6. Инфинум функции

Точная нижняя грань значений функции I(u): .

.

I(u), u.

7. Супремум функции

Точная верхняя грань значений функции I(u): .

Если для , (множество точек максимума пусто, а значения функции бесконечно близко приближаются к значению I*).

Функция , u.

8. Минимизирующая последовательность

Последовательность .

Если предел значений функции в точках этой последовательности равен .

Функция , u.

9. Направление убывания функции

Направление, в котором значения функции наиболее быстро уменьшаются, относительно точки .

Определяется по антиградиенту.

Вектор-антиградиент в точке .

10. Производная по направлению

Предел отношения функции к приращению одного из аргументов, если последний стремиться к нулю: .

Найти частную производную функции многих переменных.

Функция многих переменных , где - точка с координатами .

11. Теорема Вейерштрасса

Достаточное условие существования оптимальных решений экстремальных задач.

Если - замкнутое, ограниченное множество на , – непрерывная функция на . Тогда точка глобального минимума функции на существует.

Функция заданная на и множество .

12. Теорема Вейерштрасса

Достаточное условие существования оптимальных решений экстремальных задач.

Если - компактно, – определена конечно и непрерывно на . Тогда множество - непусто, компактно и любая последовательность сходится к .

Функция заданная на и множество .

13. Необходимое условие оптимальности

Условие, которому должна удовлетворять точка, если она - стационарная.

1. Если - локальный оптимум, то

для .

2. Если функция - выпуклая на и выполняется условие пункта 1, то - глобальное решение задачи.

3) Если , то вышеуказанное условие можно записать в виде: .

Функция – дифференцируема в точке , принадлежащей выпуклому множеству .

14. Градиент функции.

Найти направление, в котором функция увеличивается наиболее быстро.

Вычислить частную производную функции Y по каждой из переменных х_i, и подставить в полученные выражения координаты заданной точки (записать в форме вектора).

Заданная функция Y=Y(x₁, x₂, …, x_n) и точка с координатами Х(x₁, x₂, …, x_n).

15. Поверхность (линия) уровня функции.

Функция, которая отображает зависимость различных наборов аргументов, при одном значении функции Y.

Фиксируем значение функции Y.

Заданная функция Y=Y(x₁, x₂, …, x_n), и значение Y=const.

16. Метод половинного деления.

Найти наибольшее или наименьшее значение функции и значение аргумента, при котором оно достигается.

Определяем погрешность. Затем, находим две точки x1 и x2 на заданном отрезке: как половину суммы границ плюс/минус погрешность. Далее вычисляем значение функции в этих точках. Если f(x1)>f(x2), тогда интервал поиска минимума сокращается до [x1; b], в противном случае – до [a; x2]. В случае поиска максимума: при f(x1)<f(x2), интервал поиска сокращается до [x1; b], и при не выполнении предыдущего условия к [a; x2]. Все вышеуказанные действия, кроме определения погрешности, повторяются на каждом шаге, причем на последнем шаге выполняется условие b-a<=sgm.

Функция Y от одной переменной X и отрезок, на котором оптимизируют эту функцию.