книги / Справочник по производственному контролю в машиностроении

Продолжение табл. 15.1

Вид распределения

Нормального модуля упрощенное:

* в - ' * i ~ * 2 1

а) через г£ и c Q

б) через нормиро­ ванную пере­ менную

t =	' с ,
	У1 о„
где	гс — возмож­

ное значение R с

^-распределение (Стьюдента)

{ _ У~п’Сх - х„)

S

(см. обозначение на стр. 864 и 865)

Плотность вероятности

а) ^ (гс) “			/ -	Х
с		о0 У л
Ж exp	( ------- )			(Я.)
	\		Ч	)
6 , n o	=	7	i r x p (

Функция распределения

a) F (r	) = — i — X
с	а 0 у я

т

^б) F (П) = / (v)2 я X

(рис.

15.1, з) .

X Jt

exp

( — 4 ^ )

^ = 2Ф (О

(£)

0

F (i)

в

табл.

4

приложения 1

1

г

* +

1

to

2

■X

Ф (О = — —

■ . ,

F (to)

=

|

ф ( ( ] Й

(Р)

V n k

г

( 4 )

М-1

—00

Значение

для

различных

х ( н ~ £ - )

2

(«,

fe

и

Р

в

табл.

5

приложе­

Г (х )

гамма-функция

ния

1

Область

значений

От 0 ДО 00

От — оо ДО сю

Определяющие

параметры

распределения

М.О. ( Х 2 — X t ) = 0

(М.О. — математи­ ческое ожидание)

G i = О2 = О0

а) О0 = 0,756Хо, где Х0 = Rc

б) 0 и 1

k = я — 1,

где л — объем вы­ борки

распределение и Выборка

862 Математическая статистика при анализе и контроле

2. Н о р м а л ь н о е	р а с п р е д е л е н и е ,	или распределе­
ние Гаусса (рис. 15.1,6)	наиболее распространено в машиностроении.

Экспериментальными данными неоднократно подтверждено, что этому закону следуют с хорошим приближением случайные погрешности

измерения, линейные и угловые	размеры, шероховатость поверхности,
масса деталей, твердость, ряд	характеристик механических свойств
материалов и металлов (табл. 1,	приложение 1).

3. О б о б щ е н н о е р а с п р е д е л е н и е т и п а А (Грама— Шарлье) заменяет нормальное распределение для таких опытных сово­ купностей, у которых меры косости и меры крутости велики (стр. 886); обычно наблюдается значительная асимметрия (рис. 15.1, в). Такие от­ клонения от нормального распределения происходят изтза наличия доминирующей неслучайной величины или различной силы влияния случайных причин. Для определения выравнивающих частот согласно

формулам табл. 15.1 можно использовать табл. 2 приложения 1					[5].
4. Л о г а р и ф м и ч е с к и		н о р м а л ь н о е	р а с п р е д е ­
л е н и е	(рис. 15.1, г) является	распределением таких		величин,	ко­
торые не	следуют нормальному	закону, но логарифмы		которых	рас­

пределяются по нормальному закону. Подобное распределение прило­ жимо к совокупности числа циклов нагружения при усталостных ис­ пытаниях, к потреблению электроэнергии во времени, к некоторым

радиотехническим свойствам.		р а с п р е д е л е н и е (рис. 15.1, д)
5.	Э к с п о н е н ц и а л ь н о е
случайной величины X, принимающей лишь неотрицательные значе­
ния,	приложимо к совокупностям	периодов времени автоматического

хода станков или агрегатов автоматических линий, к длительности

регулировок		и подналадок, находящихся	в эксплуатации станков или
приборов и		аппаратов для периодов безотказной работы систем и т. п.
6.	Р а с п р е д е л е н и е М а к с в е л л а (эксцентриситета) слу­
чайной	величины R ~ Y Х г -f Y 2, принимающей только			неотрицатель­
ные значения, где X и У — расстояния случайной точки по двум взаимно
перпендикулярным осям (распределение			независимо	и нормально,

рис. 15.1, е). Этому закону следуют распределения величин эксцентри­ ситета, несоосности и биения (включая биение зубчатого венца), разностенности (если направление не задано), непараллельности и неперпендикулярности двух плоскостей или оси и плоскости, конусности (если плоскость не фиксирована), некоторых радиотехнических свойств (табл. 3 приложения 1).

7.	Р а с п р е д е л е н и е м о д у л я н о р м а л ь н о г о з а ­
к о н а	(рис. 15.1, ж) находит применение для совокупностей суще­

ственно неотрицательной величины R M— | Х х — Х 2 J, где Х± и Х 2 — случайные величины, распределенные по нормальному закону со сред­

ними X0i и Х02 и дисперсиями aoi и ао2. Этому распределению следуют абсолютные (т. е. без учета знака) отклонения в шагах резьб и реек, в угловых величинах, если плоскость отсчета фиксирована, отклонения формы, отклонения положения, как-то: несимметричности, неперпендикулярности, непараллельности, разностенности, несоосности и др., если во всех перечисленных случаях измерения производятся в фик­ сированной плоскости или сечении [4, 15].

8. Р а с п р е д е л е н и е н о р м а л ь н о г о м о д у л я у п ­ р о щ е н н о е (распределение некруглости) — частный случай пре­

дыдущего распределения, если XQj = XQ2 и равны дисперсии а случай­

Выборка и распределение

863

ных величин Х г и Х 2 (рис. 15.1, з). Применяется для описания распре­ делений абсолютной разности линейных и угловых размеров, отклоне­ ний формы, а также для геометрических погрешностей, перечисленных в п.7. Техника вычислений по сравнению с указанной в п.7 значительно упрощается; функцию распределения см. в табл. 4 приложения 1 [7— 15].

Рис. 15.1

9.f - р а с п р е д е л е н и е (Стыодснта), которое применяют для

оценки генеральной средней Х 0 при известной выборочной (см. главу третью), если опытные данные следуют нормальному закону и объем выборки п < 3 0 (табл. 5, приложение 1).

864 Математическая статистика при анализе и контроле

Все перечисленные выше законы распределения относятся к не­ прерывным случайным величинам. Для прерывных величин в практике машиностроения (например, для разработки рецептуры приемного контроля) используют чаще всего законы биномиальный и распреде­ ления редких событий (4, 7, 12, 19).

Параметры распределения и статистические характеристики

Если известно, что общая совокупность подчиняется определенному закону распределения, то для практического применения, например оценки точности процессов, построения доверительных интервалов и т . п., обычно достаточно ограничиться нахождением статистических характеристик, т. е. оценкой параметров распределения.

П а р а м е т р а м и р а с п р е д е л е н и я называют число­ вые характеристики, определяемые по теоретическим законам распре­

деления случайной величины	X.	(стати­
С т а т и с т и ч е с к и м и	х р а к т е р и с т и к а м и

стиками) называют числовые характеристики, подсчитанные по наблю­ денным значениям х* случайной величины X.

Наиболее существенными являются меры положения, меры рас­ сеяния и меры, характеризующие форму кривой распределения.

Меры положения определяют те центральные «точки», около которых концентрируются значения варьирующих величин. Такими мерами яв­ ляются среднее значение, медиана и мода и соответствующие статисти­ ческие характеристики: выборочное среднее значение, выборочные медиана и мода.

Выборочное среднее значение при разбивке наблюдений xi на группы (разряды):

(15.1)

Значения tit к N приведены выше (стр. 854).

Если группировка не производится, то подсчет ведется по той же формуле при щ — 1.

* Для упрощения вычислений группированных наблюденных дан­ ных удобно пользоваться формулой

S	n i (X I — а„)
X = а0 + -	(15.2)

где а0 — условное начало: любое число, при котором разности (х/—а0) получаются малыми по величине и простыми. Обычно а0 выбирают на глаз (см. пример 2, стр. 873).

Параметр — среднее значение Х0, является теоретическим аналогом выборочного среднего и определяется по формуле, например для не­ прерывной случайной величины

00

где / (х) — плотность вероятности этой величины.

	Выборка и распределение								865
В ы б о р о ч н о й		м е д и а н о й			X называют		значение		х{> яв­
ляющееся срединным в ряде наблюденных величин,							упорядоченных
по возрастанию или убыванию. Ордината кривой,							изображающей
плотность распределения,			соответствующая теоретической					медиане
. (х = Х0), делит площадь под этой кривой на две равные части. Медиану
иногда предпочитают среднему при мгновенных выборках								(стр. 915)
из-за	простоты ее определения.
При этом если объем выборки п =					5, то X	будет третье значение
xi из упорядоченного по возрастанию ряда хс\ для п =							7 соответственно
четвертое значение и т. д.			ряд	наблюдений:		49,94;	49,90;		49,98;
Пример /, Имеется
49,95; 49,93 мм. Упорядоченный ряд (по возрастанию): 49,90;									49,93;
49,94;	49,95; 49,98; X =		49,94	мм. Здесь X =		X =	49,94	мм.
В ы б о р о ч н о й		м о д о й		Мо	называют наблюденное				значе­

ние x i, которое встречается в ряду наблюдений наибольшее число раз. При сгруппированных данных Мо будет являться значение xi того раз- ч ряда, который имеет наибольшую частоту щ. Модой пользуются при хронометраже и для определения наиболее частого уровня настройки станка или прибора.

Т е о р е т и ч е с к о й м о д о й Мо0 является значение абсциссы, в которой кривая, изображающая плотность вероятности, достигает максимума.

Меры рассеяния характеризуют группировку значений варьирую­

щей

величины (разброс) около некоторого нулевого значения или отно­

сительно

меры

положения

(X, X, Мо).

квадратичес­

Наиболее

употребительной

мерой

является среднее

кое отклонение — теоретическое

о

или

выборочное

s.

При

объеме

N

25 и сгруппированных

данных

S

=

у/4- S т (Xi -

X)2 .

(15.3)

Для

упрощения вычислений

применима

формула

^ L ^ m i X i - a ^ - i X - a , ) 2 ,

(15-4)

где фигурируют те же величины, что и в формулах (15.1) и (15.2).

При

объемах

X ^

25

подсчет

s следует

производить

по тем же

формулам

(15.3)

и

(15.4)

с заменой

N

на N — 1. Схему

вычислений

s см.

в

примере

2 (стр.

873).

отклонение

(параметр)

Теоретическое

среднее

квадратическое

определяется

для

непрерывных

случайных

величин

формулой

® =

У

J (X— Х„)2 / (х) dx .

— СО

Значения

о2

и

s2

называют

д и с п е р с и е й

(теоретической

и выборочной).28

28 К. И . Абаджи

866 Математическая статистика при анализе и контроле

Размах R применяется для оценки рассеяния по выборкам малого объема (стр. 907) и находится по формуле

R — х тах — *min»

(15.5)

где хтах и хт1п — наибольшее и наименьшее значения из п единиц выборки.

Для полного описания формы кривой, изображающей плотность вероятности, необходимо вычислить частоты (частости) распределения, но для приближенного определения вычисляются меры, характеризую­ щие форму кривой — асимметрия а и эксцесс т.

Асимметрия характеризует, насколько симметрична кривая, изо­ бражающая опытное распределение, а эксцесс — крутизну или плосковершинность кривой. Эти статистические характеристики удобнее вы­ числять, пользуясь так называемыми моментами распределения, опи­ санными в литературе [10, 15]. В отличие от мер положения или мер рассеяния асимметрия и эксцесс являются отвлеченными числами.

Некоторые значения параметров для законов распределения при­ ведены в табл. 15.2.

Для нахождения оценок параметров р0 и о (р) закона модуля нормального закона служит номограмма (рис. 15.2).

Обработка опытных распределений и вероятностная бумага

Данные наблюдений xi показателей качества или свойств материала

(размеров, массы, твердости,	оценки по баллам и т. п.) представляют
в виде таблиц распределения,	где произведена группировка по разря­

дам. При группировке рекомендуется ограничиваться 7—13 разрядами. Цена разряда с определяется делением разности между крайними наблюденными значениями (хгтах; xt-mln) на выбранное число разря­ дов. При этом с не должно быть меньше, чем цена деления измеритель­

ного прибора или устройства (глава третья, стр. 438).

По величинам представителей разрядов и частотам (частостям) можно построить опытную кривую — полигон распределения; подоб­ ная ломаная кривая показана на рис. 15.3, а. Форма опытной кривой дает известное представление о типе распределения. Если к тому же определить теоретические частоты или частости, пользуясь функцией распределения или таблицами, то можно построить теоретическую (выравненную) кривую плотности вероятности предполагаемого закона

распределения,	как это представлено тонкой плавной кривой на
рис. 15.3, а в	предположении нормального закона распределения.

Незначительное отклонение формы обеих кривых дает некоторую уве­ ренность в том, что распределение опытной совокупности приближенно

следует тому или иному закону распределения. Справа на рис.					15.3,6
представлены	кривые		накопленных	частот — опытная по	данным
столбца 5 табл. 15.3 и теоретическая,				(столбец 9), причем последняя
изображена тонкой		плавной линией.			а вели­
На рис. 15.3, а Вср — ордината середины поля допуска 6,
чина смещения	8 =	X — BGp.
В приложении		1	(табл. 1—4) приведены некоторые функции рас­
пределения. С	помощью таблиц можно вычислять теоретические час­

тоты и частости, находить доверительные интервалы, среднее квадрати­ ческое отклонение и пр. [12, 15, 19].

Выборка и распределение

86'

Рис. 15.2

Вид распределения

Равновероятное

Нормальное

Обобщенное ти­ па А

Логарифмически

нормальное

Экспоненциаль­

ное

Среднее Х 0

- j - ( 6 + с)

Х 0

X .

пТ а )о

~к,

Параметры распределений			ТАБЛИЦА 15.2
	Меры, характеризующие
	форму кривой распре­
Среднее квадратическое	деления		Дополнительные
отклонение я	Асиммет­		параметры
		Эксцесс	т0
	рия а 0

— 5— (С _ Ь)	0	— 1,2
2 П
о	0	0
Выбороч ные моменты
а	Us	- ^ - - 3 [5]
V	4	4
V M .O .llg л — <ТГх)0У	0	0
Хо	2	б

Хо =	Мо0 =	X .
X о =	Мо0 =	Хо
	-

Х0 = 0,693Х 0 Мо0 — 0

контроле и анализе при статистика Математическая

Продолжение табл. 15.2

Меры,

характеризующие

форму кривой распре­

Вид распределения

Среднее

Х 0

Среднее

квадратическое

деления

Дополнительные

отклонение

а

Асиммет­

параметры

Эксцесс

т0

рия

а 0

Х =

1,233 о =

о = У

±

- Х

. я

0,798Х„;

М аксведла

=

1,913 oR

° R =

-0,631

-0 ,2 4 5

Х0 =

1,089 У х 0

V

^

r ~

a °™

Мо0 = V ~ X 0

«

0,523Хо«0,655а

О значениях О и

см. табл.

15.1

X ,

(Р) =

Х„ (г),

а (р)

=

- i - a

(г)

где

Х 0 (г) — параметр

По

моментам функ­

Ре

Модуля нормаль­

распределения

[ # м;

Значение

о0

приведено

ции распределения

[4];

Х0 (f);

0 (г)3.

Норми­

см.

также

формулы

-

ного закона

в табл.

15.1.

Значение р0

для

а 0 и т0, приведен­

рованное

среднее

в зависимости от А,0 и зна­

ные

выше

для

распре­

JL _ * • < '> _

Vt

чение о (р) в зависимости

деления типа

А

от (рв)

см.

на рис. 15.2

а

(г)

V т 2

Нормального мо­

R c =

Х 0 =

1 ,^ 2 0

0 =

0,75бХо

0,9944

0,8692

Моменты распре­

дуля упрощенное

деления

в [15]

0

при

2\

0

при

6

^-распределение

/г—4

k =

п — 1,

-

V

T £

-

T

k

>

А

где л — объем выборки

при

k

>

3

при

k >

5

распределение и Выборка

870	Математическая статистика при анализе и контроле
	Вычисление статических характеристик Х и s облегчается благо­
даря применению		схемы, поясняемой примером 2.
	Вероятностная	бумага значительно ускоряет процесс нахождения

X и s с точностью, допустимой для многих случаев машиностроительной практики.

В приложении 1 на стр. 954—958 подобная бумага представлена для пяти законов распределения: нормального (лист 1), равновероят­ ного (лист 2), Максвелла (лист 3), упрощенного модуля нормаль­

140

т

120

110

юо

90

во

70

60

50

40

J 0

20

10

ного закона (лист 4) и экспоненциального (лист 5). На шкале ординат бумаги нанесены значения вероятностей, отвечающие функции рас­ пределения. На шкале xi абсцисс, равномерной для всех указанных выше законов распределения, наносятся значения верхнего предела

разряда х. сгруппированных наблюденных данных. Затем на пересе­

чении линии, проведенной от соответствующего значения хс = x iy

и линии, проведенной от точки на оси ординат, соответствующей накоп­ ленной частости N i (х)% , наносится точка. Таким образом опреде­ ляются точки по всем разрядам наблюденных данных, кроме послед­ него (Ni ~ 100%), и по ним строится ломаная линия. Если опытная совокупность отвечает закону распределения, для которого построена вероятностная бумага, то ломаная линия будет близка к прямой. Для сравнения на бумаге проводится прямая, изображающая теорети­ ческие накопленные частоты (в %) распределения, таким образом, чтобы опытные точки располагались примерно равномерно по обе стороны. При незначительном отклонении опытных и теоретических точек нет очевидного противоречия в предположении о принятом законе распре­ деления (большие отклонения допустимы лишь для точек крайних