книги / Справочник по производственному контролю в машиностроении

Выборка и распределение

871

ТАБЛИЦА 15.3

Распределение размеров деталей (наружный диаметр 4,5_Q, 16>

разряда№

1

Разряды

Х1 ~ Xi

(размеры деталей в мм)

*2

разряда	х^)
	разряда
Представители	в мм (среднее
	3

Распределение		экземпляров		Распределение
в опытной совокупности				деталей	в тео­
(количество		деталей	по	ретической со­
	разрядам)			вокупности
«Частота (абсо­ лютное значение)	Накопленная ча­ стота (нарастаю ­ щий итог) «2-	Частость (в % от общего коли­ чества) rii %	Накопленная ча­ стость в % N t i x) %	Частота п.	Накопленная ча­ стота n v
4	5	6	7	8	9

1	4,285—4,305	4,295	1	1	0,16	0,16	4	4
2	4,305—4,325	4,315	9	10	1,47	1,63	10	14
3	4,325—4,345	4,335	35	45	5,72	7,35	31	45
4	4,345 —4,365	4,355	70	115	11,44	18,79	65	110
5	4,365 — 4,385	4,375	104	219	17,00	35,79	106	216
6	4,385 — 4,405	4,395	133	352	21,73	57,52	130	346
7	4,405 — 4,425	4,415	113	470	19,23	76,80	119	465
8	4,425 —4,445	4,435	71	541	11,60	88,40	82	547
9	4,445 — 4,465	4,455	50	591	8,17	96,57	43	590
10	4,465 — 4,485	4,475	11	602	1,80	98,37	16	606
11	4,485 — 4,505	4,495	10	612	1,63	100,00	6	612
	Сумма	=	N =	_	100%	_	612	_
			612

разрядов). На листах 2 и 3 приложения 2 нанесены линии по значениям N i (x)t %, наблюденных линейных размеров, а на листе 5 — время авто­ матического хода станка.

Для нахождения приближенных величин выборочного среднего X и выборочного среднего квадратического отклонения s проведены на листах 1—5 параллельно оси абсцисс линии от указанных в табл. 15.4 значений вероятности на шкале ординат F (х)% . В точках пересечения этих линий с опытной линией частостей необходимо опустить перпен­ дикуляры на линию абсцисс, прочитав значение в масштабе опытных

данных xt. Тогда величина X непосредственно читается по шкале аб­ сцисс, а величина s находится как разность между прочитанным по шкале

абсцисс значением xi = X + s и ранее определенной величиной X , что справедливо для двухпараметрических законов — нормального и равновероятного. Бумага для логарифмически нормального закона

872

Математическая статистика при анализе и контроле

ТАБЛИЦА 15.4

Значения

F

(х)

в

%

на шкале ординат вероятностной

бумаги

[7]

Значения F (х )

для

оты ска­

ния

Закон распределения

П рилож е­

при усредне­

ние 2,

нии

лист №>

X

S

X 4-s

X —s

Нормальный

1

50

84,1

15,87

Равновероятный

2

50

78,87

78,87

21,13

Для

существенно

неотрицательных случайных

вели­

2s

3s

чин

Максвелла

3

54,4

19,35

57,7

85,46

Упрощенного

модуля

нор­

4

57,6

45,3

77,17

92,93

мального закона

Экспоненциальный

5

63,25

63,25

87,3

95,0

распределения имеет ту же шкалу ординат и, следовательно, линии X,

X +

s и X — s те же,

что и

обычная

нормальная бумага. Различие

в том, что на шкале абсцисс

отложена шкала логарифмов [см. лист

2, 14, 15]. Для

законов

распределения

существенно неотрицательных

величин

(табл.

15.4)

достаточно определить

либо X, либо s,

причем

последнее находится

так

же,

как X,

т. е. непосредственно на шкале

абсцисс

(нуль — нижняя

граница

наблюденных

значений

X*).

По опыту оказалось целесообразным в большинстве случаев нахо­

дить

значения

X и

s усреднением согласно формулам,

нанесенным

в листах

1—5

(стр.

954—958),

и

значения

F (х) в двух

последних

столбцах

табл.

15.4.

бумаге приложения

1

(над

чертой)

Величины,

определенные по

и вычисленные по сгруппированным данным (под чертой)

оказались

следующими [7].

Законы

распределения

X

s

Равновероятный

(лист

2) в

мм

«

29,9937

0,0029

29,994

0,0030

Максвелла

(лист

3)

в

мкм

• «

8,7

8,9

37,40

Экспоненциальный

(лист 5)

в

мин

• •

34,86

Выборка и распределение

873

Иногда в начальных разрядах статистической сводки распреде­ лений существенно неотрицательных величин линия опытных частостей оказывается смещенной вправо от нуля вероятностной бумаги, что

потребует корректировки величин X (Хкор) и мер точности, производ­ ных от х (стр. 885).

В первом приближении поправка может быть определена по фор­

мулам (табл.	15.2) для распределения Максвелла 1
	л:к0р =	X — 1,913s/?	— ^	(15.6)
и для распределения нормального модуля упрощенного
	Хкор =	Х — 1,322s	— Ъ.	(15.7)
Пример 2. В табл.		15.3 систематизированы		данные опытной
совокупности	объемом N =	612 экз., сгруппированные в 11 разрядов.
В нашем примере цена разряда с — 0,02 мм. В				1-й разряд вносят

все данные, имеющие значение хk меньшее, чем наибольший предел

разряда Xj (табл. 15.3, столбец 2, xt.), а само значение х. =					вносится
во 2-й разряд и т. д.
	Все наблюденные значения одного разряда вносятся в столбец 4.
Столбцы 3, 5, 6 и 7 не требуют пояснения.
	В столбцах 8 и 9 приведены теоретические значения частоты, ко­
торые нетрудно вычислить, руководствуясь литературой				[4,	10, 12,
15,	191;	при использовании вероятностной	бумаги эти	вычисления
не	нужны.
	По данным табл. 15.3, вычислим статистические характеристики —
выборочное среднее X и выборочное среднее			квадратическое		отклоне­
ние s.		использовании схемы по табл. 15.5 упрощаются вычисления.
	При
Столбцы		1 и 2 этой таблицы .заполняются данными из столбцов 3 и 4

табл.

15.3. За условное начало а0 (стр. 864) принимается представитель

6-го

разряда

(хь = 4,395)

как

наиболее близкий

к

возможному выбо­

рочному среднему. Заполнение столбцов 3,

4

и

5

(табл.

15.5) ясно

из таблицы. Значения

2~

и 2 + в столбце

4 получаются суммирова­

нием отдельно отрицательных

и

положительных

величин,

а итоговая

сумма v (2,28) находится

сложением

сумм 2~

и

£ + (10,08 — 7,80).

Столбец 6. служит для проверки вычислений (необязателен).

По итогам табл. 15.5 и согласно формулам

(15.2)

и (15.4) находим

—

УЧ

=

4,395 +

9 9Я

4,399

мм;

(а)

х

= «0 + - д г

^ -

=

S =

l /

-

r

£

5 - (

Z -

ao)2 =

=

| /

^ - 0 ,8 5 8 4 — (4,399 — 4.395)2 =

0,037 мм.

(Ь)

Суммы 2 4 и 2 5 означают итоги столбцов 4 и 5 табл. 15.5.

1 Точные формулы, обобщающие этот закон распределения,' получены Проф. А. С. Шевелевым [18].

874 Математическая статистика при анализе и контроле

									ТАБЛИЦА 15.5
			Схема	вычисления		X	и s
xi		ni	*i -	aQ						« (* i -
										- ° o + 1)2
X		2	3			4			5	6
4,295		1	—0,100		— 0,10				0,0100	0,810
4,315		9	—0,080		—0,72				0,0576	7,618
4,335		35	—0,060		— 2,10				0,1260	30,926
4,355		70	—0,040		— 2,80				0,1120	64,512
4,375		104	—0,020		— 2,08				0,0416	99,882
QQ = 4,395		133	0		{2 - =		—7,801		0	133,000
4,415		113	0,020			2,36			0,0472	122,767
4,435		71	0,040			2,84			0,1136	76,794
4,455		50	0,060			3,00			0,1800	56,180
4,475		11	0,080			0,88			0,0704	12,830
4,495		10	0,100			1,00			0,1000	12,100
-	N	= 612			| 2+ =		10,08 |		0,8584	617,419
					X =		2,28
Проверка	вычисления производится					по		итогу	столбца	G:
£ б		= Л / + 2 5		+	2 £ 4 ;	^		6 = 617,419.		(с)

По формуле (с) 2 6 = 612 + 0,8584 + 2*2,28 = 617,418, что под­ тверждает правильность вычислений.

С помощью вероятностной бумаги нормального закона (лист 1, стр. 954) можно проверить непротиворечивость предположения о том, что опытное распределение табл. 15.3 отвечает нормальному закону,

а затем отыскать выборочные X и s. Это предположение оправдывается.

Найденные с помощью вероятностной бумаги X и s точно совпадают с приведенным выше вычислением [14,15].

Понятия о статистических гипотезах, несмещенных оценках и доверительных интервалах

Проверка статистической гипотезы означает выяснение методами ма­ тематической статистики согласия того или иного предположения (ги­ потезы) t опытом. Предположение формулируется как нулевая гипо­ теза (Н0). Она оценивается по уровню существенности, обычно малой вероятности Р 0. Гипотеза отвергается, если вероятность оказывается меньше, чем Р 0. Принимают Р 0 = 0,05 (5%), реже Р 0 = 0,1 (10%), а для ответственных оценок Р 0 = 0,01 и даже 0,001.

Выборка	и распределение	875
Проверка гипотезы # 0	связана с выбором критерия	(правила)

проверки. Принятие гипотезы означает лишь то, что она не находится в грубом противоречии с наблюденными значениями.

При решении вопроса о том, принять или отвергнуть гипотезу # 0>

возможна одна из		следующих		ошибок:	верна. Ошибка		называется
а) отвергается		гипотеза / / 0,		когда она
о ш и б к о й	п е р в о г о		р о д а (риск		поставщика а		или ошибка
производителя	при	контроле продукции);
б) принимается гипотеза /У0, когда она неверна. Ошибка назы­
вается о ш и б к о й		в т о р о г о		р о д а	(риск	потребителя р).
Ошибки оцениваются			количественно своими			вероятностями, при­

чем вероятность ошибки первого рода равна уровню существенности. Применение теории гипотез к оценке измерений приведено в главе

третьей.

Гипотезой # 0 является, например, предположение о том, что об­ щая совокупность, из которой взята выборка, подчиняется данному

закону	распределения.			К р и т е р и е м	с о г л а с и я	называют
правило	оценки		этого предположения.
Критерий		у2	(хи-квадрат) достаточно распространен на практике.
Наблюденное		значение		у2 подсчитывается	по формуле

т

где /г- — теоретические частоты; /г. — опытные частоты; т — число

разрядов.

Для того чтобы гипотеза //„ была отвергнута, должно быть

					Х2 >Хи.						(15.9)
Теоретическое значение y^j берется по таблицам [1,									10, 15],		а для
уровня	существенности			Р =	0,05 — по данным,			приведенным			ниже.
к	1	2	3	4	5	6	7	8	9		10
з . м		Г», 99	7.82	9. -19	11,07	12,59	14,07	15,51	16,92		18,31
к	11	12	13	И	1Г>	16	17	18	19	--	20
1 о 19,68		21,03	22,36	23,68	25,00	26,30	27,59	28,87	30,14		31,41
Здесь (и в других таблицах) k — число степеней свободы; k = т —
— / — 1,	где / — число			оцениваемых		параметров закона распределения
(см. табл.		1.1).
Если найденное значение у2 оказывается меньше, чем yjj,											то ги­
потеза # 0 не отвергается, т. е. нет заметного противоречия в										предпо­
ложении об определенном законе распределения.									данным,		т. е.
Практические расчеты выполняются по опытным
по статистическим			характеристикам.			Эти характеристики называются
н е с м е щ е н н ы м и				о ц е н к а м и		[9],	если	их среднее		значение

при любом объеме выборки равно соответствующему параметру распре­ деления. Такой оценкой параметра Х0 служит выборочное среднее X.

876 Математическая статистика при анализе и контроле

Но любая оценка в свою очередь имеет погрешность как функцию неко­ торого среднего квадратического отклонения [9].

Среднее квадратическое отклонение выборочного среднего X

о

'х V N ’

где о — среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Аналогичное отклонение выборочной медианы X

о~ = 1,2533

.

ЛУ п

Так как обычно а неизвестно, то его заменяют s из опытных данных. Среднее квадратическое отклонение выборочного значения s

os

0,707oj.

Эта формула справедлива только для нормального закона распре­ деления случайной величины х .

Доверительными интервалами называют граничные значения стати­ стических характеристик, которые с заданной вероятностью Р заклю­ чают неизвестные значения параметров.

Интервалы, внутри которых можно ожидать нахождения тео­ ретического среднего Х 0 при заданной вероятности, часто определяются как X ± to-g, где t — квантиль, зависит от закона распределения X*

Для нормального закона и объема выборочной совокупности, большей чем 25 экз., обычно принимают t = 3, причем заданная вероятность равна 0,9973. Предельные интервалы, содержащие с заданной вероят­ ностью Р все значения Xi случайной величины X, могут быть также

определены как	X +	ts	[4,19].		в табл.	1 приложения	1,
Значение функции		Ф (i), приведенное
позволяет найти	доверительные			интервалы	для нормального закона,
а в табл. 5 (приложение			1) — для функции		распределения Стьюдента.
В этой таблице,	используемой			для доверительных		интервалов	Х0,

k = N -— 1 — число степеней свободы, Р (t0) — вероятность. Пример пользования табл. 2 приложения 2 для определения доверительных

границ Х 0 приведен в главе третьей (стр. 457).

В табл. 15.6 приведены значения t для некоторых законов распре­ деления.

П рим ер 3 . Установить предельные границы для наблюденных значений xi примера 1 в предположении, что опытные данные распреде­ ляются: а) нормально; б) равномерно; в) в случае, если закон распреде­ ления неизвестен, но симметричный и одновершинный.

Примем Р =	0,95; 5 = 0,037 мм приравниваем неизвестному зна­
чению параметра	о.				указанных условий:
Согласно табл. 15.6 найдем для
	а)	X ±		1,96.0,037= Х ±0,072				мм;
	б)	X	±	1,65*0,037 »	X	±	0,061	мм;
	в)	X	±	2,98*0,037 =	X	±	1,043	мм.

Анализ статистических связей			877
Значения	i	ТАБЛИЦА	15.6
		Вероятность	Р
Вид распределения	t	0,95 0,98 0,99	0,9973
		Численное значение / Пр

Равновероятное

Нормальное

Логарифмически нормальное

Экспоненциальное

Максвелла
Модуля		нормального закона
для		ро =	1	\
	»	Ро =	2	1
	»	Ро =	3	J
/-распределение				(Стыодента)
п	=	15		ч
п	=	10		1
п	=	5		J

Закон распределения любой

Симметричный	(М о0 — Л^)	и
однонершинный	(оценка	по
Чебышеву — Гауссу)

		х - ~ х »			1, (15	1,70	1,71	1,73
			о
		х	- х	п	1,96	2,33	2,58	3,00
			О
	X	-	(Iff	Х) о	1,96	2,33	2,58	3,00
			о
			X		3,00	3,91	4,61	5,91
			Х о
		1—			2,45	2,80	3,40	3,44
		i	\ 0 R	f	3,73	4,27	4,63	5,25
	t x	=	(Р—Ро):		2,65	3,05	3,35	3,80
					3,65	4,05	5,35	4,80
		=	(Р + Ро)
					4,70	5, 10	5,35	5,58
					2, 14	2,62	2,98	3,49
	V n		( X - X e)		2,26	£.82	3,25	4,02
			s		2,78	2,75	4,60	6,44
		x	- x	0	2,98	4,71	6,66	12,83
			ст

II р и м о ч л и м с. Предельные ( / Пр) 11 доверительные интервалы

для законов распределения экспоненциального, Максвелла и модуля нормального закона берутся от начала координат ( х = 0), а для осталь­

ных законов от х — X .

3.АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ

Общие сведения и определения

В технологической практике при испытаниях, статистическом ана­ лизе и контроле часто требуется установить наличие взаимосвязи между признаками качества, свойствами материала, техническими факторами и т. п., причем функциональная связь в этих случаях отсутствует.

Одним из наиболее эффективных методов в математической стати­ стике является к о р р е л я ц и о н н ы й а н а л и з , который

878 Математическая статистика при анализе и контроле

позволяет разрешать вопросы о силе или тесноте связи между случай­ ными величинами, о форме связи — линейной или нелинейной, а при достаточной тесноте связи вывести уравнение связи.

Предположение о наличии связи должно основываться на знании природы явления, свойства материала или технологии. Для изучения связи между случайными величинами X и Y необходимо располагать совокупностью пар наблюденных значений хс и yt.

Техника вычислений

Составляется корреляционная сводка подобно табл. 15.7. где для простоты наблюденные значения Х{ и yi обозначены порядковыми номе­ рами (как при оценке качества по баллам)1. Число наблюдений, как правило, следует выбирать не менее 50—60. Столбец 7 содержит ча­ стоты пх наблюденных значений случайной переменной X, а последняя строка — частоты пд значений переменной Y.

ТАБЛИЦА 15.7

Наблюденные значения Х} и у i (частоты пхд) в совокупности объема N — 15

			У1
	1	2	3	4	5
1	2	3	4	5	6
		1	1	1
1	1	2	1	—	—
2	—	1	‘ 2	1	—
3	—	—	1	2	1
4		-	-	1	2
		1	1	1
п У	1	3	4	4	3

пх

7

4

4

4

3

II

ел

Если наблюденные значения расположились в таблице так, что они как бы сгруппировались вдоль любой из диагоналей, то можно ожидать наличия корреляционной связи. Теснота линейной связи, имеющая место при распределениях (X и Y) по нормальному закону и наблюдающаяся на практике часто и при других типах распределения, определяется по выборочному коэффициенту корреляции

гк = % ,

(15.10)

1 Если данные наблюдений сгруппированы, то х и у -* представители разрядов.

	Анализ статистических связей		879
где sx	и sy — выборочные средние квадратические отклонения		вели­
чин xt	и у i, а Схуу называемая	ковариацией, определяется формулой
	Tj ПХУХ У
	С*У = —	--------- (15Л1)

Числитель первого члена формулы (15.11) представляет сумму произведений значений xt и yi на соответствующие частоты nxfh обве­

денные рамкой в табл. 15.7, а X и Y — выборочные средние, которые вычисляются по формуле (15.1) или (15.2).

Значения отклонений sy и sx удобно вычислять по формулам

	sУ				(15.12)
	И п. А		'А'2,		(15.13)
	1
где пх и пу — частоты (табл. 15.7);		N — v пх — 2 Пу
Вычисления гк проще вести по схеме табл. 15.8 (пример 4), а при
больших N — по способу моментов		[10, 15].
В случае положительной корреляции (т. е. ус возрастает с увели­
чением xt) rK	0, а в случае отрицательной			корреляции гк <2 0.		Пре­
делы— I ^ T K ^	+ I. Чем ближе	к единице		значение гк,	гем	теснее

линейная связь между наблюденными величинами ус и хс, и при | гк | = 1 она становится функциональной. Если же гч равен нулю, то линейная

корреляционная		связь	отсутствует, но нелинейная может иметь место.
	П рим ер 4.	Вычислить			коэффициент		корреляции			гк для		дан­
ных табл. 15.7. Ход вычислений					сведен	в табл. 15.8,			где данные столб­
цов	1—4 перенесены из соответствующих столбцов и строк табл.											15.7.
				Вычисление		г к			ТАБЛИЦА			15.8
		*1		Сумма		SпхуМ		Сумма			2 п хи*‘>
	пч		пх	по строям				,по	строям
					п	У			xi
						( 1 ) - ( 5 )
1	2	3	•1		г,	6			7		ь
1	1	1	4		1	1			8
2	3	2	4		4	8			12		24
3	4	3	4		8	24			16		4 8
4	4	4	3		12	48			14		56
5	3	■“*	—		11	55			—		—
-	15		15		3!)	130			50		136
-	N	-	N		-	2 W	"		-	'	2 г‘хих"
						XI/					XLf

880 Математическая статистика при анализе и контроле

Столбец 5 табл.

15.8 получается из сумм

произведений частот пху

табл. 15.7

строя

yi

на

соответствующие значения Х{. Например,

для

строя yi =

1

получим: Ы

=

1; для строяyt

=

2 получим: 2*1 + 1 *2 —

= 4; для строя

*/«• =

3:

1-1 +

2«2 +

1 -3 =* 8 и т. д.

по

Столбец

б

табл.

15.8

составляется

из

произведений сумм

строям yt,

т. е. данных

столбца 5, на соответствующее значение

yi

столбца 1; например: 1 =

Ы ;

8 = 4*2 и т. д. Столбец 7 заполняется

аналогично

столбцу

5,

но

по

строям

хи

а

столбец 8 — аналогично

столбцу 6, т. е. умножением цифр столбца 7 на значения Х{ столбца 3. Суммы столбцов 6 и 8 должны быть одинаковыми (136), так как

они являются числителем дроби формулы (15.11).

Затем находят по суммам столбцов 5 и 7:
S i	- § - 2 , 4 0 ;	(а)
N

	S 2	Ф)
	N

По формуле (15.11) получим (учитывая сумму столбца б или 8)

Сху = ^ - 2,40'3,33 = 1,075. (с)

Для вычисления sy и sx составлены табл. 15.9 и табл. 15.10. Из сумм последних столбцов этих таблиц с учетом формул (а), (Ь) и (15.12), (15.13) получим:

		Sy = у	1 ^ — (3,33)2 =		Y 12,5333— 11,0889 = 1,202;			(d)
		s* =	— (2,40)2 =		V 6,9333 — 5,7600 =		1,083.	(е)
			ТАБЛИЦА 15.9				ТАБЛИЦА 15.10
		Вычисления для		sy		Вычисления для sx
	y t	ЯУ	• V i	n, / i			V /	nxxi
	1	1	1	1	1	4	4	4
	2	3	6	12	2	4	3	16
	3	4	12	36
					3	4	12	36
	4	4	16	64
					4	3	12	48
	5	3	15	75
	2	15	50	i 88	2	15	36	104