вующая массовая сила всегда действует нормально к поверхности уровня. Выбирая систему координат, жестко связанную со стенками сосуда, приходим к статической задаче, основой для решения которой служит диф-

ференциальное уравнение равновесия жидкости:

dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz),

(2.1)

где x, y, z – координаты точек жидкости в системе отсчета, связанной с сосудом; p – давление в жидкости; ρ – плотность жидкости;

X, Y, Z – проекции единичной массовой силы на координатные оси.

Для определения формы поверхности уровня и характера распределения давления в этом сосуде следует в число действующих массовых сил включить также силы инерции.

Существуют два состояния относительного покоя жидкости:

–в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно;

–в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси.

2.2.Равновесие жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно с постоянным ускорением

Сосуд с жидкостью движется с ускорением a вдоль прямой, накло-

z

	p0		M	j
				x
a		Θ g	α

z0

0(y)

α

Рис. 2.1. Относительное равновесие жидкости при прямолинейном равноускоренном движении сосуда

ненной к горизонту под углом α (рис. 2.1).

К массовым силам наряду с силой тяжести в данном случае относится еще и сила инерции j = - a, направленная противоположно ускорению сосуда. В системе координат (рис. 2.1) проекции единичных массовых сил будут равны

X = j - g sin α ; Y = 0 ; Z = - g cos α.

Подставляя эти выражения в уравнение равновесия (2.1), получаем

dp = ρ [(j - g sin α)dx - g cos α dz],

(2.2)

а после интегрирования

p = ρ (j - g sin α) x - ρ g cos αz + C,

20

z − z0 =

где С – постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий на свободной поверхности при x = 0, z = z0 и p = p0.

После подстановки граничных условий получаем закон распределения давления:

p = р0+ρ(j - g sin α) x +ρ g cos α (z0 - z). (2.3)

Так как на поверхности уровня давление одинаково в любой ее точке, полагая в уравнении (2.2) p = const, получаем уравнение поверхностей уровня

ρ( j - g sin α) x - ρ g cos α z + C1 = 0.

(2.4)

Уравнение (2.4) дает семейство плоскостей, параллельных оси Y. Одной из этих плоскостей является свободная поверхность.

Подставляя в формулу (2.4) граничные условия x = 0 и z = z0, нахо-

дим

C1 = ρ g z0 cos α.

Уравнение свободной поверхности имеет вид

j − g sinα x , (2.5) g cosα

	где	j − g sinα	= tgθ .
		g cosα

2.3. Равновесие жидкости в цилиндрическом сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси

Равновесие жидкости в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси, реализуется лишь при постоянной угловой скорости вращения ω = const (рис. 2.2).

По истечении достаточного времени после начала вращения жидкость приобретает ту же скорость вращения, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменяется: в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится и вся свободная поверхность станет некоторой поверхностью вращения (рис.2.2, а). На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы: сила тяжести и центробежная сила, кото-

рые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и ω²r. При проецировании на оси координат равнодействующей массовых

сил (рис.2.2, б) получим выражения

X = ω2 r cos α= ω2 x ;Y = ω2 r sin α = ω2 y ; Z = – g.

Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получаем dp = ρ(ω2xdx +ω2ydy – gdz),

или

dp = ρ(ω2rdr – g dz).

21

После интегрирования находим
p =с	щ2 r 2	−сg z +C .	(2.6)
2
Подставляя в уравнение (2.6) граничные условия r = 0, z = z0 и p = p0,
находим постоянную интегрирования
C = р0 + ρ g z0.
Тогдазаконраспределениядавленияможновыразитьформулой
p = p0 +сщ2r2 +сg(z0 − z) ,			(2.7)
2

т. е. в этом случае также справедлив линейный закон распределения давления по глубине. Изменение давления по радиусу подчиняется параболическому закону. Полагая p = const, из выражения (2.6) получим уравнение поверхностей уровня:

		p =с	щ2 r 2	−сgz +C1 .		(2.8)
			2
	z
H	r
	p0		O
		ω2r		r α y	x
				x
	g	j
z
0
	O	x	y
	ω=const
	а			б
Рис. 2.2. Относительное равновесие жидкости в равномерно
	вращающемся цилиндрическом сосуде

Эти поверхности уровня представляют собой параболоиды вращения. Одним из таких параболоидов является свободная поверхность жидкости.

Так как в вершине параболоида свободной поверхности r = 0, z = z0,

	C1 = ρg z0 ,то уравнение свободной поверхности примет вид
	z − z0	=	щ2 r 2	.			(2.9)
			2g
	Зависимость				щ2 r 2
	z − z0	=	h =				(2.10)
					2g

при постоянном радиусе (r = const) устанавливает связь между величиной возвышения h любой точки, расположенной на свободной поверхности

над точкой, лежащей на оси вращения, и угловой скоростью ω. Она позволяет определить число оборотов цилиндра, если известно превышение h , что и используется при конструировании жидкостных тахометров, с помо-

22