- •Математика. Алгебра и геометрия
- •Математика. Алгебра и геометрия. Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения./ сост. С.И.Борсуковский, л.А.Тягульская – Рыбница, 2010. – 38с.
- •Задания для контрольных работ Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Задание 11
- •Задание 12
- •Пример выполнения контрольной работы
- •З а д а ч а 2
- •З а д а ч а 4
- •З а д а ч а 5
- •З а д а ч а 6
- •З а д а ч а 7
- •З а д а ч а 8
- •З а д а ч а 9
- •З а д а ч а 10
- •З а д а ч а 11
- •З а д а ч а 12.
- •Список литературы
- •Содержание
- •Математика. Алгебра и геометрия
З а д а ч а 4
Канонические уравнения кривых второго порядка имеют вид
1) - эллипс с фокусами, где, и эксцентриситетом. Если, то уравнениеописывает окружность, в этом случае;
2) - гипербола с фокусами, где, и эксцентриситетом. Прямыеявляются асимптотами гиперболы;
3) - парабола, симметричная оси Ох, с фокусоми директрисой,- парабола, симметричная относительно Оу, с фокусоми директрисой.
Пример 4
Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директриса параллельна оси Оу и проходит через левый фокус гиперболы:
.
Определим координаты левого фокуса гиперболы: ,. Так как директриса параболы параллельна оси Оу и проходит через точку, то она имеет уравнение. Определим значение параметра р параболы:. Каноническое уравнение параболы имеет вид, т. е..
З а д а ч а 5
Нормальные уравнения кривых второго порядка с центром в точке имеют вид
- окружность радиусом R;
- эллипс с полуосями а и b;
- гипербола;
или - парабола.
Пример 5
Дано уравнение линии . Записать уравнение линии в нормальной форме и построить эту кривую.
Чтобы привести уравнение к нормальной форме, сгруппируем слагаемые, содержащие только х и у, вынося коэффициенты при за скобки:
.
Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:
;
;
;
.
Разделив обе части на 144, получим нормальное уравнение эллипса:
с полуосями с центром в точке. Через точкупроведем новые оси координат (и) параллельные соответственно осям Ох и Оу. По обе стороны от точкиотложим по осиотрезки длиной, а по оси-, получив таким образом вершины эллипса. Проведя через вершины вспомогательные отрезки, параллельные осям, получим прямоугольник, в который нужно вписать эллипс. Чертим эллипс.
у
х
О
Координаты фокусов эллипса в новых осях: . Здесь. Старыми координатами фокусов будут, т. к.и
З а д а ч а 6
Общее уравнение плоскости имеет вид: , где- ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости).
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,иопределяется равенством
.
Расстояние от точки до плоскостинаходится по формуле.
Пример 6
Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки.
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки :
Вычислим определитель, разложив его по первой строке:
Найдем расстояние от точки до плоскости.