Числові ряди

Нехай дана числ послід U1,…,Un,… = (1) - числ ряд. Числа U1…Un… - члени цього ряду. Sn = - n-та часткова сума ряду

Означення: числ ряд сходиться, якщо сходиться послідовність його часткових сум і в противному випадку(  = S), S - сума ряду (1).

Означення: числ ряд отриманий з ряду (1) отриманий в результаті викреслення перших n - членів наз n-тим остатком ряду (1). дана прогресія а₀,а₀q,…,a₀qⁿ , Sn=

q<1, = ; 2) q>1, не існує 3) q=1, lim не існує

4) q=-1, lim не існує

Зауваження: числ ряд представляє собою іншу форму запису числ послід. Кожному ряду відповідеє послід його частинних сум.

Зауваження: Додавання чи віднімання скінченного числа доданків до ряду не впливає на його збіжність.

Критерій Коші для рядів.

Теорема: для того, щоб числ ряд сходився необхідно і достатньо, щоб  N :

 <. Доведення: збіжність числ ряду означає, що сходяться послід його чостинних сум. сформулюємо критерій Коші для {Sn}: для того, щоб{Sn} сходилась, необхідно і достатньо, щоб  N : S_n+p-S_n< S_n+p-S_n= = <

Наслідок1: якщо числ ряд сходиться, то послід остатків цього ряду нескінченно мала.

{r_n}= { } доведення оскільки числ ряд сходиться, то з критерію Коші випливає  N :  < зафіксуємо n і перейдемо до , тоді з останньої нерівності отримаємо =  тобто {r_n} нескінченно мала.

Наслідок2: (необхідна умова збіжності числ ряду): для того. щоб числовий ряд сходився необхідно щоб =0 Доведення: оскільки числ ряд сходиться то з критерію Коші випливає  N :  <. Нехай р=1 тоді отримаємо U_n+1< (n>N). Тобто {Un} нескінченно мала, виконується рівність:

Ознаки збіжності рядів з довільними членами.

1.Знакочередуючі ряди

Озн:Числовий ряд ∑(-1)^n-1U_n (1) називається знакоперемежним, якщо U_n≥0∀nєN, або U_n≤0, ∀n N.

Теорема 1(Ознака Лейбніца)

Якщо для знакоперемежного ряду віконуються умови

1) U_n+1≤U_n ( )

2) lim_n =0, то ряд збігається

Доведення:Розглянемо часткову сумму S_2n=(U₁-U₂)+(U₃-U₄)+…+(U_2n-1+U_2n) 0 S_2n=U₁-(U₂-U₃)-(U₄-U₃)-...-(U_2n-2-U_2n-1)-U_2n=U₁-[(U₂-U₃)+(U₄-U₃)+…+(U_2n-2-U_2n)+U_2n] n {S_2n}-обмежена і монотонна, а значить існує lim_n =S_2n=S (2)

Розглянемо {S_2n+1}

S_2n+1=S_2n+U_2n+1, то lim_n =S_2n+1= lim_n =S_2n+ lim_n =U_2n+1=S (3)

З (2) і (3) випливає, що границя lim_n =S_n=S, а це означає, що числовий ряд (1) є збіжним.Твердження:Нехай {U_n},{V_n} - довільні числові послідовності.S_k=U₁+U₂+…+U_n, S₀=0,

n, p - довільні номери; (n 0,p 1), тоді має місце тотожність (перетворення Абеля):

U_kV_k= S_k(V_k-V_k+1)+S_n+pV_n+p-S_nV_n+1 (*), оскільки U_k=S_k-S_k-1, то ліву частину подамо так: U_kV_k= S_kV_k- S_kV_k= S_kV_k- S_nV_n+1= S_kV_k+S_n+pV_n+p-S_nV_n+1- S_nV_n+1= S_k(V_k-V_k+1)+S_n+pV_n+p-S_nV_n+1

Теорема 2(Ознака Деріхлє)

Нехай для числового ряду ∑U_kV_k виконуються умови:

1)Частинні сумми ряду ∑U_n обмежені, тобто існує число M>0, таке, що : |S_n| M

2)Послідовність {V_n}є незростаючою, тобто :V_n V_n+1

3)Послідовність {U_n}є нескінченно малою, тоді

данний числовий ряд є збіжним.

Доведення:Оскільки числ. ряд ∑U_n має частинні суми, які всі належать [-M,+M], то з перетворення Абеля одержимо U_kV_k= |S_n||V_n+1|+|S_n+p||V_n+p|+|S_n||V_n+1| M{ |-V_k+1+V_k|+|V_n+p|+|V_n+1|} , а з 2 і 3 умови => що права частина дорівнює

M{ |-V_k+1+V_k|+V_n+p+V_n+1}=M{(V_n+1-V_n+2)+(V_n+2-V_n+3)+…+(V_n+p-1-V_n+p)+V_n+p+V_n+1}=2MV_n+1;

З 3 умови теореми => |V_n|<e/2M , одержемо

| U_kV_k| 2Me/2M=e, а це означає, що даний ряд збігається згідно з критерієм Коші.

Теорема 3.

Нехай для числового ряду ∑U_kV_k виконуються умови:

Числовий ряд ∑U_n збігається

числова {V_k}-незростаюча

{V_k}-обмежена, тоді числовий ряд збігається

Доведення:З 2 і 3 умови теореми => посл {V_n} збіжна.Нахай lim_n =V_k=V, тоді одержемо, що числовий ряд ∑U_kV_k=∑^∞_k=1U_k(V_k-V)+V∑U_k, якщо два ряда справа збігаються, то і лівий збігається. V∑U_k збігається згідно з умовою 1, а =∑^∞_k=1U_k(V_k-V) за ознакою Деріхлє

Зауваження:Теореми 2 і 3 залишаються вірними, якщо послідовність {V_n} є неспадною.

Абсолютна та умовна збіжність числових рядів.

Нехай дані числові ряди ΣU_k (1) та Σ|U_k| (2)

Означення 1:Числ.ряд (1) називається абсолютно збіжним, якщо збігається числовий ряд (2)

Означення 2:Ряд (1) називається умовнозбіжним, якщо він збігається, а (2) - розбігається

Теорема 1:

Якщо lim_n =S_2n=S (2) збігається, то і ∑(-1)^n-1U_n (1) збігається

Доведення:(2) - збігається, тоді з критерія Коші : ∀e<0∃NєN∀n>N∀pєN:∑^n+p_k=n+1|U_k|<e, тоді для ряду (1) одержемо : |∑^n+p_k=n+1U_k|≤∑^n+p_k=n+1|U_k|<e, тобто числовий ряд (1) збігається також за критерієм Коші.

Теорема 2:

Нехай числовий ряд ∑^∞_n=1a_n (1^*) - абсолютнозбіжний і має сумму S. Тоді ряд, одержаний з даного перестановкою членів також є абсолютнозбіжним і має S.

Доведення:Дано,що ряд ∑^∞_n=1a_n - абсолютнозбіжний.

позначимо ∑^∞_n=1a_n (2^*) ряд отриманий перестановкою членів (1^*)

S_n^*- довільна частинна сума ряду (2*), а S_m - частинна сумма (1^*), яка містить всі члени частинної суми S_n^*.Тоді мають місце : S_n^*≤S_m≤S (3)(∀nєN)

Оскільки всі члени (1^*) невід'ємні, то і всі члени (2^*) теж невід'ємні, а (1^*) має суму S =>

Оскільки {S_n^*} є обмеженною і монотонною, то ∃ lim_n→∞S_n^*=S^*≤S (випливає з (3) )

Ряд (2^*) є збіжним. Тоді, аналогічно, з (2^*) за допомогою перестановкичленів, можно одержати ряд (1^*) і відповідну нерівність S≤S^*=>S^*=s

∑a_n - довільний числовий ряд. Розлянемо допоміжні ряди:

∑U_n, U_n=a_n(a_n≥0) U_n=0(a_n<0) (6)

∑V_n, V_n=-a_n(a_n<0) V_n=0(a_n≥0) (7)

(6) і (7) - ряди з невід'ємними членами, тоді a_n=U_n-V_n; S_n^|,S_n^|| - частинні суми (6),(7) рядів.

Оскільки ∀nєN U_n≤|a_n|,V_n≤|U_n|, то ряді (6) і (7) збігається за 1 ознакою порівняння. Покажемо, що ряд (2^*) збігається абсолютно. Оскільки ряд (1^*) збігається абсолютно, то це означає, що збігається ∑|a_n|, а тоді по доведенному в першому випадку буде збігатися ∑|a_n^*|, а це означає, що (2^*) збігається абсолютно.

Введемо допоміжні ряди

∑U_n^* , U_n^*=a_n^*(a_n^*≥0) U_n^*=0(a_n^*<0) (8)

∑V_n^* , V_n^*=-a_n^*(a_n^*<0) V_n^*=0(a_n^*≥0) (9)

Очевидно, що a_n^* = U_n^*-V_n^*; S^*,S_n^*| ,S_n^*|| - частинні суми (2),(8),(9) відповідно =>

S= lim_n S_n= lim_n (S_n^|-S_n^||)= lim_n S_n^|- lim_n S_n, а це за доведеним в першому випадку дорівнює: lim_n S_n^*|- lim_n S_n^*||= lim_n (S_n^*|-S_n^*||)= lim_n S_n^*=S, тобто числовий ряд(2^*) має сумму S.