22. Выпуклость функции

Свойство функции, при котором функция убывает, а затем возрастает (имеет т. минимума)

Находим первые частные производные функции F(x₁, …, x_n) по всем переменным x₁, …, x_n (градиент). Находим гессиан (матрицу вторых производных) функции F(x₁, …, x_n). Далее с помощью критерия Сильвестра определяем знак гессиана. Если гессиан определен не положительно, то функция выпукла вверх, если гессиан определен неотрицательно, то функция выпукла вниз.

Функция F(x₁, …, x_n).

23. Гессиан

Матрица частных вторых производных.

Находим первые частные производные функции F(x₁, …, x_n) по всем переменным x₁, …, x_n (градиент). Далее вычисляем вторые производные каждой первой производной по каждой из переменных x₁, …, x_n. Расставить их на соответствующие места в матрице.

Функция F(x₁, …, x_n).

24. Критерий Сильвестра

Метод определения знакопостоянства квадратичной формы, который используется для определения выпуклости и точек экстремума функции.

Находим первые частные производные функции F(x₁, …, x_n) по всем переменным x₁, …, x_n (градиент). Находим гессиан (матрицу вторых производных) функции F(x₁, …, x_n). Далее с помощью критерия Сильвестра определяем, выпуклость функции: если определители угловых миноров гессиана всех порядков положительны, то функция выпукла вниз; если знаки определителя угловых миноров гессиана всех порядков чередуются начиная с отрицательного, то функция выпукла вверх; иначе неопределенность.

Гессиан функции F(x₁, …, x_n).

25. Выпуклость

Минимум.

Находим градиент. Каждую из координат градиента приравниваем к нулю. Решаем данную систему уравнений, и находим стационарные точки. Вычисляем гессиан. Подставляем координаты точек в гессиан. Если все угловые миноры гессиана больше нуля, то (по критерию Сильвестра) данная точка является точкой глобального минимума функции.

Максимум

Находим градиент. Каждую из координат градиента приравниваем к нулю. Решаем данную систему уравнений, и находим стационарные точки. Вычисляем гессиан. Подставляем координаты точек в гессиан. Если нечетные (1 и 3-ий) угловые миноры гессиана меньше нуля, а четные (2 и 4-ий) – большеё нуля, то данная точка является точкой глобального максимума функции.

Выпуклая вниз

Находим градиент. Затем, вычисляем гессиан. Если все главные миноры гессиана больше нуля, то данная функция выпуклая вниз.

Выпуклая вверх

Находим градиент. Затем, вычисляем гессиан. Если главные миноры гессиана нечетного порядка (1 и 3-го) меньше нуля, а четные (2 и 4-ий) – больше нуля, то данная функция выпуклая вверх.

26. Задача условной оптимизации

Найти оптимальное значение (максимальное или минимальное) функции, при заданных ограничениях по переменным.

1. Найти решение задачи безусловной оптимизации и проверить его соответствие ОДР.

2. Найти решения задачи условной оптимизации, при ограничениях равенствах.

3. Найти значения ЦФ в точках пересечения ограничений ОДР.

4. Сравнить значения функции F(x₁, …, x_n) в точках, полученных в результате действий проведенных в предыдущих трех пунктах, и выбрать из них максимальное или минимальное, в зависимости от условия задачи.

Принцип: отобрать точки, в которых возможно минимальное или максимальное значение функции в заданной области, и выбрать среди них оптимальную точку.

Функция F(x₁, …, x_n) и система ограничений g_i(x₁, …, x_n)=<0.