность (вер.) того, что случайная величина X примет значение внутри беско­ нечно малого промежутка от х до х + dx.

Функцией распределения прерывной случайной величины X на­ зывают функцию

. F (*') == вер (X < х') = £ / (х),

Х < Х '

где х' — наперед заданное значение.

856 Математическая статистика при анализе и контроле

Функция распределения непрерывной	случайной величины X
X'
F (х') = вер (X < х') = |	f (х) dx,
— 00

где / (х) — плотность распределения вероятностей данной величины X. Для практических приложений существенно уметь находить ве­

роятность того, что		X примет значение, принадлежащее конечному
промежутку от х ± до		х 2 (например, интервалы	между предельными
размерами детали)
			%2
веР (*i sg X < х2) = F (х2) — F (дсх) =			J / (ж) dx.
В частности,	f(x) dx я= вер (— о о < Х < о о ) = 1.
со
J
—со
Если заданы функции / (х) или F (*') \ то это то же, что задан за­
кон распределения случайной величины X.			предполагают знание
Статистическая	обработка и анализ данных

законов распределения, которым подчиняются случайные величины: размеры деталей, числа твердости, значения механических свойств материалов, количество периодов безостановочной работы станка или автоматической линии и т. п.

В табл. 15.1 приведены плотности и функции некоторых важных для машиностроения законов распределения непрерывных случайных величин.

Параметрами 2 большинства законов распределения являются сред­

нее значение (математическое ожидание) Х0 и среднее квадратическое отклонение а или дисперсия а 2 (стр. 864, 865). Для удобства вычислений применяют нормировку, заключающуюся в том, что значения х (R>

и т. д.) случайной величины X			заменяют безразмерной переменной t
(см. табл.		15.1).		распределения
Области		практических приложений законов
(табл.	15.1)	следующие.	р а с п р е д е л е н и е	(рис. 15.1, а)
1.	Р а в н о в е р о я т н о е

свойственно погрешностям округления до ближайшего деления шкалы прибора, а также погрешностям измерения, если они соизмеримы с ве­ личиной отсчета. Этому распределению приближенно следуют неко­ торые производственные погрешности, например размеров деталей при равйомерном во времени износе режущих инструментов или равно­ мерном изменении температуры в процессе обработки, а также обоб­ щенные совокупности размеров деталей мелкосерийного производ­ ства [8].

З д е с ь и в д а л ь н е й ш е м F	(x'J б у д е т о б о з н а ч а ть с я чер ез F (х).
О п р е д е л е н и е см . н а с т р .	8о4.

Плотность и функции распределения непрерывных случайных величин

ТАБЛИЦА 15.1

Вид распределения

Плотность вероятности

Функция распределения

Область

Определяющие

значений

параметры

распределения

'

0 при

х

<

b

0 при

х

<

Ь

Равновероятное

/<*) =

при ь <

х

< с

F ( x ) =

<^ ~ ъ

ПРИ

(Ь)

От b до с

б и с

0 при

>

с

х

1 при

X

>

с

(рис.

15.1,

а)

Нормальное

(Гаусса):

а)

общий

случай

a) f { х)

= — L —

х

a) F

(*) =

] _

■X

а)

Х 0

и о

V 2 л

о

1

е5£Р [

/ 2 л

о

d x (d>

(рис. 15.1,6)

х

(

2

а

/

]

менной

б)МОт к ехр(—г)<е

—оо

V 2л

5

>

б)

при

нормиро­

б > F « ) = - ^ = - X

б)

0 и

1

§

ванной

пере­

t

^

^

о

^ о

X

J

exp

( -----df

(f)

0

В табл. 1 приложения 1

функция

Лапласа

Ф (/) =

F

(t)

(V)

распределение и Выборка

Продолжение таФп. 15.1

Вид распределения

Обобщенное типа А: а) общий случай

б) при нормиро­ ванной пере­ менной

t = *.т

G

Логарифмическое

нормальное:

а) общий случай

б) при нормиро­ ванной пере­ менной

= I g X - (lg Х ) 0

Плотность вероятности				Функция распределения
a)	f A	(*) == /	(лг) —
-f- f m	( * )	+ - % -	<g>
			6) FA U) = < * ( t ) ~ - f - я
			со		со
			х |	+	f l v V ) d t , (Ь)

О

где Ф (/) по формуле (f').

В формулах (g) и (h) а и т — оценки параметров по опытным

данным; f (*) — по формуле (с); /Ш (х ) и f W (х) — значения производных (табл. 2 приложения 1 и рис. 15.1, в)

a) f (lg X) = -- А - ~ X

V 2 л о

Х е х р { - 1 1 £ £ ^ Ш 2} („

	(рис.	15.1,2)
б)	Ф ( 0	= f и ),	(к)
где / (/)	—. по	формуле	(е)

a) F	(1g x )	=	X
		/2 л 0
о	X d	lg х	(j)
6) F ( t ) — Ф ( t ) ,			(1)
где Ф ( t )	— п о	формуле	(Г)

Область Определяющие

значений параметры распределения

а) А«; о; а 0; т 0

б) 0; 1; а„; х 0

От —со до со

a) (lg ХХ& и 0

От О до оо

б) 0 и

0

Вид распределения

Плотность вероятности

Функция

распределения

,

Экспоненциальное:

1

„

/

х \ .

а)

общий случай

а) f (х) — -=г- ехр ( — ггг-

F (х) =

(т ) а)

1 —

ехр ( — - = - )

(п)

Х0

1

ХСJ

См.

[15,

табл.

V]

б)

при

к 0 =

- ~ -

б)

/ (х) =

к 0 ехр

(— х к 0)

(р)

б)

F (х) =

1

ехр (— х к 0)

(q)

Х 0

в)

при

Х 0 =

1

в) / (х)

=

ехр

(— х)

(г)

в)

F (дг) =

1

ехр

(— х)

(s)

(рис.

15.1, д)

ехр (— х)

в

[18, табл. 2.1]

Максвелла: __

а)

через' Х0

a) / ( R ) =

- ^ Я е х р / —

(у)

Щ

I

Щ )

где R — радиус-вектор (рис. 15, е)

Продолжение табл. 15.1

Область Определяющие значений параметры

распределения

		а)	Xо
От	0	б)	ко
до	со
		в)	1
		а)	Х 0

б) через	б ) f ( R) = -----X	б) F ( R ) = --------г Х
	7,32	7,32o RZ

				X	R			О )
	Х Л е х р / --------- «		\		f R exp (---^ЦЛ dR
				( а )
в) через нормиро­	I	14-6Ч/			J	[	14,64a^j
	в) f (О =	0,655*/	X			в) F (t) = 0.6552 X
ванную пере­	/	0,655*/*\		, х
менную	х е х р ( -------2—		;	(У)	X |	t exp ( — °—-°258*- ) dt		(6)
				F	0	в табл.	3 приложения 1
					(t )

От	0	б) о^:	Х 0 —
		= 1,913а^, где		—
до	со	среднее	квадрати­
		ческое	отклонение
		длины вектора		R

в) t

Вид распределения

Модуля нормального закона

*М “ I Х1 “ *2 I1

а) черех Х 0 и а 0

б) через нормиро­ ванную пере­ менную

Продолжение табл. 15.1

Область Определяющие Плотность вероятности Функция распределения значений параметры

распределения

I

a) f ( г ) = -	а) F (г) =
V 2 л (Jo	V 2л; Go

X ^хр	Г	r - Х „		)	2 (	1		- х „ ) 2		*■ +
	I -	.....1	+	\				2а,1
	г ~	ч	~
Г	(г+Хр)2			]1	(е)		(г + Хо)2
+ exp										( ? )
L							ч
					Н	"
б) /	(р) =	У	2 л			б)	F (р)	:
								/ 2 я
X { e x p [ - J P ^ M 1 ] +						| « Р [ _ ( P jz J ^ lf j dp +
+ exp[ _ J P		+ £o)L]}			:.(ч)	о
(рис. 15. \ %ж)					+ J	exp	[ — (P+2Ро)Я]		<*pj <#)
					или	F(p) = Ф		( t t ) + Ф ( t 2),		(К)
					где	Ф ( t) — по формуле				(Г);
					=	(Р	— Ро);	t 2 =	(р +	Ро)

э) Х0= Х01 —XQ2’,

2 2 2

От О	Л
до с о
	в) Р ' = - 4	£-	(V')
Ро	О0		по
	находится
известному		Х0

00

0 5

О

контроле и анализе при статистика Математическая