З а д а ч а 11

Рассмотрим квадратную матрицу

A = .

Обозначим =det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной,или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной,или особенной, если= 0.

Квадратная матрица В называется обратнойдля квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема.Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^1, так что В = А^1. Обратная матрица вычисляется по формуле

А^1= 1/, (1)

где А _{i j}- алгебраические дополнения элементов a _{i j}.

Вычисление обратной матрицы по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы

Пример 11а)Дана матрица А =. Найти матрицу А^-1обратную данной, воспользовавшись определением обратной матрицы. б) Найти обратную матрицу для матрицы А=по методу Гаусса.

Решение.

а)Находим сначала детерминант матрицы А= det А == 270, значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: А^1= 1/, где А_{i j}(i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} исходной матрицы. Имеем:

откуда А^1=.

б) Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка:. С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.Для этого поменяем местами первый и второй столбцы:. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2:. Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй;. Прибавим третий столбец к первому и второму:. Умножим последний столбец на -1:. Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,А^1=.

З а д а ч а 12.

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 12.Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.